三角函数和差化积公式 解三角形高考题|探析高考中的解三角形问题(3)

（1）求索道AB的长;

（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

解析 （1）在？驻ABC中，∵cosA=，cosC=，

∴A、C∈（0，），∴sinA=，sinC=.

∴sinB=sin[？仔-（A+C）]=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=.

根据=得AB=sinC=1040m.

（2）设乙出发t分钟后，甲.乙距离为d，此时甲行走了（100+50t）m，乙距离A处（130t）m.

则由余弦定理得：d2=（130t）2+（100+50t）2-2×130t×（100+50t）×.

∴d2=200（37t2-70t+50）.

∵0≤t≤，即0≤t≤8，

∴t=时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短.

（3）由正弦定理=，得BC=sinA==500m.

因为当乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C处，

设乙的步行速度为V m/min，则-≤3，

∴-3≤-≤3，∴≤v≤.

∴为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[，]范围内.

点评 此题将解三角形、构造函数求最值、解不等式等知识综合在一起考查，对考生有一定的难度，实质是解三角形求距离问题;关于求距离问题要注意两点：①要选定或确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接求解，若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解.②要确定用正弦定理，还是余弦定理，如果都可以用，则选择更便于计算的定理.

例8 某补给船在A岛南偏西50°相距12海里的B处，发现货船正由A岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行.问补给船需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时赶上货船补充养料.（参考数据：sin53°≈，sin37°≈）

解析 在△ABC中，∠BAC=180°-50°-10°=120°，由余弦定理得：

BC2=AC2+AB2-2?AB?AC?cos∠BAC

=202+122-2×12×20×（-）=784，

∴BC=28.

∴补给船的追赶速度为14 海里/小时.

又在△ABC中由正弦定理得：

=，故sinB==.

得：∠B≈37°，航向为：50°-37°=13°，故补给船行驶的方向约为北偏东13°.

点评 解好本题需明确“方向角”这一概念，方向角是相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等.此题先利用方向角求内角，再用余弦定理、正弦定理求解. 注意区别：方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的夹角，其范围是（0°，360°）.

知识小结：应用正弦定理、余弦定理解三角形的应用题的一般步骤：

1. 分析：认真审题，理解题意，分清已知与未知，根据题意作出示意图;

2. 建模：确定实际问题所涉及的三角形以及三角形中的已知或未知的元素，列方程（组）;

3. 求解：选择相适应的三角公式、正弦、余弦定理及面积公式等有序的解出三角形，求得数学模型的解.

4. 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

例9 叙述并证明余弦定理.

解析 叙述：

余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有

a2=b2+c2-2bccosA，

b2=c2+a2-2cacosB，

c2=a2+b2-2abcosC.

证明：（证法一）如图，a2==（-）?（-）

=-2?+=-2?cosA+

=b2-2bccosA+c2，