半正定的矩阵 刘俊峰 2018线性代数考前冲刺(学生用)(2)

R( A) ? R( B) ? A ~ B 熟悉行阶梯形矩阵、行最简形矩阵的特点，主要用于解方程组、求极大无关组、求秩 5、矩阵的秩R( A) ? r ? 存在 r 阶子式不等于 0，对于所有的（若存在） r ? 1 阶子式等于 0； R( A) ? r ? 存在 r 阶子式不等于 0； R( A) ? r ? 对于所有的 r 阶子式等于 0； R( A) ? A 列秩 ? A 的行秩6、矩阵秩的性质 ① 0 ? R( Am?n ) ? min{m, n} ② R( AT ) ? R( A) ， R( AT A) ? R( A) （方程组同解） ③ ? 为 n 维非零列向量， R(? T ? ) ? 1 ④若 A ~ B ，则 R( A) ? R( B)⑤若 P, Q 为可逆矩阵，则 R( PA) ? R( PAQ) ? R( A) ⑥ max{R( A), R( B)} ? R( A, B) ? R( A) ? R( B) ⑦ R( A ? B) ? R( A) ? R( B) ⑧ R( AB) ? min{R( A), R( B)} ⑨若 Am?n Bn?l ? O ，则 R( A) ? R( B) ? nR ( A) ? n ?n ? ⑩ A 为 n 阶方阵， A* 为 A 的伴随矩阵，则 R ( A ) ? ? 1 R ( A) ? n ? 1 ? 0 R ( A) ? n ? 1 ?*7、初等矩阵 初等矩阵是单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵； 初等矩阵是可逆的，其逆矩阵仍然是初等矩阵； 可逆矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积； 矩阵左乘初等矩阵，相当于对矩阵实施一次相应的初等行变换，右乘初等矩阵，相当于对矩 阵实施一次相应的列变换； 利用初等变换求逆矩阵；三、线性方程组1、齐次线性方程组 Am?n x ? 0 解的判定： R( A) ? r ?? r ? n 只有零解 ? r ? n 有非零解2、齐次线性方程组解的性质： ?1 , ?2 是 Am?n x ? 0 的解，则 k1?1 ? k2?2 也是 Am?n x ? 0 的解； 会求基础解系； 若 R( A) ? r ，则基础解系解向量的个数为 n ? r 3、非齐次线性方程组 Am?n x ? b 的解的判定：? r ? n 无穷多解 R ( A | b) ? R ( A)=r ? 有解 ? ? r ? n 唯一解 R ( A | b) ? R ( A) ? 无解4、非齐次线性方程组解的性质及结构 若?1,?2 ,?3 是 Am?n x ? b 的解，则当 k1 ? k2 ? k3 ? 0 时， k1?1 ? k2?2 ? k3?3 是 Am?n x ? 0 的 解，当 k1 ? k2 ? k3 ? 1时， k1?1 ? k2?2 ? k3?3 是 Am?n x ? b 的解 非齐次方程 Am?n x ? b 的通解是对应齐次方程的通解加上非齐次方程的特解构成。

5、矩阵方程 AX ? O ? X 的列向量就是 Ax ? 0 的基础解系 矩阵方程 AX ? B ? A(?1, ?2 ,??s ) ? (b1, b2 ,?, bs ) ，即 A?i ? bi (i ? 1,2,?s) 6、公共解问题 求两个方程组的公共解，也就是要找到一个解既是方程组（1）的解，也是方程组（2）的 解，因此对于这类题目就是联立两个方程组，组成一个新的方程组求通解四、向量1、线性表示 向量 b 可以由向量组 ?1, ?2 ,?, ?r 线性表示 ? b ? k1?1 ? k2?2 ? ? ? kr?r ? Ax ? b 有解? R( A) ? R( A | b)向量组 B : ?1, ?2 ,?, ? s 可以由向量组 A : ?1, ?2 ,?, ?r 线性表示，即向量组 B 中每个向量都 可以由向量组 A 线性表示 ? R( A) ? R( A | B) ? R( A) ? R( B) 向量组等价：向量组 A 与向量组 B 可以相互线性表示 ? R( A) ? R( B) ? R( A | B) 若 AB ? C ，则 C 的列向量可以由 A 的列向量线性表示； C 的行向量可以由 B 的行向量线 性表示 2、线性相（无）关 对于向量组 A : ?1, ?2 ,?, ?r ，若存在一组不全为 0 的数 k1, k2 ,?, kr ，使得k1?1 ? k2?2 ? ? ? kr?r ? 0 成立，则线性相关，否则线性无关线性相关 ? Ax ? 0 有非零解 ? R( A) ? r 线性无关 ? Ax ? 0 只有零解 ? R( A) ? r 若向量组 A : ?1, ?2 ,?, ?r 线性无关，向量组 ?1,?2 ,?, ?r , ? 线性相关，则向量 ? 可以由向 量组 A : ?1, ?2 ,?, ?r 线性表示，且表示唯一 3、极大无关组 极大无关组的定义，求法 向量组的秩的定义 4、向量空间 向量空间、基、维数的定义 基变换和坐标变换 标准正交基（施密特正交化） 正交矩阵 AA ? E ? A ? A ? A 的行（列）向量是单位正交的向量组T T ?1五、特征值与特征向量1、定义： A? ? ?? (? ? 0) ， ? 是特征值， ? 是特征值 ? 对应的特征向量 2、求法： A ? ? E ? 0 ，解出 n 个（含重根）特征值 ?1, ?2 ,?, ?n 解 ( A ? ?i E ) x ? 0 得 ?i 的基础解系 注：若 ?i 是 k 重根，则 R( A ? ?i E ) ? n ? k ，即特征向量的个数小于等于 k 个； 若 R( A ? ?i E ) ? n ? k ，矩阵 A 可以相似对角化，否则不能。