陈省身·几何原本·欧拉示性数──从三角形内角和定理高斯邦尼公式到阿蒂亚辛格指标定理(3)

4.命题方向及题型设置，反比例函数也是中考命题的主要考点，其图像和性质，以及其函数解析式的确定，常以填空题、选择题出现，在低档题中，近两年各省、市的中考试卷中出现不少将反比例函数与一次函数、几何知识、三角知识等综合编拟的解答题，丰富了压轴题的形式和内容.。苏 淳：中国科学技术大学教授、博士生导师，著名概率论专家、数学奥林匹克专家，中国数学奥林匹克国家级教练，《数学竞赛之窗》编委、专家指导委员会委员，原中国数学会奥林匹克委员会委员，多次参与中国数学奥林匹克、女子数学奥林匹克等大型竞赛的命题工作。在本科阶段有纯粹的数学、物理数学、应用数学、数学科学、统计和一般数学等6个专业。

．． ８．省身也有更为精辟、 全面的评价。１９ ７ ８ 年， 美国加州大学Ｂ ｅｒｋ ｅｌｅｙ 分校为陈省身教授退休举行“国际微分几何会议”的筹备工作， 正在有条不紊地进行。 是年４ 月 ２７ 日， 陈在该校作了题名为《从三角形到流形》 的“教授会研究报告” 。 这是一位睿智老人凝聚着其毕生学术经历和科学思想精华的重要学术报告。 它在２０ 世纪世界科学思想史上留下了浓墨重彩的一笔， 当占有重要的一席之地。 【注５】陈省身开宗明义地说： “我知道大家想要我全面地谈谈几何： 几何是什么； 这许多世纪以来它的发展情况； 它当前的动态和问题； 如果可能， 窥测一下将来。 ， ， 【２１接着， 他依次讲了“几何” 、 “三角形” 、 “平面上的曲线； 旋转指数与正则同伦” 、 “三维欧几里得空间” 、 “从坐标空间到流形” 、 “流形； 局部工具” 、 “同调” 、 “向量场及其推广” 、“椭圆型微分方程” ……， 直至“规范场论” 和“结束语” 等十二节。

报告深入浅出地回顾了整体微分几何的发展， 阐述了运用拓扑学的工具， 如何推进偏微分方程、 大范围分析学、粒子物理的统一场论和分子生物学中的Ｄ Ｎ Ａ 理论等的发展。 其中， 广涉三角形内角和定理、 欧拉示性数、 高斯一邦尼公式， 以及阿蒂亚一辛格（ Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ）指标定理，真可谓： “放眼欧亚美， 时跨两千年。 ” 在第十节“欧拉示性数是整体不变量的一个源泉’ ：的标题下， 陈省身总结地说： “概括起来， 欧拉示性数是大量几何课题的源泉和出发点ｊ二我想用下面的图８ 来表示这关系。椭圆拓扑总曲率示性类图８ ＂组合拓扑同调和层的上同调【疰５】 １０ 年前， 笔者之一曾就陈省身关于。 几何进化史” 的生动比喻等言论， 发表过一管之见的评论， 详见参考文献【９ 】 。这里， 我们要着重指出： 陈省身在‘从三角形到流形》 的， “结束语” 中对瑟斯顿（ １１１ｕ ｒＳ ｔｏ Ｉｌ’ １９ ４ ６．人的工作介绍， 尤其是他关于庞加莱猜测证明工具的预见， 后来的历史不断验证了其远见．譬如， 陈省身１９ ７ ８ 年说： 。

几何学的问题之首可能仍然是所谓的庞加莱猜测： 一个单连通三维闭流形同胚于三维球面。 拓扑和代数的方法至今还没有导致这个问题的解决。 可以相信： 几何和分析中的工具将被发现是很有用处的。 ” ２８ 年后， 美国著名数学家汉密尔顿（ Ｒ ｉｃｈ ａ ｒ ｄ Ｈ ａ ｍ ｉｌｔｏ ｎ ）说： “丘成桐和演讲人提出了用里奇（ Ｒ ｉｃｃｉ）流来研究这个问题的纲领． ” “曹怀东、 朱熹平最近完成的一篇论文包含这项工作的全部细节” ． （ Ｒ ｉｃｈ ａ ｒｄＨ ａ ｍ ｉｌｔｏ ｎ 在２００６年国际数学家大会－ － ｄ ，时报告的“摘要” 语． 见： ‘数学译林》 ２０ ０ ６ 年第４ 期第２９ ０ 页． ）Ｊｏ ｌｌｎＭ ｏ ｒ ｇ 鲫指出： “就像牛顿那样， Ｐ ｅｒ ｅｌｍ 柚要看得更远就必须站在巨人的肩上， 当然这样的巨人就是Ｒ ｉｃｈ ａ ｒ ｄＨ ａ ｍ ｉｌｔｏ ｎ ， 他过去２５年的艰苦工作发展出里奇（ Ｒ ｉｃｃｉ）流的基本理论框架， 从而也为Ｐ ｃｒ ｃｌｍ 鲫的工作奠定了基础。

” （ 见： ‘数学译林》 ２０ ０ ６ 年第４期， 第３“页， Ｊｏ ｈ ｎ Ｍ ｏ ｒｇ ａ 访谈录）。）、 丘成桐等一． ９ ．而１９ ４ ０ 年Ｅ ・嘉当在贝尔格莱德的法国研究院作的演讲中， 称赞欧拉为“数学王子’ ’ ， 并高度评价欧拉： “他的天赋遍及数学的所有领域， 他的工作有重大而持久的作用。 ” 【４ ３１３． 高斯一邦尼公式， 阿蒂亚一指标定理， 数学的统一性， Ｊ・３． １高斯一邦尼（ Ｇ ａ ｕ ｓｓ—Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ）公式及其推广。 陈省身指出： 高斯一邦内公式“最重要的特别情形是Ｅ ｕ ｃｌｉｄ 平面内直边三角形的角度和定理。 ＇， ［ ４ ４ １设Ｍ 是２维定向黎曼流形， Ｄ 是Ｍ 上由某分段光滑曲线Ｃ 围成的紧致区域。 高斯一邦尼公式是说∑（ 万一口）＋ ｆｃ胁＋ Ｉｊ＇Ｋ ｄＡ ＝ Ｄ ｒｚ（ Ｄ ），Ｄ其中ｚ（ Ｄ ）是Ｄ 的欧拉示性数， 左边的各项分别是各角落的外角、 测地曲率ｋ 的积分和高斯曲率Ｋ 的积分。 它们分别是点、 线、 面的曲率， 故此公式是以拓扑不变量ｚ（ Ｄ ）来表示全曲率。

在定向闭曲面Ｍ 的情形， 此公式变得特别简单：。Ｊ『删＝ ２ｎ＇Ｚ （ Ｍ ），Ｍ一。 一‘它把整体不变量ｚ（ 肘）表示成局部不变量Ｋ 的积分。 陈省身说： “这也许是局部性质与整体性质之间的最令人满意的关系了。 ’ ’ 【２】人们会问： 这个重要的经典公式对高维流形是否成立呢？瑞士大几何学家霍普夫（ Ｈ ． Ｈ ｏ ｐ ｆ ，１８ ９ ４ ・１９ ７ １）， １９ ２５年在这方面做过基本工作。 他曾说： “这是微分几何最基本和困难的问题。 ＂。１９ ２６年至１９ ３４ 年， 陈省身在南开大学和清华研究院， 先后师从姜立夫（ １８ ９ ０ ． １９ ７ ８ ）、孙光远（ １９ ０ ０ ． １９ ７ ９ ）研读几何学。 在那里， 他从布拉施克（ Ｂ ｌａ ｓｃｈ ｋ ｅ， １８ ８ ５． １９ ６ ２）的微分几何书上， 知道了曲面论中要紧的高斯一邦尼公式。 后来， 他又到德国和法国深造，相继师从布拉施克和Ｅ ． 嘉当， 苦心孤诣得到后来主要的“灵感” 来源与研究工作之“魔杖” 。

１９ ３７ 年８ 月 陈回到遭受日本帝国主义侵略的灾难深重的祖国， 在西南联合大学任教六年。 这也是他在困境中潜心研究， 笔耕不辍的六年。 【８ １陈省身后来说： “Ｇ ａ ｕ ｓｓ． Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ公式曾使我着迷， 我知道它的最概念化的证明是完成表示联络形式的外微分的结构方程。 当１９ ４ ３年我去普林斯顿时， 它已为我在数学工作中最得意的一篇论文打下了基础。 ， ， １４５】这篇最得意的论文， 即仅有６页长的论文《对闭黎曼流形高斯一邦尼公式的一个． １０ ．简单的内蕴证明》 。 （ Ａｓｉｍ ｐ ｌｅ ｉｎ ｔｒｉｎ ｓｉｃｐ ｒ ｏ ｏ ｆｏ ｆ ｔｈ ｅ Ｇ ａ ｕ ｓｓ． Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍ ｕ ｌａ ｆ ｏ ｒ ｃ ｌｏ ｓｅ ｄＲ ｉｅ ｍ ａ ｎ ｎ ｉａ ｎｍ ａ ｎ ｉｆ ｏ ｌｄ ｓ． ）【注６１陈省身是抵美仅两个月 ， 在频繁的国际交流与激烈竞争中， 脱颖而出， 完成这篇微分几何史上划时代的论文的。 首先， 陈知道了Ａ ・韦依刚刚发表了他与阿伦道夫（ Ａ ｌｌｅｎ ｄ ｏ ｅｒｆ ｅｒ， １９ １１． １９ ７ ４ ）合作的、 关于高斯一邦尼公式的利用“嵌入” 的著名论文。

它立刻成为陈与Ａ ・韦依讨论的话题。 其次， 陈根据自己对二维情况的理解， 知道正确的证明应该置于我们现在称之为超度（ ｔｒａ ｎ ｓｇ ｒｅｓｓｉｏ ｎ ）的概念之上。 对此， 他后来说过： “我的主要灵感来自Ｗ ． Ｂ ｌａ ｓｃｈ ｋ ｅ的关于微分几何的著作。 ＂【４ ５１第三， 陈在着实折腾了好一段时间后， 弥补了拓扑知识的缺乏， 学到“关于向量场的奇点的Ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ６． Ｈ ｏ ｐ ｆ 定理” （ 此定理亦称为“欧拉一庞加莱一霍普夫定理” ）， 克服了一个关键困难。 最后， 更重要的是，超度必须在单位切丛中而不是在主丛中实现， 这就涉及到一个不平凡的技术困难。 陈正是在短期内克服了后面两个困难， 而得到其满意的结果。 Ｈ ． 夕｝’ 尔（ Ｈ ・Ｗ ｅｙ ｌ， １８８５． １９ ５５）获悉此事， 立即打电话向陈省身“道喜” ， 因为他看到了这项工作的极端重要性； １ Ａ ・韦依后来则在《我的朋友——几何学家陈省身》 一文中， 画龙点睛地指出： ‘＇Ａ ｌｌｅｎ ｄ ｏ ｅｒｆ ｅｒ和我的证明只限于考虑‘管’ （ ｔｕ ｂ ｅ）， 依赖于（ 虽然在当时这点是不明显的）球丛结构， 这是非内蕴结构， 也就是对Ｅ ｕ ｃｌｉｄ 空间给定的一个浸入的横截丛； 而陈的证明破天荒第一次用到了内蕴丛， 也就是长度为１的切向量丛， ‘从而使整个问题豁然开朗。

“［ ４ ６１一一－笔者曾指出： 陈省身１９ ４ ６年完成的这篇“广义Ｇ ａ ｕ ｓｓ． Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ的内蕴证明” 工作， 以微分几何和拓扑方法之结合， 揭示了闭Ｒ ｉｅｍ ａ ｎ ｎ 流形Ｍ 上局域性质和整体性质的对立统一关系。 其最本质的思想是考虑Ｍ 上的单位长切向量丛跗。 此公式是现代微分几何的出发点， 它较早显示出陈省身数学观的最主要特征。 【４ 刀正因为这种方法的原始创新性和强有力的影响， 现在在许多文献中， 常把这个高维情形下的公式称之为“高斯一邦尼一陈省身公式。 ， ， ［ ４８． ４９】 【注７１而Ａ ． 韦依之权威评论： 陈‘‘破天荒第一次用到了内蕴丛” ， 使我们有充足的理由， 在称陈是现代微分几何的奠基人之一的同时， 也可誉其为“整体内蕴【眭６ ｌ此文系１９ ４ ３年１１月 ２６ 日被接收的． １９ ４ ４ 年１０ 月 发表在美国著名数学期刊Ａ ｎ ｎ ａ ｌｓｏ ｆ Ｍ ａ ｔｈ ｅ ｍ ａ ｔｉｃ ｓ第４ ５卷第４期７ ４ ７ ． ７ ５２页上。 后收入Ｓ ｐ ｒｉｎ ｇ ｅｒ－ Ｖ ｅｒｌａ ９ １９ ７ ８ 年出版的Ｓ ｈ ｉｉｎ ｇ － － ｓｈ ｅｎＣ ｈ ｅ ｍＳ ｅ ｌｅ ｃ ｔｅ ｄＰ ａ ｐ ｅ ｒ ｓ书内。

２０ ０ ２年６ 月 ， 华东师范大学出版社出版的《陈省身文集》 内有该文之中译文， 具参考价值。 但编者将其作为“高级数学科学作品” 置于数学评价部分， 似欠妥．Ｍ 在陈省身逝龋Ｍ 也将此城ｌ／ｌｌ＂Ｏ ａｕｓｓ－ Ｂｏｎｎｅｔ－ Ｃｈｅｍ 馘： ｚ（ Ｍ ）＝ ， 吖∥（ 等卜书写在南开大学陈省身故居寸园客厅的小黑板上， 以资纪念． 公式左端即为流形Ｍ 的欧拉一庞加莱示性数．微分几何之父” 。 【注８】这里， 我们还要特别指出两点： （ １）陈省身早在西南联大任教时， 就已经根据联络的概念， 利用其老师Ｅ ・嘉当传给他的“魔杖’ ’ 一外微分， 给出了二维曲面上的高斯一邦尼公式的内蕴证明。 而关于这个“魔杖” 之“秘密” ， 陈后来则以外微分“是一个仅依赖于微分结构的一级运算” ， 【５０】 一语点破。 （ ２）美国著名几何学家伍鸿熙说， “几何学家们都承认” ， 陈１９ ４ ３年写就的这篇“内蕴证明” 论文， “对于微分几何的发展和后来陈类的提出有着不可磨灭的作用。

” １５” 但相对于“引进陈类的论文’ ， ＿ 《埃尔米特（ Ｈ ｅｍ ｉｔｅ）流形的示性类》 ， 陈晚年则一再强调： 他１９ ４ ３年的这篇“内蕴证明” 之论文是其最得意的工作。他言简意赅地引用杜甫（ 公元７ １２． ７ ７ ０ 年）的“文章千古事， 得失寸心知” 的诗句来表达其见解， 并明确指出： “我的证明有新见， 解决了技术上的困难， 并开创许多新发展。这在科学研究是难得的。 ＂【５２】３． ２阿蒂亚一辛格（ Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． ｓｉｎ ｇ ｅｒ）指标定理及其先驱与特例。１９ ７ ０ 年９ 月 ， 陈省身在法国尼斯举行的第１６ 次国际数学家大会上作《微分几何的■过去和未来》 的－ ｄ ，时全会报告。 他在“Ｂ ． 一些基本概念和工具的进展＂部分， 谈到李群、 纤维空间、 变分法和椭圆微分系统。 他指出： “椭圆系统占据一个中心位置， 这是因为对解集的严格约束使得椭圆系统具有丰富的性质。 ……关于一个紧致流形上的线性椭圆算子的指标包含了流形的某些最深刻的不变量。