本科生《统计计算》教材，采用R语言和Julia语言，包括误差(11)

c.建立点与实数的一一对应关系.6．奇数、偶数、质数、合数 奇数：2n-1 （n为自然数） 偶数：2n（n为自然数） 7．绝对值：数轴上表示数a的点与圆点的距离称为a的绝对值.一个正数的绝对值是本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离.②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志。最新版本的 factorial 函数使用的是和之前一样的公式(从展开的计算链条里应该能看出这一点)，但新版的 factorial 函数处在抽象层次的一个非常高的位置上，对比之前的递归版本以及 loop 版本，它考虑的细节最少，写出的代码也最少，因为它使用 clojure 来思考，并使用了其中几个相当强大的技术：递归、高阶函数、 reduce(也叫fold) 和。$$\begin{aligned}m~\left(\frac{x_a + x_b}{2}, \frac{y_a + y_b}{2}\right) \\m~\left(\frac{-1 + 3}{2}, \frac{3 - 4}{2}\right) \\m~\left(\frac{2}{2}, \frac{-1}{2}\right) \\m~\left(1, \frac{-1}{2}\right)\end{aligned}$$。

计算程序：

积分真值：

网格法:

网格法误差和相对误差:

相对误差约8%，误差较大。均方相对误差公式

ｖ为小尺度非均匀扰动 其功率谱与二维随机场 （ｋ，ｋ）的乘积就是随机功 δ θ ｘ ｚ量，设介质空间的相对扰动（以下统称为随机扰动） 率谱，但由于理论上自相关函数以及随机数都是连 （ｘ，ｚ）＝ ｖ／ｖ， （２） 续函数，而在程序实现时，用的是一系列离散数据， σ δ ０为具有零均值及一定自相关函数、方差的空间二阶 这样就不可避免地产生误差，导致求得的随机函数平稳随机过程，由式（１）和（２）得 不再满足给定的自相关函数的假设条件，为了消除 ｖ（ｘ，ｚ）＝ｖ＋ｖ（ｘ，ｚ）＝ｖ（１＋ ）， （３） 这种误差，采用平滑数据的方法来实现，最后得到的 ０ δ ０ σ其中，相对扰动 ＝ （ｘ，ｚ）满足： σ σ 随机功率谱函数为 ｉ（ｋ，ｋ） θ 〈（ｘ，ｚ）〉＝０， （４） ｘ ｚ σ （ｋ，ｋ）＝ （ｋ，ｋ）ｅ 。计算器产生的随机数是用数学方法得到的一串数,他们具有类似随机数的性质,实际上,骰子就是一种最早的能够产生1到6这6个随机数的机器在由频率估计概率的模拟试验中,计算机具有更大的优越性.产生随机数后,要得出相应频率应需要大量的计算,而计算机可以按设定的程序自行的产生随机数并进行统计计算.用计算器也能产生你指定的两个整数之间（包括这两整数）的随机整数．例如，要产生1到9之间的随机整数，要先使计算器进入产生随机数的模式。

估计RMSE、MAE和MRE来度量误差大小：

估计的相对误差约为10个百分点， 误差较大。 为了确认这样的误差估计， 将随机投点法重复模拟\(B=100\)次，得到100个\(I\)的估计，程序为：

用\(B=100\)次重复模拟估计平均相对误差：

这确认了从一次模拟给出的平均相对误差估计，两者基本相同。

用平均值方法，公式为 \[\begin{aligned} \hat I_2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(\xi^{(1)}_i, \xi^{(2)}_i, \cdots, \xi^{(d)}_i)\end{aligned}\] 其中\(\xi^{(j)}_i, i=1, \ldots, N, j=1,\ldots,d\) 独立同U(0,1)分布。 一次计算的程序为: