本科生《统计计算》教材，采用R语言和Julia语言，包括误差(10)

令\(\boldsymbol X_i \sim\) iid U(\(C\)), \(\eta_i = h(\boldsymbol X_i)\), \(Y_i \sim\) iid U(0,1)与\(\{\boldsymbol X_i\}\)独立， \[\begin{aligned} \xi_i = \begin{cases}1, & \text{as} Y_i \leq h(\boldsymbol X_i) \\0, & \text{as} Y_i > h(\boldsymbol X_i) \end{cases} \ i=1,2,\ldots,N,\end{aligned}\] 这时有 \[\begin{aligned} \hat I_1 &= V(C) \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \xi_i, \qquad \hat I_2 = V(C) \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \eta_i \\ \text{Var}(\hat I_1) &= \frac{1}{N} V^2(C) \cdot \frac{I}{V(C)}\left(1 - \frac{I}{V(C)} \right) \\ \text{Var}(\hat I_2) &= \frac{1}{N} V^2(C) \cdot \left(\frac{1}{V(C)} \int_C h^2(\boldsymbol x)d \boldsymbol x- \left( \frac{I}{V(C)} \right)^2 \right) \\ \text{Var}(\hat I_1) - \text{Var}(\hat I_2) &=\frac{V(C)}{N} \int_C \left\{ h(\boldsymbol x) - h^2(\boldsymbol x) \right \} \,d\boldsymbol x \geq 0\end{aligned}\] 可见平均值法精度更高。 事实上，随机投点法多用了随机数\(Y_i\)，必然会增加抽样随机误差。

在计算高维积分时， 如果用网格法作数值积分， 把超矩形\(C = [a_1, b_1] \times [a_2, b_2] \times \cdots \times [a_d, b_d]\) 的每个边分成\(n\)个格子，就需要\(N=n^d\)个格子点， 如果用每个小超矩形的中心作为代表点， 可以达到\(O(n^{-2})\)精度， 即\(O(N^{-2/d})\)， 当维数增加时为了提高一倍精度需要\(2^{d/2}\)倍的代表点。 比如\(d=8\)，精度只有\(O(N^{-1/4})\)。 高维的问题当维数增加时计算量会迅猛增加， 以至于无法计算， 这个问题称为维数诅咒。 如果用Monte Carlo积分，则精度为\(O_p(N^{-1/2})\)， 与\(d\)关系不大。 所以Monte Carlo方法在高维积分中有重要应用。 为了提高积分计算精度，需要减小\(O_\text{p}(N^{-1/2})\)中的常数项， 即减小\(\hat I\)的渐近方差。

语法1:迭代一个集合对象中的所有成员...本体内容语法2：迭代指定次数...本体内容 属性说明：items：被迭代的集合对象。厂家宣称，高度可以精确在0.3米之内，这一点是不实用的，因为用气压算高度的原理就决定了这种方式必然存大较大的误差，误差一般在80米左右，所以精度在0.3米是没有意义的。