幂函数、指数函数和对数函数 利用变量的性质非常两数值 教案.doc 6页

幂函数、指数函数和对数函数·利用变量的性质非常两数值·教案? 教学目标1．使教师掌握相当两幂值、两对数值大小的常见方式；2．进一步熟悉幂函数、指数函数、对数函数的图像和性质；3．培养教师构造函数的观念跟数形结合的思想．教学重点与难点教学重点是正确地构造函数，使两数值比大小的问题转换为同类函数的两变量值比大小的难题．教学难点是底与真数都不同的两数值的比大小的弊端．教学过程设计一、引入与0。50。2哪个大？如何比较呢？这两个数该怎么比大小呢？师：讲得不错．请再再次比较0。30。2与0。50。2的大小．师：说得非常好．这位朋友把两数值比大小的问题转换为同一变量的两函数值比大小的问题，在了解上有了一个飞跃，这正是我们现在应研究的课题．二、复习幂函数、指数函数、对数函数的图像跟性质．请看图表（用投影片较好）．y=xα（α为实数）是幂函数．它在第一象限内的状况分为α＞1，0＜α＜1；α＜0三种情况，其中α＞0时，y=xα，在（0，+∞）内为增函数；α＜0时，y=xα，在（0，+∞）内为减函数．y=ax（a＞0，a≠1）是指数函数，a＞1时，y=ax为增函数；0＜a＜1时，y=ax为减函数．y=ax经过（0，1）点，说明ax容易与1比大小．y=logax（a＞0，a≠1）是对数函数．y=logax在a＞1时是增函数；在0＜a＜1时是减函数．y=logax与y=ax互为反函数，互为反函数的两变量具有相似的单调性．同是对数曲线，由于各自所处的位置不同，底的大小也不同，如图4．这4条曲线的底分别为a，b，c对数函数教案下载，d．请判断a，b，c，d与1的大小关系，并表明理由．生：b，a＞1，而c，d＜1，但a与b谁大，c与d谁大，判断出来有困难．师：我们用y=1这条直线去截每一条对数曲线，得到A，B，C，D4个交点，由这4个交点的前后位置可知c＜d＜1＜b＜a．这是为什么？生：（思考1分钟）由logax=1，可知x=a，因此A，B，C，D各点的横坐标要分别为对应的对数曲线的底，由A，B，C，D四点的前后次序可知他们对应的底的大小．师：回答很好．这位朋友用数形结合的方式，解决了同类函数的底的比大小难题，这对底不同的两对数值比大小最有益处．三、举例例1? 比较下列各题中两个数值的大小．（1）0。

20。3与0。40。3；（2）0。40。3与0。40。2；（3）0。20。3与0。40。2；老师给出题目后，让学生先作打算，然后先由学生说答案和原因，再由教师讲解并板书．解 ?（1）0。40。3与0。20。3这两个幂值的底不同，但指数相近，可以看作是y=x0。3的两个函数值．因为y=x0。3在（0，+∞）内是增函数，又由于0。2＜0。4，所以0。20。3＜0。40。3．（2）0。40。3与0。40。2这两个幂值的底同样，但指数不同，可以看作是y=0。4x的两个函数值．因为y=0。4x在（-∞，+∞）内是减函数，又因0。3＞0。2，所以0。40。3＜0。40。2．（3）这两个数值是两个底不同、指数也不同的幂值，不能直接构造函数．请同学们再考虑一下怎么办？生：这两个数值中，一个是第（1）小题的第一个数，一个是第（2）小题中的第二个数，而这两个小题的另一个数既相似，由此可以受到结论．因为0。20。3＜0。40。3，0。40。3＜0。40。2，所以0。20。3＜0。40。2师：这位朋友讲得很高．当两个幂值的底与指数不同时，我们应设法找一个中间值，让它起桥梁作用．你们看一看这个中间值要怎么找呢？生：从此题看出中间值可以取一个幂值的底为底，另一个幂值的指数为指数，如ab与cd的后面值可以考虑ad或者cb．师：请你们考虑，这个朋友的猜测的理论依据是哪个？生：ad与ab同底，可以看作是y=ax的两变量值，由指数函数的单调性决定ad与ab之间的大小关系；ad与cd同指数，可以看作y=xd的两个函数值，由幂函数的单调性决定ad与cd的大小关系．师：如果ad居于cd和ab中间，就可以确定ab与cd的大小关系．师：同学们请考虑这两个幂值还可取其它中间值吗？师：对．中间值需要具有两条特征，即师：请你们都用1作前面值比一下大小．由于幂函数图象都过（1，1）点，指数变量图象都过（0，1）点，所以幂值非常易于与1比大小对数函数教案下载，因此，1为两幂值比大小的首选中间值．另外从A点超过（0，1）点，B点超过（0，1）点，也很容易得出大小关系．这就是我们常说的用图像法比大小的含义．请同学们试着小结一下两幂值比大小的方式．（要板书）（1）同指数的两幂值比大小时，利用幂函数的单调性可以直接比大小，（2）同底数的两幂值比大小时，利用指数函数的单调性可以直接比大小；（3）底、指都不同的两幂值比大小时，可借用中间值间接比大小，也可以运用图像的位置关系来比大小．例2? 比较下列各题中两个对数值的大小．（1）log0。

20。5与log0。20。3；（2）log23与log1。53；（3）log59与log68；师：请同学们先做第（1）小题．生：我们把log0。20。5与log0。20。3看作是变量y=log0。2x的两个函数值．解? 因为y=log0。2x在（0，+∞）上是减函数，又因0。5＞0。3，所以log0。20。5＜log0。20。3．师：第（1）小题解得不错．这是一道直接运用对数函数性质比大小的题目，我们即使正确地构造函数，便能解决．请你们研究一下第（2）小题的大小关系．生：本题的两对数值不同底，是否可以考量换底呢？所以log23＜log1。53．师：该生的解答更具体．特别是他的不等式变换方法掌握较多，即a此题还可以用方程图象来解决大小难题．解? 画出y=log1。5x和y=log2x的图象（如图6）．x＞1以后，y=log1。5x的图像在y=log2x的图像的上面．当x=3时，A点小于B点，因为A点纵标=log1。53，B点纵标=log23，所以log23＜log1。53．请看第（3）小题．这两个对数值的底跟真数都不同，不可直接运用对数的增减性，也不好利用同类函数图像的位置高低比大小，应怎样解决这一冲突呢？生：我们可以考虑前面值．因为log59与log58是同底两对数，由增减性得：log59＞log58．又因log68与log58是同真数两对数，由图像的位置高低得：log68＜log58．所以log59＞log68．（此方法学生若说得不加强时，教师应立即予以补充说明．）师：我们用变量图象来解释一下第（3）小题．如图7，A点纵坐标为log58，B点纵坐标为log68，C点纵坐标为log59．C点与A点在同一单调函数图像上，可比出高低，A与B在同一条直线上，也可比出高低，即C点超过A点，A点高于B点，所以，C点超过B点，即log59＞log68．这个图给后面值一个几何解释．第（4）小题由同学独立完成．其结果为：对数函数图象都过（1，0）点，函数值很容易与0比大小，所以0为对数值比大小的首选中间值．请同学们小结两对数比大小的常见方式．（1）同底两对数值利用对数函数的单调性直接比大小；（2）同真数的两对数，可以用换元法转化为同底两对数比大小，也可以用同类函数图像的高低比大小；（3）底与真数都不同的两对数值，可以借用中间值比大小，也可以借助图像比大小．下研究．）上函数值大于1知上函数值大于1知四、总结比较两数值的大小，常可以归结为非常两变量值的大小，所以必须我们无法正确地构造函数，使两数值为同一变量的两个函数值，然后按照函数的单调性来非常大小，这种观念是构造函数的思想；有时我们把两数值看作两个函数后，又在相应的图像上描出函数值的对应点，再由图象的位置关系决定对应点的纵坐标（即函数值）的大小，这种观念是数形结合的思想．由以上推测熟悉函数的性质及图像是非常重要的．比较两数值的大小常见的方式有：1．直接运用函数的单调性比大小，如例1的（1）、（2），例2的（1）．2．直接运用两变量图象的位置关系的大小，如例1的（4），例2的（2）、（3）．3．借用中间值间接比大小，如例1的（3）、（4），例2的（3）、（4）；另外也有一些方式，如求差比较法，求商比较法等等都是一些常见方式，以后会学到．幂值、对数值都是实数，是实数都可以比大小，但鉴于我们正处在学习的初级阶段，有不少幂值、对数值的大小相当问题我们还不易做出判断，随着学习的深入，这些难题可以大幅受到缓解．五、作业相当下列各对数值的大小：（7）log0。

45与log0。47；（8）log50。9与log0。50。5；（9）log78与log87；（10）log58与log68．?课堂教学设计说明1? 由于方程的观念、数形结合的思想是贯穿整个高中数学教学的重要观念，所以要把握两数值比大小这个时机，把教材稍微扩展一下，使学生在把握两幂值、两对数值比大小的同时，既熟悉了刚学完的三个基本函数，又培养了构造函数的观念跟数形结合的思想．2? 本节课的课堂形式是运用了题组式教学的方式，每组题的设计不仅由浅入深外，还力求题目之间有互相启发的作用，两组题之间有类比的作用．另外留有一道思考题，供各位思考，以培养教师分类讨论的观念．3? 本节的引子是为了突出课题的重要性，安排函数图像与性质的复习，目的是为了让课题得以顺利进行．每组题后安排小结，为了鼓励学生完成从特殊到通常的过程．最后安排总结，使学生从原则上、从观念上得以提高．