三角函数和差化积公式 解三角形高考题|探析高考中的解三角形问题(2)

即ACcosA=3BCcosB.

又由正弦定理，得=，∴sinBcosA=3sinAcosB.

又∵00，cosB>0.

∴=3，即tanB=3tanA.

（2）∵cosC=，0

∴tan[？仔-（A+B）]=2，即tan（A+B）=-2.∴=-2.

由（1），得=-2，解得tanA=1，tanA=-.

∵cosA>0，∴tanA=1，∴A=.

点评 此题将平面向量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，正弦定理解三角形.（1）先将?=3?表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.（2）由cosC=，可求tanC，由三角形三角关系，得到tanC=tan[？仔-（A+B）]，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值.

题型三、利用三角公式、正弦、余弦定理等知识解决实际问题

（1）关于测量长度、高度问题

例5 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=？琢，∠ADE=？茁.

（1）该小组已经测得一组？琢、？茁的值，tan？琢=1.24，tan？茁=1.20，请据此算出H的值;

（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使？琢与？茁之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，？琢-？茁最大？ 解析

（1）=tan？茁？圯AD=，同理：AB=，BD=.

AD-AB=DB，故得-=，解得：H==124.

因此，算出的电视塔的高度H是124m.

（2）由题设知d=AB，得tan？琢=，tan？茁===，

tan（？琢-？茁）====.

d+≥2，（当且仅d===55当时，取等号）

故当d=55时，tan（？琢-？茁）最大.

因为0<？茁<？琢<，则0<？琢-？茁<，所以当d=55时，？琢-？茁最大.

故所求的d是55m.

点评 本题考查解三角形的实际应用，重点两角差的正切及不等式的应用.

（1）在Rt△ABE中可得AB=，在Rt△ADE中可得AD=，在Rt△BCD中可得BD=，再根据AD-AB=DB即可得到H.

（2）先用d分别表示出tan？琢和tan？茁，再根据两角和公式，求得tan（？琢-？茁）=，再根据均值不等式可知当d=55时，tan（？琢-？茁）有最大值即tan（？琢-？茁）有最大值，得到答案.

（2）关于测量角度、高度问题

例6 某人骑自行车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶6km后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为15°，求此山的高度CD.（精确到0.1km）（参考数据≈（〕1.41，≈1.73）

解析 在？驻ABC中，∠A=30°，∠C=75°-30°=45°，

由=

？圯BC==3km.

在Rt？驻BCD中，有CD=BC?tan∠DBC=3?（2-）=6-3≈1.0km.

点评 本题涉及测量高度和角度.由于边、角测量不在同一平面内，需作立体图形的直观图，借助不同平面的三角形边角关系求解.此题先作出直观图：由已知条件，容易求出有关的角，再求出BC的长，进而求出高CD.

注意：在测量与几何有关的计算通常要尽可能画出示意图;测量底部不可到达点的高度，通常要在基线上选两个观察点，在同一平面内至少测量三个数据（角边角），解两个三角形;若是直角三角形，求解更便捷.

（3）关于求行驶（航行）角度、追击（相遇）时间问题

例7 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到B，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=.