陈省身·几何原本·欧拉示性数──从三角形内角和定理高斯邦尼公式到阿蒂亚辛格指标定理(2)

湖南教育出版社， １９ ９ ７年）这是值得我们认真反思的．． ４ ．一语重心长地说： “学生应该学会推理。 推理很要紧， 推理不仅在数学， 在其他学问里也是要用到的， 在中学里使学生有一些经验是很好的。 另外， 一定要讲欧氏几何， 从前欧几里得几何是整个教育的一部分， 而不仅仅是数学的一部分。 因为通过它可以使学生在简单的情况下获得一些推理。 从几何来讲， 没有欧氏几何就太麻烦了。 几何推理的部分不能取消， 整个数学就是建立在推理上的， 所以数学厉害。 推理出来的结果一定是对的，做个实验， 机器不灵， 材料不干净， 结果可能不一样， 但推理是同一个结果。 因此数学对于其他科学不但有用， 而且是重要的。 ＂【２４１谈到几何内容的安排与重点时， 他指出：推理是从公理出发的。 中学几何中最重要的就是“三角形内角和定理” 与“勾股定理” ， 其他如等腰三角形就没有那么重要了。 三角形内角和定理是欧几里得几何的一个基本定理， 在非欧几何里它就是不对的， 这亦是欧氏几何与其他几何不同的地方； 勾股定理也重要， 这个定理讲的是长度， 长度和角都很重要。

几何是从Ｇ Ｅ Ｏ 翻译过来的， 就是讲量度。 【２４１，１９ ８ ６ 年８ 月 ， 中国科学院院士、 著名数学家吴文俊在第２０ 届国际数学家大会的特邀讲演《近年来中国数学史的研究》 中， 指出： “古代中国人对角缺乏兴趣， 重视对距离的研究， 而欧氏几何则把角的研究放在重要地位。 ＂１２５】 据悉， 我国目前正在实行的《全日制义务教育数学课程标准（ 实验稿）》 ， 却“大大淡化了数学中的推理证明” ， 甚至连“三角形内角和等于１８ ０ 度这样的基本定理也不要求讲证明， 有的教材就代之所谓说理， 让学生用剪刀将三个角进行拼接实验” 。 ［ ２６】 这的确是一件令人遗憾的事情。 看来， 对“三角形内角和的定理” 及其推广的科学、 教育价值与思想文化价值的认识， 还有待深化和普及。’２． 欧拉： 数学思想与科学方法， 内在几何与示性数２． １ １８ 世纪数学的中心人物——欧拉。 欧拉， 瑞士人， 著名的数学家、 力学家、天文学家和物理学家。 他１７ ０ ７ 年４ 月 １５日生于瑞士巴塞尔； １７ ８ ３年９ 月 １８ 日在俄国圣彼得堡去世。

他一生长期在圣彼得堡科学院（ １７ ２７ ． ５． １７ ４ １． ６； １７ ６６． ７ ． １７ ８３． ９ ）和德国柏林科学院（ １７ ４ １． ７ ． １７ ６６． ６）工作。 欧拉是践行“科学没有国籍： 但是科学家有祖国”的箴言的光辉典范！ 他是世界上最多产的科学家之一， 一生共出版了８ ８ ７ 篇（ 部）著作（ 注： 有３１种是在他授意下写成、 以其长子的名义发表的）， 其中尤以数学方面为最多。欧拉几乎研究了１８ 世纪数学的每一个分支， 并且天才地将数学与力学、 天文学、声学、 光学等领域的研究结合起来， 解决了大量的实际问题。 他是“数学与物理紧密结． Ｓ ．合” 研究的典范。 他发展了伯努利（ Ｂ ｅｒｎ ｏ ｕ ｌｌｉ）家族继承的莱布尼兹（ Ｌ ｅｉｂ ｎ ｉｚ， １６４ ６． １７ １６）学派的微积分， 开拓和推进了微分方程、 无穷级数的研究， 和约翰． ｆ 白努利（ Ｊｏ ｈ ａ ｎ ｎＢ ｅｍ ｏ ｕ ｌｌｉ， １６６７ － １７ ４ ８ ）、 拉格朗日（ Ｌ ａ ｇ ｒａ ｎ ｇ ｅ， １７ ３６． １８ １３）一起创立了变分法， ． 被人们称为“分析的化身” 【２７ 】 。

他还解决了数论中的许多著名的难题， 在代数学和几何学方面也做，出了划时代的贡献。 他是“十八世纪数学界的中心人物、 占统治地位的理论物理学家，并能与Ａ ｒｃｈ ｉｍ ｅｄ ｅｓ， Ｎ ｅｗ ｔｏ ｎ 和Ｇ ａ ｕ ｓｓ为伍的人’ ’ 【２８】 。 拉普拉斯（ Ｌ ａ ｐ ｌａ ｃｅ， １７ ４９． １８ ２ ７ ）常常告诉年轻的数学家们： “读读欧拉， 读读欧拉， 他是我们大家的老师。 ” 高斯（ Ｇ ａ ｕ ｓｓ， ．１７ ７ ７ —１８ ５５）说： “对欧拉的工作的研究， 将仍旧是对于数学的不同范围的最好学校， 并且没有任何别的可以代替它。 ” 而黎曼（ Ｒ ｉｅｍ ａ ｎ ｎ ，１８ ２６—１８ ６６）最深奥的工作都是有一种欧拉的感染。 【２９ 】 欧拉深深地影响了１９ 世纪的数学家和他们的数学工作。２． ２欧拉具有鲜明个性的数学思想和科学方法。 欧拉是一位勇于开拓、 创新的数学大师。 和欧几里得崇尚公理化的演绎体系的数学大异其趣， 他则善于观察、 实验、 归纳、 类比， 进行合情推理。

他是一位真正的算法英雄。、 ， 。 漶～： ， ・一’ 一。 ‘１．笔者曾在拙著尤其是在硕士学位论文［ １４ ］ｑ ｂ ， 较详细地考察欧拉的数学思想和科学方法。 概括地说， 欧拉在使数学与物理紧密结合、 重视数学符号的发明、 善于归纳和类●ｋ ‰一－ ． ｛ 。比、 杰出的数学直觉、 对数学美的崇尚与追求、 抽象分析以及自发的辩证思维等方面，都极具鲜明个性。 他的一生是热爱和忠于祖国、 勤奋进取、 坚毅乐观、 献身科学的・生。我们也曾注意到欧拉数学研究“严密性的欠缺” 问题。 但是在无穷小算法时期， ÷诚妣数学史家李文林指出： “对当时的学者来说， 首要的是找到行之有效的算法， 而不是算法的证明。 这种倾向一直延续到１８ 世纪。 １８ 世纪的数学家也往往不管微积分基础方面的困难而大胆前进。 如泰勒公式， 欧拉、 伯努利甚至１９ 世纪初傅里叶所发现的三角展，开等， 都是在很长的时期内缺乏严格的证明， 但却作为有效的算法而广泛地被数学家们所采用， 虽然中间充满了争论。 ” 【３０】 我们认为， 时代的继往开来， 实践检验的真理标准，都肯定了“算法英雄” 欧拉杰出的历史功续。

欧拉的数学思想和科学方法， 对现、 当代世界数学发展的影响也是巨大的。 著名的美籍波兰数学家乌拉姆（ Ｕ ｌａ ｍ ， １９ ０ ９ ． １９ ８ ４ ）在《约翰・冯・诺伊曼传》 中指出： １８ 世纪一些伟大的数学家， 特别是欧拉， 成功地把许多自然现象的描述纳入了数学分析的领域。冯． 诺伊曼的工作， 企图使那些由集合论和现代代数发展起来的数学来扮演同样的角色。１３１］陈省身的挚友、 法国大数学家Ａ － 韦依（ Ａ ． Ｗ ｅｉｌ， １９ ０ ６． １９ ９ ８ ）说过： 年青人一定要找高斯、 欧拉等第一流数学家的全集来读。 并且在这方面， Ａ ・韦依就是言行一致的人。 【３２】一． ６．当代， 数学与物理再次紧密地结合。 ２０ 世纪９ ０ 年代初， 美国哈佛大学贾弗（ Ａ ｒｔｈ ｕ ｒＪａ ｆｆｅ，１９ ３７ ＿ ）和弗吉尼亚理工学院的奎因（ Ｑ ｕ ｉｎ ｎ ）引发了一场关于数学与物理新关系的大讨论。 【３３】 尽管还没有形成统一的认识， 但物理对数学施加了越来越大的影响却得到了大家认可。 其时， 当代大数学家、 英国皇家学会会长、 牛顿数学科学研究所所长阿蒂亚（ Ｍ ｉｃｈ ａ ｅｌＡ ｔｉｙ ａ ｈ ， １９ ２９ 一）在这场讨论中， 称赞欧拉为这种思想的先锋。

他说： “数学史充满了灵机妙想压倒严格性不足的事例， Ｅ ｕ ｌｅｒ 使用发散级数以及Ｒ ａ ｍ ａ ｎ ｕ ｊａ ｎ 的洞察入微都是较为明显的例证， 要是在当时Ｊａ ｆ ｆ ｅ和Ｑ ｕ ｉｎ ｎ 观点占上风， 数学可能不会像今天这样丰富多彩。 目前， 启发式物理论证中出现的那些奇妙的公式是欧拉和Ｒ ａ ｍ ａ ｎ ｕ ｊａ ｎ 风格的现代版， 应该以同一种感谢兼有谨慎的态度加以认可。 ， ， 【３４ 】 陈省身谈到欧拉， 则从近两个多世纪数学发展的历程中。 ， 更加明确而又具体地指出： “欧拉示性数是整体不变量的一个源泉” ， “是大量几何课题的源泉和出发点。 ” ［ ２１２． ３曲线的内在几何和欧拉示性数。 陈省身在其《微分几何讲义》 的代序《微分几何的过去和未来》 一文中， 开篇写道： “微分几何的出发点是微积分： 一条曲线的切线和微分是同一个概念。 同样， 一条封闭曲线所包围的面积的理论就是积分论。 ‘微积分在几何上的应用’ 演变成曲线论及曲面论。 微分几何初期作重要的贡献的， 当推Ｌ ． Ｅ ｕ ｌｅｒ（ １７ ０７ ． １７ ８３）， Ｇ ． Ｍ ｏ ｎ ｇ ｅ（ １７ ４６． １８１８）。

向量的概念向量的线性运算向量的数量积、向量积和混合积两向量垂直、平行的条件两向量的夹角向量的坐标表达式及其运算单位向量方向数与方向余弦曲面方程和空间曲线方程的概念平面方程、直线方程平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件点到平面和点到直线的距离球面母线平行于坐标轴的柱面旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程常用的二次曲面方程及其图形空间曲线的参数方程和一般方程空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。因此以et替代弹性屈曲理论临界力公式中的e，即得该理论的临界力和临界应力： 如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为： σ ε fy 0 fy=fp 1.0 0 λ 欧拉临界曲线 几何缺陷：初弯曲、初偏心等。 如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为： σ ε fy 0 fy=fp 1.0 0 λ 欧拉临界曲线 初始缺陷 几何缺陷：初弯曲、初偏心等。

对这一重要假说， 我们期待着来自第一手史料的确证。 【洼２】 学术在于交流、 讨论和争鸣。 我们【炷２１１９ ８ ８ 年本文笔者之一调南开数学研究所工作。 鉴于中国大陆未见‘欧拉全集》 （ Ｅ ｕ ｌｅｒ ，Ｏ ｐ ｅｒ ａ Ｏ ｒ ｎ ｎ ｉａ ）， 曾建议所长陈省身先生添置一套全集。 考虑到此全集价格不菲， 高达数千美元， 且涉及科学诸多分科， 陈先生认为宜由国家图书馆添置， 以期发挥效益．． ７ ：。 ，‘希望有更多同仁关注这二＿ 问题。１７ ３６年， 欧拉又在其《与位置几何有关的一个问题的解》 一文中， 运用理想化的抽象分析法， 成功地解决了著名的‘‘哥尼斯堡七桥问题” 。 【３８】 这是图论历史上第一篇重要论文， 欧拉从而也成为图论和拓扑学的创始人。 不仅如此， 几何图形的另一个重要而又基本的组合性质， 也跟欧拉的名字联在一起。 这就是著名的欧拉公式： 如果用Ｖ 、 Ｅ 、 Ｆ分别表示闭凸多面体的顶点数、 棱数和面数， 则有Ｖ —Ｅ ＋ Ｆ ＝ ２。 欧拉在１７ ５０ 年发表了这个结果， １７ ５１年他提出了一个证明。

陈省身指出： 尽管“早在欧拉之前就有人知道这个欧拉多面体定理， 但似乎欧拉是第一个认识公式（ ３）中这个‘交错和’ 的重要意义的人。 ” 【洼３】 欧拉对这一关系感兴趣是要用它来作多面体的分类。 【３９ 】 它被命名为欧拉示性数， 记作ｘ 。 人们也看到： 在示性数的发现过程中， 再次证明了欧拉‘？是数学研究中善于用归纳法的大师” 。 【４ ０１现行《普通高中数学课程标准（ 实验）》 指出： “引导学生探索发现欧拉公式的过程， 以及对欧拉公式证明的理解， 帮助学生体会数学家的创造性工作， 这是一个非常好的范例。 ” １４ １】 它点明了． 。 ￡ ：欧拉示性数重要的教育功能。然而， 来自欧拉示性数的深刻启示并不止于此。 继欧拉之后， 黎曼关于闭曲面的，拓扑分类的结果， 成为拓扑学历史发展的转折点。 邦加雷（ ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ６， １８５４ ． １９ １２）【注４ ¨ 在…从１８ ９ ４ 年开始算起的十年时间内， 写了六篇著名的论文， 开创了代数拓扑的近代方法。法国大数学家让・迪多内（ Ｄ ｉｅｕ ｄ ｏ ｎ ｎ ６， Ｊ・１９０６－ － １９９２）指出： “我们现在所称的单纯形下同４１～” 鼍。

，调方法完全是邦加雷创立的： 包括流形的三角剖分， 单纯复形， 重心重分， 对偶复形，‘一个复形的关联系数矩阵等概念以及由这个矩阵来计算Ｂ ｅｔｔｉ数。 借助于这些工具， 邦加雷把关于多面体的Ｅ ｕ ｌｅｒ定理推广了（ 现在称为Ｅ ｕ ｌｅｒ－ ｐ ｏ ｉｎ ｃａ ｒ６公式）， ……。 ” 【４ ２】 ２０世纪中叶， 拓扑学高歌猛进登上了世界数学界的中心舞台， 并对其他数学学科产生深远的影响与渗透。 由此人们可窥见欧拉对２０ 世纪数学发展的深刻影响之一斑。 对此， 陈【侄３ｌ笔者认为， 陈省身此语中的。 有人” ． 此。 人” 即指法国数学家笛卡儿（ Ｄ ｅｓｅａ ｒｌｅｓ， １５９ ６－ － － － １６５０ ）（ 可参见： 干丹岩著， 《代数拓扑和微分拓扑简史》 ， 湖南教育出版社， ２０ ０ ５年， 第２－ ４ 页）。 陈说： “似乎欧拉是第一个认识到公式（ ３）这个‘交错和’ 意义的人。 ” 这是很到位的精辟之言． 【美】 Ｍ ・Ｋ ｌｉｎ ｅ在《古今数学思想》 一书中， 曾指出： “欧拉对这一关系感兴趣是要用它来作多面体的分类。