高等代数与解析几何同济 高等代数与解析几何,教案(7)

x2

3. 矩阵乘积的几何意义

要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程： 1801年德国数学家高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。

1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。

1850年，英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester）首先使用矩阵一词。 1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。

矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看R2中的一个简单例子：

?a11a12??x??y??y1?a11x1?a12x2，即Y=AX，A??X??1??Y??1?：?? y?ax?axaa21122222??21?x2??y2??2

?y1??z1??z1?b11y1?b12y2?b11b12?Y????Z???：?，即Z=BY，B???. yzz?by?bybb?2??2??2211222?2122?

?x1??z1??z?(b11a11?b12a21)x1?(b11a12?b12a22)x2则X????Z???：?1，即Z=CX, xz?2??2??z2?(b21a11?b22a21)x1?(b21a12?b22a22)x2

?b11a11?b12a21b11a12?b12a22?C???. ba?baba?ba?2111222121122222?

ba?ba??ba?ba又有Z=BAX，于是定义BA??1111122111121222?。

?b21a11?b22a21b21a12?b22a22?

4. 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系

若?,?,?是三维空间的向量,则:?线性相关;?,?线性相关; ?,?,?线性相关对应几何直观分别为?为零向量; ?,?共线; ?,?,?共面。因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。

5. 向量组正交化的几何解释

线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有3个线性无关的向量?1,?2,?3则可以通过Schmidt正交化得到相应的3个正交向量?1,?2,?3。这里?1??1,?2??2??2 ,?3??3??3 ,其中?2为?2在?1上的投影向量; ?3为?3在?1,?2所确定的平面上的垂直投影向量。

篇五：一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理

一、高等代数与解析几何的关系

代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。

解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。

“如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。”