一个二次函数它的对称轴 初三数学试卷及答案 2015年九年级数学上期末试卷（附答案）(4)

考点：根的判别式．??分析：根据判别式的意义得到△=（－4）2－4a×3=0，然后求解即可．解答：解：根据题意得△=（－4）2－4a×3=0，解得a=．故答案为．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．11．已知△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，S△ABC=2cm2，则S△DEF=cm2．

考点：二次函数图象与系数的关系．??专题：压轴题．分析：由开口向下知道a＜0，由与y轴交于负半轴得到c＜0，然后即可判断ac的符号；由当x=1时，y＞0，即可判断a+b+c的符号；由当x=－2时，y＜0，即可判断4a－2b+c的符号；由开口向下知道a＜0，由－＜1可以推出2a+b＜0；由开口向下知道a＜0，－＞0可以推出2a与b的符号，即可确定2a－b的符号．解答：解：①∵开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴ac＞0；②当x=1时，y=a+b+c＞0，∴a+b+c＞0；③当x=－2时，y＜0，∴4a－2b+c＜0；④∵a＜0，－＜1，∴b＜－2a∴2a+b＜0；⑤∵a＜0，－＞0，∴b＞0，∴2a－b＜0．故选A．点评：解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．8．如图，在等边△ABC中，BC=6，点D，E分别在AB，AC上，DE‖BC，将△ADE沿DE翻折后，点A落在点A′处．连结AA′并延长，交DE于点M，交BC于点N．如果点A′为MN的中点，那么△ADE的面积为（）??A．????B．3??C．6??D．9

考点：相似三角形的性质．??分析：根据相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求S△DEF的值．解答：解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4∴S△ABC：S△DEF=9：16∴S△DEF=．点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．12．如果将抛物线y=x2－3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后的抛物线表达式是y=（x+2）2．

2016-2017学年江西省上饶市余干县九年级（上）竞赛数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）1．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（）A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1【考点】根的判别式；一元二次方程的解．【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2－4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2－4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a－c）x2=a－c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；故选：D2．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x+n－1=0的两根，则n的值为（）A．9??B．10??C．9或10??D．8或10【考点】根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或b=2，②a=b①当a=2，或b=2时，得到方程的根x=2，把x=2代入x2－6x+n－1=0即可得到结果；②当a=b时，方程x2－6x+n－1=0有两个相等的实数根，由△=（－6）2－4（n－1）=0可的结果．【解答】解：∵三角形是等腰三角形，∴①a=2，或b=2，②a=b两种情况，①当a=2，或b=2时，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x+n－1=0的两根，∴x=2，把x=2代入x2－6x+n－1=0得，22－6×2+n－1=0，解得：n=9，当n=9，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故n=9不合题意，②当a=b时，方程x2－6x+n－1=0有两个相等的实数根，∴△=（－6）2－4（n－1）=0解得：n=10，故选B．3．如图，正方形ABCD的边长为3cm，动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达A点停止运动；另一动点Q同时从B点出发，以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动，到达A点停止运动．设P点运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），则y关于x的函数图象是（）??A．??B．??C．??D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上，而动点P可以在BC边、CD边、AD边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2＜x≤3；分别求出y关于x的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．【解答】解：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=BP??BQ，解y=??3x??x=x2；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=BQ??BC，解y=??x??3=x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9－3x，则△BPQ的面积=AP??BQ，解y=??（9－3x）??x=x－x2；故D选项错误．故选：C．4．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac－b+1=0；④OA??OB=－．其中正确结论的个数是（）??A．4??B．3??C．2??D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2－4ac＞0，加上a＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（－c，0），再把A（－c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2－bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=－x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1??x2=，于是OA??OB=－，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2－4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（－c，0），把A（－c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2－bc+c=0，∴ac－b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1??x2=，∴OA??OB=－，所以④正确．故选：B．5．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了下面的表格：x??…??－2??－1??0??1??2??…y??…??－11??－2??1??－2??－5??…由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（）A．－11??B．－2??C．1??D．－5【考点】二次函数的图象．【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得（－1，－2），（0，1），（1，－2）在函数图象上，把（－1，－2），（0，1），（1，－2）代入函数解析式，得??，解得，函数解析式为y=－3x2+1x=2时y=－11，故选：D．6．如图，有一块边长为6cm的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（）??A．??cm2??B．????cm2??C．????cm2??D．????cm2【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以得出AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO为矩形，且全等．连结AO证明△AOD≌△AOK就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函数的性质就可以求出结论．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．∵筝形ADOK≌筝形BEPF≌筝形AGQH，∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．∵折叠后是一个三棱柱，∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形ODEP、四边形PFGQ、四边形QHKO都为矩形．∴∠ADO=∠AKO=90°．连结AO，在Rt△AOD和Rt△AOK中，??，∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．∴∠OAD=∠OAK=30°．设OD=x，则AO=2x，由勾股定理就可以求出AD=x，∴DE=6－2x，∴纸盒侧面积=3x（6－2x）=－6x2+18x，=－6（x－）2+，∴当x=时，纸盒侧面积最大为．故选C．??7．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）??A．60°??B．120°??C．60°或120°??D．30°或150°【考点】圆周角定理；含30度角的直角三角形；垂径定理．【分析】作OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得OD=1，则根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理得到∠AEB=∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．【解答】解：作OD⊥AB，如图，∵点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，∴∠OAB=30°，∴∠AOB=120°，∴∠AEB=∠AOB=60°，∵∠E+∠F=180°，∴∠F=120°，即弦AB所对的圆周角的度数为60°或120°．故选C．??8．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB=30°，点P在x轴上，⊙P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是（）??A．6??B．8??C．10??D．12【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据直线的解析式求得OB=4，进而求得OA=12，根据切线的性质求得PM⊥AB，根据∠OAB=30°，求得PM=PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P成为整圆的点P的坐标，从而求得点P个数．【解答】解：∵直线l：y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B，∴B（0，4），∴OB=4，在RT△AOB中，∠OAB=30°，∴OA=OB=×=12，∵⊙P与l相切，设切点为M，连接PM，则PM⊥AB，∴PM=PA，设P（x，0），∴PA=12－x，∴⊙P的半径PM=PA=6－x，∵x为整数，PM为整数，∴x可以取0，2，4，6，8，10，6个数，∴使得⊙P成为整圆的点P个数是6．故选：A．??二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）9．关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是＜a＜－2．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2－3x－1=0的两个不相等的实数根∴△=（－3）2－4×a×（－1）＞0，解得：a＞设f（x）=ax2－3x－1，如图，∵实数根都在－1和0之间，∴－1，∴a，且有f（－1）＜0，f（0）＜0，即f（－1）=a×（－1）2－3×（－1）－1＜0，f（0）=－1＜0，解得：a＜－2，∴＜a＜－2，故答案为：＜a＜－2．??10．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2－2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为1．??【考点】二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值．【解答】解：∵y=x2－2x+2=（x－1）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（1，1），∵四边形ABCD为矩形，∴BD=AC，而AC⊥x轴，∴AC的长等于点A的纵坐标，当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD的最小值为1．故答案为1．11．如图，在扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为r，点C在上，CD⊥OA，垂足为D，当△OCD的面积最大时，的长为．??【考点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．【分析】由OC=r，点C在上，CD⊥OA，利用勾股定理可得DC的长，求出OD=时△OCD的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．【解答】解：∵OC=r，点C在上，CD⊥OA，∴DC==，∴S△OCD=OD??，∴S△OCD2=OD2??（r2－OD2）=－OD4+r2OD2=－（OD2－）2+∴当OD2=，即OD=r时△OCD的面积最大，∴∠OCD=45°，∴∠COA=45°，∴的长为：??=πr，故答案为：．12．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．??【考点】二次函数的应用．【分析】设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3－3x=30－3x，表示出总面积S=x（30－3x）=－3x2+30x=－3（x－5）2+75即可求得面积的最值．【解答】解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3－3x=30－3x，则总面积S=x（30－3x）=－3x2+30x=－3（x－5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，故答案为：75．13．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为3或．【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【分析】连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，先计算出CB2+PB2=CP2，则根据勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到PB=P′B=4，接着证明四边形ACBP为矩形，则PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理计算出P′A=，从而得到满足条件的PA的长为3或．【解答】解：连结CP，PB的延长线交⊙C于P′，如图，∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2+PB2=CP2，∴△CPB为直角三角形，∠CBP=90°，∴CB⊥PB，∴PB=P′B=4，∵∠C=90°，∴PB‖AC，而PB=AC=4，∴四边形ACBP为矩形，∴PA=BC=3，在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A==，∴PA的长为3或．故答案为3或．??14．如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为61°．??【考点】圆周角定理．【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．【解答】解：连接OD，∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，∴点A，B，C，D共圆，∵点D对应的刻度是58°，∴∠BOD=58°，∴∠BCD=∠BOD=29°，∴∠ACD=90°－∠BCD=61°．故答案为：61°．??15．如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是8＜AB≤10．??【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．【分析】解决此题首先要弄清楚AB在什么时候最大，什么时候最小．当AB与小圆相切时有一个公共点，此时可知AB最小；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB最大，由此可以确定所以AB的取值范围．【解答】解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D，连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD=BD，在Rt△ADO中，OD=3，OA=5，∴AD=4，∴AB=2AD=8；当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB=10，所以AB的取值范围是8＜AB≤10．故答案为：8＜AB≤1016．关于x的方程mx2+x－m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是①③（填序号）．【考点】根的判别式；一元一次方程的解．【分析】分别讨论m=0和m≠0时方程mx2+x－m+1=0根的情况，进而填空．【解答】解：当m=0时，x=－1，方程只有一个解，①正确；当m≠0时，方程mx2+x－m+1=0是一元二次方程，△=1－4m（1－m）=1－4m+4m2=（2m－1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；把mx2+x－m+1=0分解为（x+1）（mx－m+1）=0，当x=－1时，m－1－m+1=0，即x=－1是方程mx2+x－m+1=0的根，③正确；故答案为①③．三、（本大题共小题，共56分）17．⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l‖BC．??【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．【分析】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，??=，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l‖BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．【解答】解：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．??18．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．??【考点】切线的判定．【分析】（1）连接FO，由F为BC的中点，AO=CO，得到OF‖AB，由于AC是⊙O的直径，得出CE⊥AE，根据OF‖AB，得出OF⊥CE，于是得到OF所在直线垂直平分CE，推出FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．（2）证出△AOE是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结果．【解答】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF‖AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF‖AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；