本科生《统计计算》教材，采用R语言和Julia语言，包括误差(3)

从平均值法看出， 定积分问题\(\int_a^b h(x) \,dx\)等价于求 \(E h(U)\)，其中\(U \sim \text{U}(a,b)\)。 所以这一节讨论的方法也是用来求随机变量函数期望的随机模拟方法。 对一般随机变量\(X\), 其取值范围不必局限于有限区间， 为了求\(X\)的函数\(h(X)\)的期望\(I = E h(X)\)， 对\(X\)的随机数\(X_i, i=1,2,\dots,N\), 令\(Y_i = h(X_i)\), 也可以用平均值法 \(\hat I = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N h(X_i)\)来估计\(Eh(X)\), \(\hat I\)是\(E h(X)\)的无偏估计和强相合估计， 若\(\text{Var}(h(X))\)存在， 则\(\hat I\)的方差为\(\frac{1}{N} \text{Var}(h(X))\), \(\hat I\)有渐近正态分布N(\(Eh(X), \frac{1}{N} \text{Var}(h(X))\))。 设\(\{ Y_i \}\)的样本方差为\(S_N^2\)， 可以用\(S_N^2/N\)估计\(\hat I\)的方差, 用\(\hat I \pm 2 S_N/\sqrt{N}\)作为\(I\)的近似95%置信区间。

例11.1 设\(X \sim \text{N}(0,1)\)，求\(I = E |X|^{\frac32}\)。

行距步长g92 x0 y0 z[#13+20]g90g00 x[#10/2] y[#11/2] m03g01 z0x[-#10/2] y[#11/2]g17g01 x[-#10/2] y[-#11/2]x[#10/2]y[#11/2]#0=#10/2#1=-#0#2=#13-#14#5=#12*sqrt[1-#2*#2/#13/#13]g01 z[#14]while #0 ge #1if abs[#0] lt #5#3=#13*sqrt[1-#0*#0/[#12*#12]]if #3 gt #2#4=sqrt[#3*#3-#2*#2]g01 y[#4] f400g19 g03 y[-#4] j[-#4] k[-#2]endifendifg01 y[-#11/2] f400#0=#0-#15g01 x[#0]if abs[#0] lt #5#3=#13*sqrt[1-#0*#0/[#12*#12]]if #3 gt #2#4=sqrt[#3*#3-#2*#2]g01 y[-#4] f400g19 g02 y[#4] j[#4] k[-#2]endifendifg01 y[#11/2] f1500#0=#0-#15g01 x[#0]endwg00 z[#13+20] m05g00 x0 y0m30。 例如：175/sqrt[2] * cos[55 * pi/180 ] #3*6 gt 14 赋值语句 格式：宏变量=常数或表达式 把常数或表达式的值送给一个宏变量称为赋值。

如果用平均值法估计\(I\), 取抽样样本量\(N=10000\), 产生标准正态随机数\(X_i, i=1,2,\dots, n\), 令\(Y_i = |X_i|^{\frac32}\), 令 \[\hat I = \bar Y = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N |X_i|^{\frac32}\]

\[S_N^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (|X_i|^{\frac32} - \hat I)^2\] 一次模拟的结果得到\(\hat I =0.8754\), \(S_N = 0.9409\), 因为\(I\)有精确值所以可以计算误差为\(0.8754 - 0.86004 = 0.015\)。