线性规划习题(32)

（23）矩阵对策的最优纯策略 甲乙乒乓球队进行团体对抗赛，每对由三名球员组成，双方都可排成三种不同的 阵容，每一种阵容可以看成一种策略，双方各选一种策略参赛。比赛共赛三局， 规定每局胜者得 1 分，输者得-1 分，可知三赛三胜得 3 分，三赛二胜得 1 分，三 赛一胜得-1 分，三赛三负得-3 分。甲队的策略集为 S1={α1，α2，α3}，乙队的策略 集为 S1={β1，β2，β3}，根据以往比赛得分资料，可得甲队的赢得矩阵为 A，如下：

A=

1 1 3

1 -1 -1

1 -3 3

试问这次比赛各队应采用哪种阵容上场最为稳妥。 解：甲队的 α1，α2，α3 三种策略可能带来的最少赢得，即矩阵 A 中每行的最小元 素分别为： 1，-3，-1， 在这些最少赢得中最好的结果是 1，即甲队应采取策略 α1 ，无论对手采用什么

策略，甲队至少得 1 分。而对乙队来说，策略 β1，β2，β3 可能带来的最少赢得， 即矩阵 A 中每列的最大因素（因为两人零和策甲队得分越多，就使得乙队得分越 少） ，分别为： 3，1，3， 其中乙队最好的结果为甲队得 1 分，这时乙队采取 β2 策略，不管甲队采用什么 策略甲队的得分不会超过 1 分（即乙队的失分不会超过 1） 。这样可知甲队应采用 α1 策略，乙队应采取β 2 策略。把这种最优策略 α1 和 β2 分别称为局中人甲队、乙 队的最优纯策略。这种最优纯策略只有当赢得矩阵 A=（aij）中等式 max min aij = min max aij i j j i

成立时，局中人才有最优纯策略，并把（α1 ，β2）称为对策 G 在纯策略下的解， 又称（α1 ，β2）为对策 G 的鞍点。 （24）矩阵对策的混合策略

A=

5 8

9 6

解：首先设甲使用 α1 的概率为 X1’，使用 α2 的概率为 X2’，并设在最坏的情况下 （即乙出对其最有利的策略情况下） ，甲的赢得的平均值等于 V。这样我们建立以 下的数学关系： 1.甲使用 α1 的概率 X1’和使用 α2 的概率 X2’的和为 1，并知概率值具有非负性， 即 X1’+ X2’=1，且有 X1’?0，X2’?0. 2.当乙使用 β1 策略时， 甲的平均赢得为： 1’+ 8X2’， 5X 此平均赢得应大于等于 V， 即 5X1’+ 8X2’?V 3.当乙使用 β2 策略时， 甲的平均赢得为：9X1’+ 6X2’，此平均赢得应大于等于 V， 即 9X1’+ 6X2’?V

第二步，我们来考虑 V 的值，V 的值与赢得矩阵 A 的各因素的值是有关的，如 果 A 的各元素的值都大于零，即不管甲采用什么策略，乙采用什么策略，甲的赢 得都是正的。这时的 V 值即在乙出对其最有利的策略时甲的平均赢得也显然是正 的。因为 A 的所有元素都取正值，所以可知 V?0. Xi' 第三步，作变量替换，令 Xi = (i=1，2) V 考虑到 V?0，这样把以上 5 个数量关系式变为： 1 X1+ X2 = ，X1?0，X2?0， V 5X1+ 8X2 ?1 9X1+ 6X2 ?1 1 对甲来说，他希望 V 值越大越好，也就是希望 的值越小越好，最后，我们就 V 建立起求甲的最优混合策略的线性规划的模型如下：

min X1+ X2 5X1+ 8X2 ?1 9X1+ 6X2 ?1 X1?0，X2?0 同样求出乙最优混合策略，设 y1’, y2’分别为乙出策略 β1，β2 的概率，V 为甲出 对其最有利的策略的情况下，乙的损失的平均值。 同样我们可以得到： y1’+ y2’=1, 5y1+ 9y2 ?V 8y1+ 6y2 ?V y1’?0，y2’?0. yi' 同样作变量替换，令 yi = (i=1，2) V 1 得关系式： y1+ y2 = V 5y1+ 9y2 ?1 8y1+ 6y2 ?1 y1?0，y2?0. 1 乙希望损失越少越好，即 V 越小越好而 越大越好，这样我们也建立了求乙的 V 最优混合策略的线性规划的模型如下： max y1+ y2 约束条件： 5y1+ 9y2 ?1 8y1+ 6y2 ?1 y1?0，y2?0. 约束条件：