半正定的矩阵 刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)(4)

（二） （1）验证 n ? 1, n ? 2 时，命题成立； （2）假设 n ? k 时，命题成立； （3）利用（2） ，证明当 n ? k 时，命题成立。0 a例4b0 b 0 da 0 0 0 c d c 0 0答案： ?(bc ? ad )2例 5 设 A, B 均 为 n 阶 矩 阵， 且 A ? 3, B ? 2, A* , B * 分 别 是 A 和 B 的 伴 随 矩阵 ，则A ?1 B * ? A * B ?1 =答案：( ?1)n 6?0 0 1? ? ? 例 6 已知矩阵 A 和 B 相似，其中 B ? ? 0 2 0 ? ，则 A ? E ? ? 3 0 0? ? ?答案： ?6 例 7 设 ? , ? 都是 n 维非零列向量， 矩阵 A ? E ? 2?? T ， 若 A ? 2 A ? 3E ? O ， 则?T ? ?2答案： ?2 例 8 三阶矩阵 A 可逆， 把矩阵 A 的第 2 行与第 3 行互换得矩阵 B ， 把矩阵 B 的第 1 列的 ?2 倍加到第 3 列得到单位矩阵 E ，则 A ?*? ?1 2 0 ? ? 0 ?1? 答案： A ? 0 ? ? ? 0 ?1 0 ? ? ?*例 9 设 A 为 m ? n 矩阵，且 R( A) ? m ? n , 则下列命题错误的是 （ ） （A）方程组 AT x ? 0 只有零解 （B）方程组 AT Ax ? 0 必有无穷多解 （C）对任意的 m 维列向量 b ， Am?n x ? b 必有无穷多解 （D）对任意的 n 维列向量 b ， AT x ? b 总有唯一解答案：选 D 例 10 设 A 是 m ? n 矩阵， B 是 n ? m 矩阵，则 ABx ? 0 （A） n ? m 时仅有零解． （C） m ? n 时仅有零解． （B） n ? m 时必有非零解． （D） m ? n 时必有非零解．答案：选 D例 11 设 A 是 n 阶矩阵， ? 是 n 维列向量，若秩 R? ? （A） Ax ? ? 必有无穷多解 （C） ?? ? R( A) ，则线性方程组 0? ?? ? （B） Ax ? ? 必有唯一解T? A??? A ??T? ?? x ??? ? ? 0 仅有零解 0 ?? y ?（D） ?? A ??T? ?? x ??? ? ? 0 必有非零解 0 ?? y ?答案：选 D 例 12 设 ?1 , ? 2 , ?3 是 Ax ? 0 的一组基础解系，考查下列向量组 ① ?1 , ?2 , ?1 ? ?3 ； ③ ?1 ? ?2 ? ?3 , ② ?1 ? ?2 ? ?3 , ?2 , ?1 ? ?3 ； ④ ?1 ,?1 ? ?3 ；( B ) ①③．?3 , ?1 ? ?2 ? ?3 ．( D) ②③．上述向量组中，仍是 Ax ? 0 的基础解系的是( A) ①②．答案：选 C 例 13 已 知(C ) ①④．?1 , ? 2, ? 3是 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax ? b 的 三 个 解 ， R( A) ? 3 ， 若T?1 ? ? 2 ? ?1 , 2 , 3?, 4? 2? , ? ? 2? 3? ?1? ? 1 ? ? 0 ? ? 2? （A） k ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ? ? 2 ? ? 4?答案：选 B2 ,? 3，则方程组 , 4, 5 Ax ? b 的通解T?1? ? 2? ? ?1 ? ? 1 ? ? 2? ? 3? ? 0 ? ? 1? 1? ? ? ? （B） k （C） k ? ? ? ? ? ? ? 0? 3 ? 4? ? 1 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? 5? ? 2 ? ? 1??1? ? 0? ? 2? ?1? （D） k ? ? ? ? ? ? 0? ? 2? ? ? ? ? ? 1 ? ? 3?? x1 ? x 2 ? x 3 ? 0 ? 例 14 已知齐次方程组（Ⅰ） ? x1 ? 2 x 2 ? ax3 ? 0 ；方程（Ⅱ） x1 ? 2 x2 ? x3 ? a ? 1 有 ?x ? 4x ? a 2 x ? 0 2 3 ? 1公共解，求 a 的值及所有的公共解答案： a ? 1 时，公共解为 k ?1 0T T ? 1? ； a ? 2 时，公共解为 ?0 1 ? 1?例 15 设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 ?? x1 ? x2 ? 0 ? x2 ? x4 ? 0T,T又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为 k1 ? 0,1,1,0 ? ? k2 ? ?1, 2, 2,1? (1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解系.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则 说明理由.答案： （ 1）方程组( Ⅰ) 的基础解系为 ?1 ? ? 0,0,1,0 ? , ? 2 ? ? ?1,1,0,1?TT(2)所有公共解为c ? ?1,1,1,1?T3 3 ? 2 2 ? ? 2 ? 1 ? 2 ? a 2 0 ? 1 1 ? 例 16 设矩阵 A ? ? ?，B ? ? 2 ? ，当 为何值时， ? a ? 5 a ? 9 2a ? 6 ? ? a ? 3 a ? 6 a ? 4? ? ? ? ? 方程 AX ? B ? BX 无解；当 a 为何值时，方程 AX ? B ? BX 有解，并求全部解? 1 ? 3a ? a ?1 ? 1 ? 3a 答案： a ? ?1 时，方程无解；当 a ? ?1 时，方程有唯一解，解为 ? ? a ?1 ? a ?1 ? ? ? a ?1例 17?1 2 13? a ? a ?1? ? 2a ? a ?1? a ?1? ? ? a ?1?求 一 个 齐 次 线 性 方 程 组 ， 使 它 的 基 础 解 系 为?1 ? ?0 1 2 3?T , ?2 ? ?3 2 1 0?T答案： ?? x1 ? 2 x2 ? x3 ? 0 ?2 x1 ? 3x2 ? x4 ? 0? 1 1 ? ? 2 ?1? ? ? ? ? 例 18 已知 A 是 3 阶实对称矩阵， A ? 0 ，若 A 1 1 ? 2 ?1 ，求 Ax ? 0 的通解 ? ? ? ? ? 2 ?1 ? ? 4 1 ? ? ? ? ??1? ? ? 答案： Ax ? 0 的通解 k ? ?1 ? ?0? ? ?3 ? ?1 2 ? * 2 ? 例 19 设 A ? 0 1 ? ? 且 R( A) ? 2 ，求齐次方程组 A x ? 0 的通解 ? ?1 a 4 ? a ? ? ??1? ? 5? ? ? ? ? * 答案： A x ? 0 的通解为 k1 ? 0 ? ? k 2 ? 3 ? ? ?1 ? ?4? ? ? ? ?例 20 设 ?1 ? (1,0,1)T ，? 2 ? (0,1,1)T ，?3 ? (1,3,5)T 不能由 ?1 ? (1,1,1)T ，?2 ? (1, 2,3)T ，?3 ? (3, 4, a)T 线性表出。