本科生《统计计算》教材，采用R语言和Julia语言，包括误差(9)

由中心极限定理知 \[\begin{aligned} \sqrt{N}(\hat p - p)/\sqrt{p(1-p)} \stackrel{d}{\longrightarrow}&\text{N}(0,1), \\ \sqrt{N}(\hat I_1 - I) \stackrel{d}{\longrightarrow}&\text{N}\left(0, \left(M \prod_{j=1}^n (b_j - a_j) \right)^2 p(1-p)\right),\end{aligned}\] \(\hat I_1\)的渐近方差为\[\begin{align} \frac{\left(M \prod_{j=1}^n (b_j - a_j)\right)^2 p(1-p)}{N} \tag{11.19}\end{align}\]

所以\(\hat I_1\)的随机误差仍为\(O_p\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right)\), \(N\to\infty\)时的误差阶不受维数\(d\)的影响， 这是随机模拟方法与其它数值计算方法相比一个重大优势。

在计算高维积分时， 仍可以通过估计\(E h(\boldsymbol U)\)来获得, 其中\(\boldsymbol U\)服从\(R^d\)中的超矩形\(C\)上的均匀分布。 设\(\boldsymbol U_i \sim\) iid U(\(C\))，\(i=1,2,\ldots,N\), 则\(h(\boldsymbol U_i), i=1,2,\ldots,N\)是iid随机变量列, \[\begin{aligned} E h(\boldsymbol U_i) = \int_C h(\boldsymbol u) \frac{1}{\prod_{j=1}^d (b_j - a_j)} d \boldsymbol u = \frac{I}{\prod_{j=1}^d (b_j - a_j)},\end{aligned}\] 估计\(I\)为\[\begin{align} \hat I_2 = \prod_{j=1}^d (b_j - a_j)\cdot \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N h(U_i), \tag{11.20}\end{align}\]称用式计算高维定积分\(I\)的方法为平均值法。 由强大数律 \[\begin{aligned} \hat I_2 \to \prod_{j=1}^d (b_j - a_j) E h(U) = I, \ \text{a.s.} (N \to \infty),\end{aligned}\] \(\hat I_2\)的渐近方差为\[\begin{align} \frac{(V(C) )^2 \text{Var}(h(\boldsymbol U))}{N} = \frac{\left(\prod_{j=1}^d (b_j - a_j) \right)^2 \text{Var}(h(\boldsymbol U))}{N}. \tag{11.21}\end{align}\]

\(N \to \infty\)时的误差阶也不受维数\(d\)的影响。

我们来比较随机投点法与平均值法的精度， 只要比较其渐近方差。 对\(I = \int_C h(\boldsymbol x) d \boldsymbol x\)， 设\(\hat I_1\)为随机投点法的估计， \(\hat I_2\)为平均值法的估计。 因设\(0 \leq h(\boldsymbol x) \leq M\)， 不妨设\(0 \leq h(\boldsymbol x) \leq 1\), 取\(h(\boldsymbol x)\)的上界\(M=1\)。