半正定的矩阵 刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)(3)

3、相似的定义： P AP ? B ，则 A 相似于 B 相似对角化充要条件 A 存在 n 个线性无关的特征向量。 对任意对称矩阵存在正交矩阵 P ，使得 P AP ? ? 相似矩阵的特征值、行列式、秩、对角线元素和均相等，反之不成立。?1 ?1两个对称矩阵如果特征值相等，则必相似。 4、特征值的性质 ①不同特征值对应的特征向量线性无关；特殊地，对称矩阵不同特征值对应的特征向量正 交 ②对于 n 阶矩阵 A ， A ? 有特征值不为 0 ③若 ? 是矩阵 A 的特征值 ? 对应的特征向量，则n n n? ?i ， ? aii ? ? ?i ；特殊地，若矩阵 A 可逆，则矩阵 A 的所i ?1 i ?1 i ?1A? ? ?? ? Am? ? ? m? ? Ak? ? ?k? ? (km Am ? km?1 Am?1 ? k1 A ? E)? ? (km? m ? km?1? m?1 ? k1? ? 1)? ?若 km Am ? km?1 Am?1 ? k1 A ? E ? 0 ，则 km? m ? km?1? m?1 ? k1? ? 1 ? 0 ④若矩阵 A 可逆，则 A? ? ?? ? A ? ??11?? ? A*? ?TA??T⑤对称矩阵 A 非零特征值的个数等于 R ( A) ， ?? 的唯一的非零特征值为 ? ? 5、对称矩阵的相似对角化步骤 ①求出 A 的特征值、特征向量： ?1 , ?2 ,?, ?n ; ?1 , ?2 ,?, ?n ． ②对于任意一个 k 重特征值 ?i ，其特征向量为 ?i1 ,?, ?ik ．先正交化 ?i1 ,?, ?ik ，得?i1 ,?, ?ik ；再把所有特征向量单位化，得?1 ,?2 ,?,?n ．? ?1 ? ? ? ?2 T ? ? ③存在正交矩阵 P ? (?1,?2 ,?,?n ) ，使得 A ? P?P ，其中 ? ? ? ? ? ? ? ?n ? ?六、二次型1、二次型矩阵 对称矩阵 2、把二次型利用正交变换化为标准型也就是对称矩阵相似对角化的过程 3、正惯性指数 二次型对任意可逆变换，其正惯性指数的个数不变，即大于 0 的特征值的个 数不变。

4、正定矩阵的判定：顺序主子式大于 0；特征值大于 0 5、矩阵的等价、相似、合同 两个 n 阶矩阵 A, B 存在常见的几个关系：等价、相似和合同． （1） A 与 B 等价 ? A 经过一系列初等变换得到 B ? A ? PBQ ，其中 P, Q 都是可 逆矩阵 ? R( A) ? R( B) （2） A, B 相似 ?存在可逆矩阵 P ，使得 P AP ? B ．?1（3） A, B 合同 ?若存在可逆矩阵 C ，使得 C AC ? B ?二次型 x Ax 与 x Bx 有相T T T同的正、负惯性指数． 对于对称矩阵而言，相似必合同，合同必等价； 对于一般矩阵，相似必等价，合同必等价，相似与合同没有必然联系．冲刺题型：?例1?10 0 4?0 30 ?1?20 0 ? ?1 ? ?1答案： ? ? ? ? 2? ? 3? ? 44 3 2x 0例 2 证明 Dn ??1 x 0 ? 0 a n ?10 ?1 x ? 0? ?0 00 0 0 ? ?1 x ? a1 ? x n ? a1 x n ?1 ? ? ? a n ?1 x ? a n0 ? 0 an? 0 ? ? ? xa n?2 ? a 2? 2a 1 ? ? 2 ? ? a 2a 1 ? 2 ? ? a 2a 1 ? 是 n 阶矩阵，证明 A ? (n ? 1)a n 例3 设A?? ? ? ? ? ? ? a 2 2a 1 ? ? ? 2 ? ? a 2 a ? ?注：两类数学归纳法介绍 （一） （1）验证 n ? 1 时，命题成立； （2）假设 n ? k ? 1 时，命题成立； （3）利用（2） ，证明当 n ? k 时，命题成立。