陈省身·几何原本·欧拉示性数──从三角形内角和定理高斯邦尼公式到阿蒂亚辛格指标定理(4)

（ 如Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ， Ｂ ｏ ｔｔ， Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ的工作）． ［ ５３１两年后， 中美两国结束敌对状态不久， 陈省身就偕夫人和女儿访问了新中国。 他带来美国科学院和社会科学院与医学科学院的信， “希望交流科学家＂。 他在中国科学院数学研究所作了《纤维空间和示性类》 的演讲。 这个演讲， “描绘了Ａ ｔｉｙ ａ ｈ —Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ指数定理的全貌” ， 【５４】 【注９】 展示了国际数学研究前沿的惊人成就。阿蒂亚一辛格指标定理， 是由阿蒂亚和美国著名数学家辛格（ Ｉ． Ｍ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ，１９２４一）于１９ ６ ３年联合证明并以他们的名字命名的定理。 它的大意是说： 对于一个封闭的弯曲空间上的微分算子（ 称为线性椭圆微分算子）， 可以定义两个整数： 一个是用分析办法定义的， 称为分析指标； 另一个是用拓扑办法定义的， 称为拓扑指标。 在这个情形下， ．哗８ １近几年， 在陈省身先生逝世前后， 有不少媒体和出版物在报道时， 称陈为“神童” 、 “天才少年” ， 或“微分几何之父” ． 笔者认为。

从事实和历史评价的眼光来看。 这些说法均不妥． 另有人赞陈省身为“现代微分几何之父” ， 亦似欠妥。 其缘由。 ． 可参见丘成桐、 孙理察著《微分几何》 （ 科学出版社， １９ ８ ８ 年７ 月 第一版）之“序言” 。 在那里，他们介绍了。 在二十世纪， 微分几何的发展极为迅速， 大致分为四个方面” 的概况。 事实上． 在张洪光调入南开数学研究所工作采访陈先生时， １９ ８ ８ 年１１月 他赠丘、 孙此专著给张； 并谈及２０ 世纪初整体微分几何已处于“摇篮”时期， 开始引人注目． 他明确地告诉张， 他不能称为“整体微分几何的创始人。 ”ｌａ ｇ ｌ１９ ７ ０ 一８ ０ 年代中译初期， “指标定理” 多数学者均译为“指数定理” ， 可见下文Ｉ）Ａ 三角形到流形》 之中译句。陈省身先生１９ ８ ６ 年１１月 ， 曾对笔者之一赞扬过该文之中译质量甚佳．． １２．阿蒂亚一辛格指标定理可以叙述为： “对任何一个线性椭圆微分算子Ｄ ， 下面的公式成立： Ｄ 的分析指标＝ Ｄ 的拓扑指标。

’ ’ 【５５】 【注１０］１９７ ８年， 陈省身早在《从三角形到流形》 的著名报告中就指出： “在用局部不变量的积分表示椭圆算子的指数这一方面， 阿蒂亚一辛格（ Ａ ｔｉｙ ａ ｈ —Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ）指数定理达到了顶峰。 许多著名的定理， 例如霍奇指标定理、 赫兹布鲁赫（ Ｈ ｉｒ ｚ ｅｂ ｒ ｕ ｃｈ ）指标定理和关于复流形的黎曼～罗赫（ Ｒ ｏ ｃｈ ）定理， 都是它的特殊情形。 ＂［ ２１１９ ９ ０ 年， 美国著名数学家哈尔莫斯（ Ｐ ． Ｒ ． Ｈ ａ ｌｍ ｏ ｓ， １９ １６．）在其综述报告《数学的进展慢下来了吗？》 中， 谈到Ａ ｔｉｙ ａ ｈ —Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ指标定理时说： “拓扑指标与Ｋ ．理论有关， 特别在经典情形与Ｅ ｕ ｌｅｒ特征数有关。 ＂“刚才提到的等式仅是Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ联合工作的一小部分。 这项工作的成果是最深刻和最广泛的。 对作为报告人的我来说，它是这份报告中最铁的部分。 它们不仅是一个定理， 而且是一种理论， ～个领域， 一种观点， 这种观点进入影响数学的许多部分， 同时也受到它们的影响。

在写到过去５０ 年来微分几何的惊人成就时， Ｏ ｓｓｅｍ ａ ｎ 称Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ指标定理为‘分析、 拓扑和几何的美妙综合， 特别导致对Ｇ ａ ｕ ｓｓ． Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ定理的新看法： 不是作为孤立的结论， 而是一大群事物中的一个。 ～【５６】．“指标定理有很长的根系。 ” 它包含了许多联系流形的拓扑性质和微分几何性质的经典结果。 例如， Ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ ６的用Ｅ ｕ ｌｅｒ 数表示曲面上向量场的指标和的定理， 是指标定～理最简单的情形。 ｐ７】我国杰出的青年数学家、 第三世界科学院院士、 陈省身数学研究所【洼１１】 所长张伟平（ １９ ６４ ． ）， 在《指标定理在中国的萌芽一纪念陈省身先生９ ５诞辰》 一文中指出： “中。国数学家对阿蒂亚一辛格指标定理的形成作出了先驱性的贡献。 其中最突出的就是陈省【洼１０１２０ ０ ４ 年， 在挪威科学与文学院宣布第二届Ａ ｂ ｅｌ奖由Ｍ ． Ｆ ． Ａ ｔｉｙ ａ ｈ 和１． Ｍ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ分享， 以表彰“他们运用拓扑、 几何和分析， 发现并证明了指标定理． 以及他们在数学与理论物理之间构建新桥梁的杰出作用” 时， Ｊｏ ｈ ｎＲ ｏ ｇ ｎ ｅｓ教授作了关于Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ指标定理的一个通俗报告． 在报告中． Ｊｏ ｈ ｎ Ｒ ｏ ｇ ｎ ｅｓ指出了该定理。

更确切的陈述” ：“定理（ Ｍ ． Ｆ ． Ａ ｔｉｙａ ｈ 和１． ＿ ． Ｓ ｉｎｇ ｅｒ）： 设ｐ（ ． 厂）＝ ０是定义在一个闲的、 光滑的， 定向的ｎ雏流形Ｘ 上的椭圆偏微分方程组． 则Ｐ 的解析指标－ Ｐ 的拓扑指标由下面明确的公式给出：Ｐ 的拓扑指橱刍（ 一１）４＜ ｃ五（ ｓ（ ｐ））・ｔｄ （ Ｔ ｃＸ ）， ［ Ｘ 】 ＞ ，这里ｎ 是空间ｘ 的维数， ｊ佃， 是组Ｐ 的符号， ｃ办是陈特征， Ｚ ｜ｃⅨ是Ｘ 的复化切丛， ｔｄ 是Ｔ ｏ ｄ ｄ 类， ・是上积（ ｃｕ ｐｐ ｒｏ ｄ ｕ ｃｔ）， ＩＸ ｌ是Ｘ 的基本类， ＜ ， ＞ 是Ｋ ｒｏ ｎ ｅｃｋ ｅｒ配对．这个公式中涉及到的概念是复杂的， 但是关于它们的计算并不比一个数学家熟练操作的那些其它的计算更难多少。 上述公式基本上仅依赖于形状或空间Ｘ 的拓扑。 ” （ 转引自： Ｊｏ ｈ ｎＲ ｏ ｇ ｎ ｃＳ ， 什么是指标定理？冯惠涛译， 张伟平校， 数学译林， ２０ ０ ４ ， （ ２）： １１４ － １１８ 转１５１页）Ｉ炷・ｔ】 在南开数学研究所成立二十周年暨陈省身先生逝世一周年之际． 该所已更名为“陈省身数学研究所” （ Ｃ ｈ ｅｍＩｎ ｓｔｉｔａ ｔｅ ｏ ｆ Ｍ ａ ｔｈｍ ａ ｔｉｃｓ， 缩写为Ｃ ＩＭ ）． ２０ ０ ５年９ 月 ２７ 日， 江泽民同志来南开数学研究所视察时， 亲笔为这个新的所名题字。

． １３．身先生于上世纪４ ０年代中期的一系列开创性工作， 特别是上面已经提到的高斯一博内特一陈省身定理， 还有就是陈省身示性类的提出和研究。 ＂【注１２】 “陈示性类的提出和发展，掀开了微分几何的新篇章。 上面提到过的大数学家霍普夫评论道： ‘微分几何由此进入了一个新的时代’ 。 而多年后， 年轻一辈的微分几何代表人物辛格（ 阿蒂亚一辛格指标定理的作者之一）写道： ‘对我们来说， 陈就是现代微分几何’ 。 具体到阿蒂亚一辛榷指标定理这个伟大的成就， 从以下的两个方面可以看出正是陈先生的工作奠定了它的基础：．．●（ ｉ）高斯一博内特二陈省身公式可以看成是第一个在任意维数都成立的指标定理的一个特例， 是指标定理的先驱；（ ｉｉ）指标定理中的拓扑指标本身就是用陈示性类来定义的， 这反映了陈示性类的不可或缺的基本重要性！＂【５８】与此同时， 张伟平还指出： “对指标定理的形成做出先驱性贡献的另一位中国数学家是吴文俊先生。 希策布鲁赫在其１９５６年的名著《代数几何中的拓扑方法》 的导言也指出， 是吴文俊最早猜出了４ 维流形的符号差公式的形式， 后来由托姆（ Ｔ ｈ ｏ ｒ ｎ ）予以证明的（ 苏联数学家洛赫林（ Ｒ ｏ ｋ ｈ ｌｉｎ ）也独立地证明了这个公式）。

而希策布鲁赫这本名著的主要定理之一就是把吴文俊猜到的公式推广到任意维数的情形。 ” “后来的发展证明， 希策布鲁赫在这本书中证明的定理以及使用的方法（ 即由托姆发展起来的配边理论）对阿蒂亚一辛格指标定理的最终提出和证明有本质性的启示。 ’ ’ 【５８】～・警阿蒂亚一辛格指标定理与费尔马（ Ｆ ｅｒｍ ａ ｔ， １６０１－ － １６６５）大定理是“２０世纪数学最辉煌的成就” 的两个代表。 【注１３】 它们都是体现“数学统一性＂的光辉典范！吴文俊在《南开数学研究所的二十年回顾》 一文中， 也指出： “与陈省身示性类密切相关的Ａ ｔｉｙ ａ ｈ ． Ｓ ｉｎ ｇ ｅｒ指标定理， 被认为是２０世纪数学上两项最大成就之一（ 另一是费马大定理的证明）＂Ｏ 叼最近， 吴又与中国科学院院士、 著名理论物理学家葛墨林主编了《陈省身与中国数ｒ学》 一书。 吴文俊在书中《悼念我的数学研究启蒙老师陈省身大师》 一文中， 写道： “Ｅ ．Ｃ ａ ｒ ｔａ ｎ 是２０ 世纪的微分几何大师。 他对微分几何有一套独特的创造， 号称难学。

但陈完全掌握了他的要领与方法。 更重要的是： Ｅ ． Ｃ ａ ｒｔａ ｎ 的微分几何研究是局部范围的。 陈却提出了如何作大范围或全局性研究的创新想法。 这对陈一生的研究起了可以说是决定【拄１≈Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ（ 邦尼）， 亦有人中译为博内、 博内特等。【在１３ｌ关于“费尔马大定理” 被证明的历程，请参阅下面两本书： （ １）胡作玄著三角形欧拉定理， １３５０年历程——从费尔马到维尔斯》 ，山东教育出版社， １９９６年； （ ２）【英】 西蒙・辛格著， 薛密译， ‘费尔马大定理——一个困惑了世间智者３５８年之谜》 。胡作玄、 邓明立的专著１２０ 世纪数学思想》 ， 对这两个著名定理均有论述， 可供参考． Ｆ ｅｒ ｍ ａ ｔ（ 费尔马）． 也有人中译为费马．性的作用。 为了作这种研究， 必须依靠拓扑学的方法与手段， 这是陈重视拓扑学的背景。陈从法国回国后在清华大学任教， 在积分几何方面作出了重要工作。 为此美国的Ｖ ｅｂ ｌｅｎ教授邀请陈访问Ｐ ｒｉｎ ｃｅｔｏ ｎ 的高等研究院。 陈在旅美的短短两年期间， 除了用Ｅ ． Ｃ ａ ｆ ｔａ ｎ那种计算方法作出了Ｇ ａ ｕ ｓｓ． Ｂ ｏ ｎ ｎ ｅｔ公式的内在性高维推广因而轰动数学界外， 并用拓扑方法研究微分几何， 不仅引入了纤维丛且引入了现在通称的陈省身示性类， 使原来限于局部研究的Ｅ ． Ｃ ａ ｆ ｔａ ｎ 理论与方法完全可以拓展到大范围整体研究， 为微分几何开辟了一个全新的广阔天地。

” Ｉ删吴文俊又指出： “陈省身引进的示性类， 不仅纵横于数学整个领域， 而且由于与杨振宁先生的合作， 被应用于理论物理特别是规范场的研究。 反过来， 陈省身示性类在物理学上所获得的成就， 又被某些数学家如英国曾任皇家学会主席的Ａ ｔｉｙ ａ ｈ 爵士等反过来应用于数学。 【注１４ 】 数学中最有深刻意义与巨大影响的Ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ６猜测， 早在上世纪６０ 年代就已被美国数学家Ｓ ｍ ａ ｌｅ证明在大于或等于５维的情形成立。 Ａ ｔｉｙ ａ ｈ 的一个学生， 则运用陈省身示性类在理论物理中的成果， 证明了Ｐ ｏ ｉｎ ｅａ ｒ６猜测在４ 维时也成立。 【注１５】 至于３维的Ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ ６猜测， 则直到去年才由俄罗斯的数学家Ｐ ｅｒ ｅｌｍ ａ ｎ 所证明。 由此也可知陈省身开创之功及其影响之巨且深。 杨振宁先生曾有诗推崇陈省身示性类。 诗的末一句是‘欧高黎嘉陈’ ， 可谓入木三分， 是神来之笔。 ” 【６０Ｊ然而， 经再三斟酌， 笔者认为， 从微分几何的学科视角和“数学与物理紧密结合”之重要特点来看， 把杨诗“欧高黎嘉陈” 句中之“欧＂者， 视为“欧拉＂来作一新的解说， 亦未尝不可。

对与否， 欢迎争鸣、 讨论之。３． ３数学与物理， 数学的统一性。 如前所述， 在欧拉极具鲜明个性的数学思想中，“数学与物理紧密结合’ ’ 是其最重要的特点之一。 他“不分纯粹的与应用的数学， 熔各门于一炉＂， 在实践中突出地显示了数学的统一性。 而继欧拉之后， 法国、 德国等许多著名数学家， 如傅里叶（ Ｆ ｏ ｕ ｒｉｅｒ， １７ ６８ ． １８ ３０ ）、 高斯、 黎曼都继承了这一“伟大的传统＂。如， 法国分析学派的代表人物——数学家和物理学家——傅里叶， 就说过： “数学分析与自然界本身同样的广阔” ， “对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉。 ” 【６ｌＪ近一个世纪过去了。 １９ ０ ０ 年， 德国大数学家希尔伯特（ Ｈ ｉｌｂ ｅｒｔ， １８ ６２． １９ ４ ３）在世Ｉ洼¨ 】 新加坡世界出版社八方文化创作室出版、 发行的‘陈省身与中国数学》 一书第４ 页， 在此处将Ａ ｔｉｙ ａ ｈ 误排为美国人。

谨在此引用时， 顺便更正。（ 往１５ｌ“Ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ ６ 猜测在４ 维时也成立” 是由美国著名数学家、 １９ ８ ６ 年菲尔兹奖得主弗里德曼（ Ｆ ｒ ｅｅｄ ｍ ａ ｎ ， １９ ５１・）证明的， 其导师是布劳德（ Ｗ ． Ｂ ｒ ｏ ｗ ｄ ｅｒ ）。 故此句． 似应改为： “Ａ ｔｉｙ ａ ｈ 的学生唐纳森（ Ｄ ｏ ｎ ｌｄ ｓｏ ｎ ， １９ ５７ －了４ 维流形存在的怪异结构” 较妥。 （ 参见： 李心灿等编著， 当代数学精英一菲尔兹奖得主及其建树与见解． 上海科技教育出版社２０ ０ ２． １６１． １７ １， １７ ７ － １８ ２）唐纳森也是１９ ８ ６年菲尔兹奖获得者．）” ， “证明。 １ ５．纪交替的巴黎国际数学家代表会上作了著名的１《数学问题》 的讲演。 他在讲演中， 远见卓识地指出： “数学科学是一个不可分割的有机整体， 它的生命力正是在于各个部分之间的联系。 ’ ’ “数学的有机的统一， 是这门科学固有的特点， 因为它是一切精确自然科学知识的基础。

为了圆满实现这个崇高的目标， ， 让新世纪给这门科学带来天才的大师和无数热诚的信徒吧！＂［ ６２Ｊ，． ．这是在世界科技史上， 在德国科学兴隆时期（ １８１卜１９２０）， 哥廷根学派的主要代表人物一高斯、 黎曼、 克莱茵（ Ｆ ・Ｋ ｌｅｉｎ， １８４卜１９２５）和希尔伯特， 关于数学的统一性思想在经历了对具体的数学问题（ 例如， 代数基本定理）、 对数学的分支学科（ 例如，黎曼几何和埃尔兰根纲领）、 对整个纯粹数学（ 例如， 数学的公理化运动）等三个发展形态的十分明确而又深刻的理性表述。 我们认为， 数学的统一性反映了数学的本质， 它的“根深深地扎在世界的物质统一性之中” 。 １６３１． 然而遗憾的是， 在２０ 世纪前半叶， 也是在欧洲， 我们却听到和看到了纯粹数学和应用数学被分割的不和谐的言行。 譬如英国著名数学家哈代（ Ｈ ａ ｒｄ ｙ ， １８ ７ ７ 一１９ ４ ７ ）在％《一个数学家的辩白》 文中轻蔑应用数学之言论， 法国布尔巴基学派过度形式化的倾向，。、●就是其中的代表。 【注１６】 因此， 他们就不可避免地会遭到来自数学界精英们的似乎过分尖锐工。

但实际上却很中肯的批评。 譬如， 美国数学会会长彼德・拉克斯（ Ｐ ｅｔｅｒＬ ａ ｘ ， １９ ２６一），‘在２０ 世纪７ ０ 年代就指出： “并不是所有的欧洲数学家都以现实世界即物质世界作为问’ ０９” ！谴肇题的最高源泉的。 ＂法国布尔巴基学派的“宗旨就是要切割连接数学与现实的脐带。 ” ［ ６４ 】俄罗斯著名数学家、 菲尔兹奖得主Ｃ ． ｎ 诺维科夫（ Ｃ ． Ⅱ Ｈ Ｏ Ｂ ｌ４ Ｋ Ｏ Ｂ ， １９ ３８一）， 则在《二十一世纪前夕的数学（ ＩＩ）——二十世纪下半叶的总结： 俄罗斯与西方物理一数学界的危机》 一文中指出： “要知道， 在布尔巴基风格中实行的科学语言的形式化并不是希尔伯特的简化理解的有益的形式化。 它是一种过度的形式化， 使理解复杂化， 妨碍了数学的统一性及其与应用的结合。 ＂“一种清晰的、 涉及整个科学领...