陈省身·几何原本·欧拉示性数──从三角形内角和定理高斯邦尼公式到阿蒂亚辛格指标定理

纪念数学大师弘扬数学精神传播数学文化数学史国际学术研讨会（ 中国成都， ２叭ｌｏ． １ｌ－ １５）——纪念欧拉诞生３００周年暨‘几何原本＇中译４００周年陈省身・几何原本・． 欧拉示性数——从三角形内角和定理， 高斯一邦尼公式到阿蒂亚一辛格指标定理Ｓ ｈ ｉｉｎ ｇ － ｓｈ ｅ ｎＣ ｈ ｅ ｒ ｎ ， Ｅ ｌｅ ｍ ｅ ｎ ｔｓ， Ｅ ｕ ｌｅ ｒＣ ｈ ａ ｒ ａ ｃ ｔｅ ｒ ｉｓｔｉｃＦ ｒ ｏ ｍＴ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍｏ ｆｔｈ ｅＳ ｕ ｍｏ ｆ Ａ ｎ ｇ ｌｅ ｓｏ ｆａＴ ｒ ｉａ ｎ ｇ ｌｅ ， Ｇ ａ ｕ ｓｓ－！Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅ ｔ Ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌａｔｏＡ ｔｉｙ ａ ｈ —Ｓ ｉｎ ｇ ｅ ｒＩｎ ｄ ｅ ｘＴ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ●李鹏奇（ 科学出版杜． 北京． １００７１７）Ｐ ｅ ｎ ｇ —ｑ ｉＬ ｉ张洪光（ 南开大学， 天津． ３０００７１）’Ｈ ｏ ｎ ｇ － ｇ ｕ ａ ｎ ｇＺ ｈ ａ ｎ ｇ（ Ｓ ｃｉｅｎ ｃｅＰ ｒ ｅ ｓｓ， Ｂ ｉｅ ｊｉｎ ｇ ， １０ ０ ７ １７ ）（ Ｎ ａ ｎ ｋ ａ ｉＵ ｎ ｉｖ ｅｒｓｉｔｙ ，Ｔ ｉａ ｎ ｊｉｎ ． ３０ ０ ０ ７ １）摘要列昂纳德・欧拉（ Ｌ ｅ ｏ ｎ ｈ ａ ｒ ｄＥ ｕ ｌｅ ｒ ， １７ ０ ７ —１７ ８３）是１８ 世纪数学的中心人物。

欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点。 本文从述评陈省身（ １９ １１－ ２０ ０ ４ ）求学和事业发展的历程及其相关言论的新视角， 论述了欧拉对１９ 世纪和２０ 世纪数学的深ｊ刻影响及其数学与物理相结合的思想。 数学的统一性反映了数学的本质。 正如２０ ０ ２年国际数学家大会名誉主席陈省身指出的， 。 我们甚至可以预见纯数学与应用数学的统一’ ？。 它揭示了未来数学发展的一个新的时代．关键词： 欧拉， 徐光启， 利玛窦，数学的统一性。陈省身， 欧拉示性数， 阿蒂亚一辛格指标定理，引言，在人类几千年的数学发展史上， 几何学源远流长。 拓扑学是数学的极其重要的分科， 从前隶属于几何学， 而现在则成了一门渗透于各数学分科中的学问。 从２０ 世纪中叶起， 它“一直置身于世界数学的中心。 ” 【１】 拓扑学的起源， 要回溯到１８ 世纪中叶欧拉（ Ｅ ｕｌｅｒ， １７０卜１７８３）的发现。 ２０世纪伟大的几何学家、 沃尔夫（ Ｗ ｂｌｆ）数学奖和首届邵逸夫数学科学奖得主、 南开数学研究所创始所长、 美籍华人陈省身（ Ｓ ． Ｓ ． Ｃ ｈ ｅｍ ，１９１１． １０． ２８＿ ００４． １２． ３）曾指出： ‘‘欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点。

” 【２】 谈到《几何原本》 ， 他说： “这本书是人类文化史上一部非常伟大、 有意义的著作” ， １３】 ‘‘这本． １．书在中国有翻译， 译者是徐光启与利玛窦。 徐光启（ １５６２—１６３３）是中国了不得的学问家， 利玛窦（ Ｍ ． Ｒ ｉｃｃｉ）是到中国来的意大利传教士。 ” 【４ 】 陈省身深受中西文化交流与传播的影响。 他关注数学教育与数学史尤其是中国数学史的研究。 １９ ９ １年１０ 月 ２８ 日， 他从美国Ｍ Ｓ Ｒ Ｉ（ Ｂ Ｅ Ｒ Ｋ Ｅ Ｌ Ｅ Ｙ ）在给张洪光的信中指出： “中国数学史或科学史是一个巨大而有希望的课题。 ” １５】本文在拙著［ ６． １４ ］研究的基础上， 试从述评陈省身求学与事业发展历程及其相关言论的新视角， 略述对《几何原本》 及其中译与“欧拉示性数” 的几点管见， 以纪念欧拉诞生３０ ０ 周年、 《几何原本》 中译４ ０ ０ 周年、 陈省身先生诞辰９ ６周年。 这或许对数学史、数学教育与数学哲学的研究有所裨益。

许冠三认为「新考据史学派」的式微，最终是来自「挟西方科学先进声威与金援俱来的美国史学典范」的改变，[12]也就是社会科学实质影响台湾历史学界的这个层面，而急切援引西方社会科学入史者所要求的是将历史研究更上一层楼的「科学化」，如他以殷海光为例，指出：。在本科阶段有纯粹的数学、物理数学、应用数学、数学科学、统计和一般数学等6个专业。这一著作的问世有三重意义第一，它标志中国学者开始对华侨历史作用的认识，这是作者在认识世界历史的同时开始对中国自身历史的反思此文也是中国华侨的首创之作第二，作者从现代历史的角度出发，将华侨与开拓殖民联系起来作者通过对哥伦布、利文斯敦等西方探险家的认识，认为中国的殖民者在毫无政府支持的情况下殖民邻邦，远比西方殖民者伟大第三，作者在论述八大伟人的同时，对殖民与国力的关系提出了自己的看法他认为，海事思想与国民元气关系密切，此其一中国在今后的殖民活动中要充分利用粤闽两省的优势殖民事业必须得到政府的支持和鼓励，此其二“列强殖民，莫不以政府之力直接间接奖励之”中国却反其道而行政治能力与国际竞争关系密切，此其三这实际上是梁启超历史哲学的阐发作者有感而发，“八君子之见摈于中国历史，其毋乃即中国民族见摈于今日生存竞争界之表征也吾述此，吾有余痛焉耳”作者认为，“海以南百数十国，其民口之大部分，皆黄帝子孙以地势论，以历史论，实天然我族之殖民地也”“华侨殖民论”即自此始。

d选项，勾股定理是一个初等几何定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。利用计算机来演示几何教学中的图形，能够使学生更直观地掌握几何中的性质、定理、判定等命题。在教学研究中，强调“数学为本，经济为用”的原则，很好的处理了中学数学和大学数学的衔接，注重引导学生用数学模型来研究经济理论，利用数学软件进行计算，数学概念尽可能结合几何、数值、经济和物理背景引出，提高了其“可视性”和“通俗性”,渗透了现代数学的思想和方法，做到了数学与经济有机结合，把科学性、先进性、适用性渗透于其中，正确处理了数学与经济、经典与现代、理论与应用、知识与素质、教与学诸种复杂关系，构建了“问题驱动，线条鲜明，窗口适当，系统完整，内容丰富”的教学体系。

陈省身最杰溺髂学生、 菲尔兹（ Ｆ ｉｄ ｔｄ ｓ）奖鄂壳控福德（ Ｃ ｒ ａ ｆ ｏ ｏ ｒ ｄ ）鼗学奖褥主鹾戚捅。≤１９４９－ － ≥运年在谈嚣歌氏冗旃露豢邀豁影穗瓣， 攒遗： “翥人髂颂毕达爵拉囊定理，说它是平瑟Ａ 衡中最羹要翁定理。 迄今冀盘， 在大蛰分有意义麴几鹰空瓣孛， 都要求这祭定遴在无穷小熬荣影下戏立” ； 髓“三角澎内竟翱搀ｔ８００， 本质上是说平面是平螳不具肖鏊攀戆” ， 【撼】 勒让德（ Ｌ ｅｇ ｅｎｄｒｅ， １７Ｓｋｌ８３３）首先指出它等价子欧氏第越公理。 韪揭示了这两个定理深刻的科学内涵。 关于《几翁原本》 ， 陈省身谈到冀教育功麓时， 剃强调： “这本书受到重视， 不单是为了凡何， 主饕还是要学一种逻辑推理韵方法。 熟瑟； 纂实主， 诧书在入类的理性文萌中， 在科学方法论麓剖建上， 都扮演了开路燕锋煮色。＝ 十澄纪蒋大静浆掌家、 陈省骞麓老帮埃裂＊ 嘉蚤＜ 鼗ｉ蜚Ｃ ａ ｆ ｔａ ｎ ， ｌ客孬多一ｉ鲣ｉ＞ 籀塑：科菱确蕊接理无疑菲嚣要紧， 餐更关键憋是找到蚤苓殴上韵润遂。 蜞强】 遵捱嚣， 囊当麴这张愚维鞲髓， 惹文鼗髑褥受多地关注“三麓形三蠹角鞠为１８０黜’ 的定理及其推广， 直燮阿蒂驻—辛格（ Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ）搔标定理。

｛ ． ２《原本》 中译传播意义重大。 １９ ９ ２年， 在《耶稣会士与中黧耩攀》 一书中，作者指出； “科学传播是科学社会史的重要课题特， 铽中国的近代科学， 一般说米不是辩中国传统科学的缝承， 而怒西方科学传播鲍结粟。 ” ［ １９ １，ｌ５８ ２年， 蠢大剩传教士剩玛窦（ Ｍ ａ Ｒ ｃｏＲ ｉｃｅｉ， １５５２－ － ｔ６１０）寒攀， 次年刘广末肇炭， 惹迁露韶撼， ｔ６０１年避＝ ｌ乏索。 愁是“天主教在孛黧蠹地传教然奠基入。 ” ｆ ２ｑ 早年， 剃玛窦誊在攀鲧会镬办的罗遥学院学习。 该统醵教学计划中第二年即为学习《艨本》 第１－ ６卷， 鬻对他影赡最大鳇教蛳则是克拉维斯（ Ｃ ｈ ｒｉｓｔｏ ｐ ｈＣ ｌａ ｖ ｉｕ ｓ， １５３７ —１６１２）。 此公生予德国， 逸为他１５７４年端出对《原奉》 酌１５港拉丁文译注本川ｎｃｌｉｄｉｓＥ ｌｅ ｍ ｅ ｎ ｔｏ ｍ ｍＬ ｉｂｒｉＸ Ｖ ， 面被誉为“１６世纪的欧凡整得斡。。甥代万历兰十黯年（ １６０ ６年）歉，剁骂窦在尼经爝攒岳三角形欧拉定理， 始与避圭、 翰禚浣庶卷士徐光离合律翻译遮奉酉方名蔫《暴零》 翡蓊６卷， 并将孛译本定名蒡《足舞骤奉》 ，予翌年≤１６０７ 年＞ 在＝ ｛ 毫寰波鬏。

“这燕蔷方科学薯瘁译共孛文熬开始。 ” 【２１】 徐光魔一生的簿学袋裁， 广秽天文历法、 鼗学、 农学和军事技术等方蚕。 健在数学方面姚成就概括地遂鸯三个方蔼， 鄹； （ １）论述了中鸯数学在明代落戤的原因； （ ２）论述了数学戍用的广泛挫； （ ３＞ 翻译著出版了《几何原本》 。 霹’ 】 西学东渐。 今天当谈到“科学在中国黼传攒” 、“中蹦近代数学之开端” 等话题时， 我们清晰地蒋刘《几何原本》 中译本翔时代的科攀与…． ３－。’教育意义。 同时， 明代大科学家徐光启为发展中华民族的科学技术事业孜孜不倦地奋斗了一生， 其业绩彪炳史册， 当受到人民群众世代景仰。 与此同时， 笔者也注意到， 陈省身早在１９ ４ １年为上海《科学》 杂志所撰《中国算术之过去与现在》 一文中， 也高度评价道： “利玛窦（ Ｍ ａ ｔｔｅｏ Ｒ ｉｃｃｉ）东来， 才把我们唤醒， 把西洋精神上的食粮喂给我们。于是我们遂入于一新时期， 即接受西洋算学的时期。 ” 【注１１然而， 文献【１５】 表明： 《原本》 的内容及其公理化的思想对初译者徐光启的影响是巨大的。

在徐以后， 由于传统数学的根深蒂固， 作为《原本》 的内容对培养明末以及清一代的数学家起了很大作用， 但公理化的思想所引起的影响则逐渐缩小， 有些数学家甚至是拒绝的。１． ３陈省身的几何学启蒙教育及其谆谆告诫。 陈省身的数学启蒙教育是在西学东，渐的深刻久远影响下， 从《笔算数学》 开始的。 此书系由美国长老会牧师狄考文（ Ｃ ． Ｗ ．Ｍ ａ ｔｅｅｒ ， １８ ３６ － － １９ ０ ８ ）与邹立文１８ ９ ２年合作编译的。 １９ ２２年秋， 陈随家由故乡嘉兴迁居天津， 后插班考入扶轮中学读一年级第二学期， 但仍读旧制四年课程。 三年级时， 。 校ｊ长顾赞廷用Ｗ ｅｎ ｔｗ ｏ ｒｔｈ 与Ｓ ｍ 油的课本亲自教几何课。 【２２１他是陈省身的几何学启蒙老师，陈是校长的得意门生。一ｊ。 ”顾赞廷， 北京高师毕业， 治学态度严谨， 几何课教得很“凶” 。 当时， 许多同学觉得几何学枯燥无味， 兴趣乏然。 １９ ２６年４ 月 ， 陈省身则在《扶轮》 校刊上撰文鼓励低班同学。 他说： “数学是学校中重要功课之一， 这是大家所公认的。 ” “几何学在数学中占了极重要的位置， 非但有志研究科学的人， 应当注意于他， 就是普通的中学学生， 也应该拿他当作应有的常识。

然而研究几何的人， 常常觉得他枯窘无味， 所以不肯用功。 本来叫一个人， 使他对素所不欢喜的功课去用功， 是一件不近人情的事。 那么， 增加学生对于几何的兴趣， 更是一件不可或缓的事。 “‘我以为在一个几何习题中， 去寻出他的种种证法， 很可以引起研究几何者的兴趣， 并且又可以养成有系统的脑筋。 ” 【２３】 接着， 他给出了弦切角定理的１６ 个证明， 表现了对几何训练在开发智力中的作用的较深理解， 也显露出其与众不同的逻辑推理能力。 他自幼是主动求学和培养自己对数学的兴趣的。 【８ 】“中学是人一生中可塑性极强的时期。 ＂光阴荏苒， 时序匆匆， 七十六个春秋过去了。 ２０ ０ ２年初， 人民教育出版社等单位的数学教育工作者就基础数学课程改革、 数学教材编写等问题向几何大师陈省身请教。 在谈到“关于几何内容和逻辑推理的教学” 时， 陈【性ＩＩ中国科学院院士、 著名科学史家席泽宗先生曾指出： 过去， 人们。 由于宣传爱国主义这样一个目的， 对于明末传教士东来的科技史注意不够。 ” （ 见： 董光壁主编， ‘中国近现代科学技术史》 ， “席泽宗序” 。