高等代数与解析几何同济 高等代数与解析几何,教案(5)

|a||b|

另外，二级行列式的另一个几何意义就是是两个行向量或列向量的叉积a?b的数值。 （2）三级行列式的几何意义

三级行列式的几何意义是其行向量或列向量所张成的平行六面体的有向体积。

a1

a2b2c2a3

b3＝0. c3

x

y

1y11?0。 y21a3b3。 c3

向量a,b,c的混合积（a,b,c）=（a?b）c=b1

c1

a1

a2b2c2

推论1：三点a,b,c共面的等价条件是b1

c1

推论2：过平面上两点(x1,y1), (x2,y2)的直线方程为x1

x2

3. 矩阵乘积的几何意义

要说到矩阵的乘积的几何意义，我们首先要了解矩阵的发展历程：

1801年德国数学家高斯（F.Gauss）把一个线性变换的全部系数作为一个整体。

1844年，德国数学家爱森斯坦（F.Eissenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。 1850年，英国数学家西尔维斯特（J. J. Sylvester）首先使用矩阵一词。 1858年，英国数学家凯莱（A.Cayley，）发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。

矩阵实质上就是一个线性变换。矩阵乘积实质就是线性变换的复合。下面来看R2中的一个简单例子：

?a11a12??x1??y1??y1?a11x1?a12x2

，即Y=AX，A??X????Y???：?? y?ax?axaaxy21122222??21?2??2??2?y??z??z?by?by?bb?

Y??1??Z??1?：?1111122，即Z=BY，B??1112?.

?y2??z2??z2?b21y1?b22y2?b21b22??x1??z1??z1?(b11a11?b12a21)x1?(b11a12?b12a22)x2

则X????Z???：?，即Z=CX,

xzz?(ba?ba)x?(ba?ba)x?2??2??2211122211211222222

ba?ba??ba?ba

C??1111122111121222?.

?b21a11?b22a21b21a12?b22a22?

ba?ba??ba?ba

又有Z=BAX，于是定义BA??1111122111121222?。

?b21a11?b22a21b21a12?b22a22?4. 向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系

若?,?,?是三维空间的向量,则:?线性相关;?,?线性相关; ?,?,?线性相关对应几何直观分别为?为零向量; ?,?共线; ?,?,?共面。因此,一维空间的基是空间中任意一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空间中3个不共面的向量组成的。 5. 向量组正交化的几何解释

线性无关的向量组可以由Schmidt正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有3个线性无关的向量?1,?2,?3则可以通过Schmidt正交化得到相应的3个正交向量?1,?2,?3。这里

?1??1,?2??2??2 ,?3??3??3 ,其中?2为?2在?1上的投影向量; ?3为?3在?1,?2所确定的平

面上的垂直投影向量。

篇四：一、高等代数与解析几何之间的关系

利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理

一、高等代数与解析几何的关系

代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。