三角函数和差化积公式 解三角形高考题|探析高考中的解三角形问题(5)

a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。

3．三角形的面积公式：

111aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； 222

111（2）S?＝absinC＝bcsinA＝acsinB； 222（1）S?＝

4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：

（1）两类正弦定理解三角形的问题：

第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

（2）两类余弦定理解三角形的问题：

第1、已知三边求三角.

第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.

5．三角形中的三角变换

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

（1）角的变换

因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。三角函数和差化积公式

sinA?BCA?BC?cos,cos?sin； 2222

（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.

6．求解三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；

（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；

（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；

（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。

三、典例解析

类型一：解三角形与向量的结合

例1.在?ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满

足????????asinC?ccoAs，AB?AC?2．

（Ⅰ）求?ABC的面积；

（Ⅱ）若b?1，求边c与a的值．

解：

（Ⅰ）由正弦定理得sinAsinC?CcosA，

sinA?

A，tanA?A?60?， ????由AB?AC?2得b?c?4，?

ABC

（Ⅱ）因b?1，故c?4，

由余弦定理得a?

练习：

1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC?3acosB?ccosB. （I）求cosB的值； （II）若BA?BC?2，且b?22，求a和cb的值. 解：（I）由正弦定理得a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC，

则2RsinBcosC?6RsinAcosB?2RsinCcosB,

故sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB,

可得sinBcosC?sinCcosB?3sinAcosB,

即sin(B?C)?3sinAcosB,

可得sinA?3sinAcosB.又sinA?0,

1cosB?.3 因此 （II）解：由??2,可得acosB?2，

1又cosB?,故ac?6,3

由b2?a2?c2?2accosB,

可得a2?c2?12,

所以(a?c)2?0,即a?c,

所以a＝c＝6

类型2解三角形与三角恒等变换的结合

例2：在?ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若tanA?

3，cosC?

（1）求角B的大小； （2）若c?4,求?ABC面积。 。 解：（1

）由cosC??sinC??tanC?2 55

?tanB??tan(A?C)??tanA?tanC?1； 1?tanAtanC

又0?B??，?B?

（2）由正弦定理?4； bcc可得，b??

?sinB?， sinBsinCsinC