半正定的矩阵 刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)(5)

（1）求 a （2）将 ?1 , ? 2 , ?3 由 ?1 , ? 2 , ? 3 线性表出例 21 设 A 是 m ? n 矩阵， ?1 , ?2 ,?, ?t 是齐次方程组 Ax ? 0 的基础解系，? 是非齐次线性 方程组 Ax ? b 的解. （1）证明：?,? ? ?1 ,? ? ?2 ,?,? ? ?t 线性无关 （2）证明方程组 Ax ? b 的任一解均可由?,? ? ?1 ,? ? ?2 ,?,? ? ?t 线性表示?1 0 0 ? ? ? 例 22 已知 A ? 0 1 0 ，则下列矩阵中与 A 相似共有（ ）个 ? ? ? 0 0 ?1 ? ? ? ? ?1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? 1 0 0 ? ? 0 1 0? , ?0 1 2 ? , ? 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 1 ? ? 0 0 ?1? ? 0 0 ?1 ? ? ? ? ? ? ?答案：2 例 23 设 A 为 4 阶实对称矩阵,且 A ? A ? O ,若 A 的秩为 3,则 A 相似于 (2)?1 ? ? ? 1 ?. (A) ? ? ? 1 ? ? 0? ??1 ? ? ? 1 ?. (B) ? ? ?1 ? ? ? 0? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ?. (D) ? ?1 ? ? ? 0? ??1 ? ? ? ?1 ? ?. (C) ? ?1 ? ? ? 0? ? 答案：选 D例 24 设 A 是 n 阶矩阵，先交换 A 的第 i 行和第 j 行，再交换 A 的第 i 列和第 j 列得到 B ， 则下列关系中正确的有 个。

④ A 相似于 B ⑤ A 合同 B① A ? B ② R( A) ? R( B) ③ A 等价于 B 答案：5? 0 2 ?3 ? ? 1 ?2 0 ? ? ? ? ? 例 25 设矩阵 A ? ?1 3 ?3 相似于矩阵 B ? 0 b 0 ． ? ? ? ? ? 1 ?2 a ? ?0 3 1? ? ? ? ?（1）求 a, b 的值； （2）求可逆矩阵 P ，使 P AP 为对角矩阵．?1答案： （1） a ? 4, b ? 5? 2 ?3 ?1? ?1 0 0? ? ? ? ? ?1 1 ?， （2） P ? 1 0 （ P 不唯一）则 P AP ? 0 1 0 . ? ? ? ?0 1 1 ? ? 0 0 5? ? ? ? ? ? 0 ?1 1 ? ? ? 例 26 已知矩阵 A ? ? 2 ?3 0 ? ?0 0 0? ? ?（1）求 A ；100 （2）设 3 阶矩阵 B ? ??1 ,?2 ,?3 ? 满足 B ? BA .记 B ? ? ?1 , ?2 , ?3 ? ，将 ?1 , ? 2 , ?3 分别2 99表示为 ?1 , ? 2 , ? 3 的线性组合.? ?2 ? 299 1 ? 299 ? 99 100 1 ? 2100 答案： A ? ? ?2 ? 2 ? 0 0 ?2 ? 298 ? ? 2 ? 299 ? 0 ? ??1 ? (?2 ? 299 )?1 ? (?2 ? 2100 )?2 ， ?2 ? (1 ? 299 )?1 ? (1 ? 2100 )?2 ，?3 ? (2 ? 298 )?1 ? (2 ? 299 )?2 。

例 27 设 A 是 3 阶方阵， b ? ? 9,18,18 ? 方程组 Ax ? b 通解为：Tk1 ? ?2,1, 0 ? ? k2 ? 2, 0,1? ? ?1, 2, 2 ? ，其中 k1 , k2 为任意常数，求 A 和 A100T T T18 ?18 ? ? 9 ? 1 2 ?2 ? ? ? 100 100 ? 36 ?36 ? 答案： A ? 18 ? ? A ? 9 ? 2 4 ?4 ? ? ?18 ?36 36 ? ? ? 1 ?4 4 ? ? ?， ? ?例 28 若 二 次 曲 面 的 方 程 为 x2 ? 3 y 2 ? z 2 ? 2axy ? 2 xz ? 2 yz ? 4 ， 经 正 交 变 换 化 为y12 ? 4 z12 ? 4 ，则 a ? ____答案： a ? 12 2 2 例 29 二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? 3x2 ? x3 ? 2 x1 x2 ? 2 x1 x3 ? 2 x2 x3，则 f 的正惯性指数为______答案：2T 例 30 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x Ax 的秩为 1 ， A 中行元素之和为 3 ，则 f 在正交变换下x ? Qy 的标准型为__________．答案：标准形为 3 y12 ．2 2 2 ,x 2,x 3) 2 ? 例 31 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x1 ? x2 ? x3 ? 4 x1 x2 ? 4 x1 x3 ? 4 x2 x3 ， 则 f (x 1在空间直角坐标系下的二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面答案：选 B?1 ? 0 例 32 已知 A ? ? ? ?1 ? ?00 1? ? 1 1? T T ，二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x ( A A) x 的秩为 2 0 a? ? a ?1 ?（1）求实数 a 的值； （2）求利用正交变换 x ? Qy 将 f 化为标准型．答案： a ? ?1 ；? 1 ? ? 3 ? 1 Q ? ? ?1 , ? 2 , ?3 ? ? ? ? 3 ? ?1 ? 3 ?1 2 ?1 2 01 ? ? 6? 1 ? 2 2 ，在正交变换 x ? Qy 下，标准型为 f ? 2 y2 ． ? 6 y3 ? 6? 2 ? 6? ?2 2 例 33 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? X T AX 在正交变换 X ? QY 下的标准型为 y1 ， 且Q ? y2的第三列为 (2 2 T ,0, ) . 2 2 （1）求矩阵 A ；（2）证明 A ? E 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵．1? ? 1 0 ? ? ? 2? ? 2 答案： A ? ? 0 1 0 ?． ?? 1 0 1 ? ? 2 2 ? ? ?? 1 0 ?2 a ? ? ?1 ? 例 34 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) ? x Bx ，其中 B ? 2 a ? ? 的正负惯性指数都是 1. ? 0 ?1 1 ? ? ?T（1）求 a 的值； （2）用正交变换 x ? Qy 化二次型为标准型，并求出 Q ； （3）若 A ? kE 是? 0 1 2? ? ? 正定矩阵，求 k 的范围 （4）判断 A 是否与矩阵 1 0 0 合同 ? ? ? 2 0 0? ? ?? 3 ? ? 3 ? 3 答案： a ? ?2 ； Q ? ? ? 3 ? 3 ?? ? 3同2 2 0 2 2?6? ? 6 ? 6 ? 2 2 ? ，即 x ? Qy 时， f ? 3 y2 ? 3 y3 ； k ? 3 ；合 3 ? 6 ? ? 6 ?? 1 ?1 0 ? ? ? 例 35 设 f ( x1 , x2 , x3 ) ? X AX , ? aii ? 2, 且 AB ? O , B ? 1 1 2 ? ? i ?1 ?1 0 1 ? ? ?T3（1）用正交变换化二次型为标准型，并求正交变换 （2）求该二次型答案：? ? ? ? （1） P ? ? ? ? ? ?3 3 3 3 3 3?2 2 2 2 06 ? ? 6 ? 6 ? T T 2 ? 当 X ? PY 时， f ( x1 , x2 , x3 ) ? X AX ? Y ?Y ? 3 y3 6 ? 6? ? ? 3 ?T（2）二次型为 f ( x1 , x2 , x3 ) ? X AX ?1 2 1 2 4 2 2 4 4 x1 ? x2 ? x3 ? x1 x2 ? x1 x3 ? x2 x3 3 3 3 3 3 3