2017年国家公务员考试行测备考：有理数与分数指数幂教案

4. 1. 1 n 次方根和分数指数幂课程计划一、内容和内容分析 1. 内容 n 次方根的定义和性质，分数指数幂的定义，有理数指数幂的定义和运算性质. 2.内容分析教材章节的介绍一方面指出了章节头图所包含的数学模型，另一方面也列出了这些数学模型的其他背景实例，以指出本章将比较幂函数的研究方法，学习指数函数和对数函数。比较这几类基本初等函数的概念、形象和性质，并比较它们的变化，并用它们解决一些实际问题。课本头图为良渚遗址。通过本章的介绍，指出生物体死亡后，体内碳14的含量随着时间的变化，按照一定的规律衰减，从而产生本研究将要研究的指数函数。章节。在实际应用中，往往先通过技术手段测量死生物体中碳14的含量，然后根据指数函数建立生物体中碳14含量与死亡时间的关系，对数和对数函数用于计算生物体的死亡。大致时间，从而达到考古目的。由于死生物体中碳14的含量随时间不断变化，说明引入分数指数幂和无理指数幂的必要性，为指数函数域为实数集提供了现实背景。要学习函数，首先要掌握操作。数及其运算是数学发展的源泉和动力之一，是数学的基石。指数幂运算和对数运算是两种基本运算。对数运算与指数幂运算密切相关，需要转换为指数幂运算。因此，熟练掌握指数幂运算是本章的基础。指数幂运算的本质是数字的乘法。将整数指数幂运算扩展到有理数指数幂运算的本质是使用新的算术符号来表示根运算和分数运算（负指数幂运算）。简而言之，就是从一个符号的规定到另一个符号的规定。

只要能准确进行两个操作符号的转换即可。有理数指数幂的数学运算符号比分数和根号更简洁方便。这个符号的出现有其必然性。比如a和b的算术平均值是，几何平均值是，可以理解为运算水平的提高。事实上，从 16 世纪开始，比利时数学家史蒂文就试图用分数来对应部首。 17世纪以后，牛顿用有理数指数幂符号来表示部首。直到18世纪欧拉才给出了明确的定义。这种符号被普遍接受。和使用。指数幂运算的发展历史充分表明，基于数学语言的简单性、准确性和合理性，有理数指数幂运算符号的产生和改进在历史上是不可避免的。当教科书研究幂函数时，正方形场的边长 c 相对于面积 S 的函数被记录为引出分数指数幂的符号。在数学中，当一个新的概念或规则被引入时，总是希望它与现有的概念或规则兼容，所以我们从部首公式的含义开始，将正整数指数幂转化为可以被根指数整除的基数。的部首公式扩展为平方根的指数不能被根指数整除的部首公式，为了希望整数指数幂的运算能够与之兼容，只有分数指数运算指定平方根的正数。事实上，分数指数幂是一种新的部首表达方式，其表达的简单性和计算的方便性都优于部首。然而，负数被数的分数指数幂需要扩展到复数空间，不能用根数来解释，所以此时讨论这些问题是没有意义的。

因此，本课的教学重点是：有理数的根数和指数幂的含义以及运算的性质。 二、目标与目标分析 1.教学目标（1）通过n次方根定义的形成过程，了解部首公式的含义，掌握部首公式的性质。（2）理解分数次幂表达式的合理性和简洁性，掌握部首公式与分数次幂之间的相互作用（3）理解有理数指数的含义，掌握其运算性质，提高通过初步应用数学运算的核心素养。实现以上目标的标志是：（1）students可以学习平方根和立方根的概念，总结一个数的n次方根的定义，理解n次方根的含义，具体例子，n为奇偶数时的化简结果，尤其是n为偶数时。在平方根的指数处可以被根指数整除，并将其推广为根指数不能被根指数整除的根式公式，然后进一步分析了该算法的合理性。通过部首表达式和分数指数幂的互化来理解分数指数幂的含义。 （3）学生能正确完成有理数指数幂的根式表达和化简运算。三、问题诊断与分析虽然同学们已经掌握了整数指数幂的概念及其运算性质，以及符号表示学习幂函数过程中二次根的分数指数幂，但由于n次方根和有理指数幂比较抽象，学生理解起来还是有难度，所以本课教学难点是理解根号和分数指数幂的定义，以及有理数指数幂运算的性质。

教科书是复习平方根和立方根的定义，然后类比画出第n个根，再通过类比总结第n个根的一般定义和性质。第 n 个根的性质实际上是平方根和立方根属性的扩展。教学时可以以平方根、立方根、四次方根为基础进行讲解，加深对这个性质的理解。分数指数是指数概念的另一种推广。在教学中，要多举例帮助学生理解分数幂的含义，明确分数幂是一种新的部首书写方式，通过部首与分数幂的互化来区分负数的区别指数幂和分数指数幂之间的区别是巩固和加深对有理数指数幂的理解。 四、teaching process design 1. 独立阅读并澄清任务问题1？请先阅读教材第四章的章节头图和章节介绍，然后回答以下问题：（1）本章将学到什么？涉及哪些功能？（2）这些可以解决哪些实际问题？函数解决？师生活动：学生独立阅读课本内容，回答以上问题。预设答案：（1）指数函数和对数函数，以及相关知识。（2）此类人口）增长模型为一个指数函数；不治之症和强传染性疾病在大量人群中传播的初始阶段是简单的指数增长；声强单位是对数的（因为人耳对声音的变化很不敏感，会感觉到成倍数变化时）；衡量pH值的PH值也是以离子浓度的对数为单位... 例子中指数爆发式增长的特征应突出显示基本函数和对数函数的缓慢增长。

设计意图：阐明本章的研究内容、目的和实际应用背景，并指出本章的研究方向。 2. 创造情境并引发思考。问题2？为了研究指数函数，我们需要将指数的范围扩展到所有实数。我在初中学习了整数指数幂。请复习正整数指数幂和负整数指数幂的含义，说说整数指数幂运算与乘除运算的关系。能否进一步扩大索引范围？师生活动：学生回答，提出自己的猜想，教师总结。预设答案：正整数指数幂来自自乘运算，负整数指数幂运算来自数字自乘运算的倒数。这种幂运算在表示上更加简洁。在学习幂函数时，我们习惯于记录正方形场的边长c作为面积S的函数，因此推测指数的范围可以进一步扩大。设计意图：通过回顾整数指数幂的运算，我意识到指数运算源于数字的乘法。同时，为了表达的简单，引入了指数幂运算，并解释了指数幂运算的必要性，以导致分数指数幂运算。 3. 类比总结，形成定义题 3. 请类比平方根和立方根的概念，试说说第 4 个根、第 5 个根、第 10 个根、第 11 个根……你认为第 n 个根应该是什么是？ 预先确定的师生活动：先由学生举例说明，然后观察、总结、抽象。默认答案：学生示例：①(±2）4=16，我们称16的四次方根；②(-2)5=-32，称-32的五次方根；③37 =2187，我们称call 3 the 7th root of 2187; …… 老师解释：? 设计意图：引导学生从特殊到一般的观察、归纳和抽象。

形成第n个根的定义。 4.深入分析，细化定义 问题4？对于任何实数，它的第 n 个根是什么？预定义答案： 设计意图：规范部首式的表达方法，通过平方根的分类讨论，理解部首式的含义。总结：当n为偶数时，化简结果先取绝对值，再根据绝对值计算具体值，这样容易避免错误。设计意图：通过对n为奇数和偶数两种情况的讨论，进一步理解n次根的概念，形成严谨的逻辑划分思路，提高逻辑推理的核心素质。将正整数指数幂转换为根指数的指数可以被根指数整除的根公式导致分数指数幂运算的定义。预定义师生活动：学生独立完成认证，然后交流展示。设计意图：通过简单的应用，判断一个数是否有n次方根，首先要考虑被数是正数还是负数，还要区分n为奇数和偶数两种情况。通过反例，这两个步骤缺一不可。如果平方根是一个正数，那么它一定是真的，结果就是。为导出分数指数幂铺平道路。 5.初步应用，加深理解 例1 求下列公式的值： 后续：解的依据是什么？ 6.类比学习，求有理数指数幂问题6？负整数指数幂用于表示分数，例如，其本质是通过扩大指数范围来表示分数。部首形式可以用指数幂的形式表示吗？如果是这样，如何扩大索引的范围？尝试给出一个合理的规则来表达激进的公式，并像这样谈论你的规则的合理性。

预定义的师生活动：学生可以分组交流，可以讨论多种方式。教师可提示以指数幂运算的性质不变为标准。设计意图：从16世纪比利时数学家Steven开始尝试用分数来对应部首，17世纪后牛顿用有理数指数幂符号来表示部首。直到 18 世纪欧拉给出了明确的定义，这种表示法才被普遍接受。和使用。这一历史发展过程充分说明分数指数幂的产生有其历史必然性。学生可以在数学家制定规则时，通过类比归纳来感受概念之间的内在逻辑和兼容性，体会数学的简单性和美感，增强类比推理能力。后续1：根据n次根的定义和数的计算，我们知道这意味着平方根的指数可以被根指数整除的根公式可以用分数形式表示指数功率。那么平方根的指数不能被根指数整除。例如，它也可以用分数指数幂的形式表示吗？怎么表达？预定义的师生活动：学生通过类比猜想得到答案。默认答案： 教师解释： 我们规定正分数指数幂的含义是。当基数为负数时，没有进行任何研究。设计意图：为问题6的解决铺好梯子。 后续2：阅读课本，理解分数幂的含义，谈谈负分数幂的含义。零和负数是否具有分数指数幂？您能谈谈这些规定的合理性吗？预定义的师生活动：学生阅读课本并回答问题。默认答案：负分数指数幂是正分数指数幂的倒数。规定0的正分数的指数幂都为0； 0不能作为分母，零的负分数的指数幂没有意义。

负数是需要展开到复数空间的被数的小数指数幂。不能用偏旁公式来解释，所以此时讨论这些问题是没有意义的。规定：（1）0的正分数幂等于0；（2）0的负分数幂没有意义。设计意图：规范表达方法，通过探索数学符号构成的科学性和合理性，比较用部首公式体验分数指数在计算中的简单表达，理解分数指数幂的含义的本质是部首公式。后续3：有理指数幂的运算性质是什么？预设答案： 7.初步应用，加深对例2的理解? 值：例3 用分数指数幂的形式表达以下公式（其中a＞0）：后续：求解的依据是什么？预定义老师-学生活动：学生独立完成并展示，老师批改规范。预设答案：例2 例3 后续：什么样的e通过解决这些问题，您获得了经验吗？预设答案：必须明确解的依据，必须按照规则进行计算。在指数计算中，一定要注意计算顺序和乘法公式的灵活运用。设计意图：该解决方案基于有理指数幂运算的性质，因此应将其转化为指数计算而不是根。它反映了分数指数幂在计算中的优越性。 8.小结问题7：谈谈有理数指数幂运算的性质特点。预设答案：掌握分数幂运算的性质，与整数指数幂的运算性质一致。形式是幂之间的运算转化为指数之间的运算。操作，这种转换是通过减少一个操作级别来实现的。 9. 布置作业（1）教科书107页练习1、2、3；五、object detection设计计算以下类型的设计意图：检测根和分数指数幂的互化和有理指数的运算性质权力。

《对数函数及其性质》课本解析 本节以学习指数函数为基础，通过具体例子了解对数。函数模型的实际背景，先学习对数的概念再学习对数函数。教材的编纂体现了指数函数与对数函数的许多对应关系，为反函数的提出铺平了道路。本节的重点和难点是正确对数函数的定义、形象和性质。在求解与对数函数有关的问题时，一要注意对数函数的定义域，二要注意底的取值范围的限制。当需要对讨论进行分类时，我们必须对讨论进行分类。教学目标 1. 对数函数的概念，熟悉对数函数的形象和性质规律。掌握对数函数的性质，能初步利用性质解决问题。 2.通过观察对数函数的形象，让学生发现和概括对数函数的本质。学生可以通过观察和类比函数图像来体验两种函数的单调差异。 3.培养学生的数形结合思维和分析推理能力，认识到指数函数和对数函数互为反函数，培养学生严谨科学的教学态度。教学重点和难点 【教学重点】理解对数函数的定义，掌握对数函数的形象和性质。理解指数函数和对数函数的内在关系。 【教学难点】基数a对图像的影响及对数函数性质的作用。课前准备 复习指数和指数函数的性质以及对数和对数的运算。阅读材料“对数的发明”。教学过程 1. 设置情境 在2.2.1 例6 中，考古学家估算出土文物或古遗址的年代。对于每一个C14含量P，通过关系表达式都有一个唯一确定的年龄与之对应。同理，对于每个对数公式，任何正实数值都有一个唯一的值与之对应，所以函数。 2. 探索新知识 一般我们称一个函数(>0 and ≠1）为对数函数，它是一个自变量，函数的定义域为(0, +∞)。问题：(1）函数定义中，Why should we limit>0 and ≠1. (2）Why logarithmic function (>0 and ≠1） has a domain of (0, +∞)). 组织学生讨论交流充分，让学生更好地理解对数函数 加深对对数函数的理解 答：①根据对数与指数公式的关系，认识可以从指数的概念转化为意义，必须指定> 0 且≠ 1。 ②因为可以变成 ，不管取什么值，指数函数的性质都是> 0，所以。现在我们来研究函数的形象，研究一下函数性质通过图像：首先完成P81表2-3，并使用此表绘制点 方法或使用计算机绘制函数，然后使用计算机软件绘制 1 2 4 6 8 12 16 －1 0 1 2 2.58 3 3.58 4 y 0x 注：如果点在图像上，则点在图像上。 ．因为() 和() 是关于轴对称的，所以 的像和 的像是关于轴对称的。所以，我们能画的图是学生先画的图，然后是电脑软件画的图。图像。探索：选取多个base>0且≠1）的不同值，在同一平面直角坐标系中制作对应的对数函数图像。观察图像，你能找出它们有什么特点吗？练习：再用多媒体画，和0题：能不能通过函数的形象告诉基数和函数形象的关系？函数的形象有什么特点，有什么属性？让学生讨论交流，老师带领总结。函数的性质。 （投影）图像特征函数的性质（1）图像在轴的右侧（1）定义域为（0，+∞））（2）函数的图像去通过(1,0）)点（2）1对数为0（3）从左到右，当>1时，图像逐渐上升，当0<<1时，图像逐渐下降（3）当>1，是递增函数，当0＜＜1时，为递减函数（4）当＞1，(1,0）point)右边的函数图像纵坐标大于0，且它在(1,0）点左边的纵坐标都小于0。当0＜＜1时，图像刚好相反，(1,0）points)右边的纵坐标都小于小于0，(1,0）points)左边的纵坐标都大于0。（4）When>1: ＞1, then ＞0; 0＜＜1, <0; 当0＜ ＜1：＞1，则＜0；0＜＜1，＜0。从上表可以看出，对数函数的性质如下（同学们先模仿指数函数的性质，教师 应该得到适当的启发和引导）：＞1 0＜＜1 image 49784486995 58420087630 属性（1）定域（0, +∞）； (2）值域R;(3）过点(1,0）,即when=1,=0;(4）是(0,+∞)上的递增函数，且(0 , +∞) 为上下函数 3. 例题说明例 1 求下列函数的定义域 (1） (2） (>0 and ≠1）) 分析：由对数定义可知function:>0;>0，解不等式得到定义域。解：(1）Because>0，即≠0，所以函数的定义域为。(2）Because>0，即是，<4，所以函数的定义域是<。例2 比较下面几组数 中两个值的大小 (1）(2）(3）(＞0, and ≠1）) 解析：通过数字和形状的组合或函数的单调性来完成：（1）解法1：使用图形计算器或多媒体绘制对数函数的图像。在图像上，带有横坐标3、4在横坐标8.5的点以下： 所以，解2：从函数+上是单调递增函数对数函数教案下载，3.4<8.5，所以.Soluti on 3：直接用计算器计算：（2）第（2）小题类似（3）注：基数是常数，但需要分类讨论的范围由函数的单调性决定） 解1：当>1时，是(0,+∞)处的递增函数，5.1 <5.9。因此，当为 1 时对数函数教案下载，at ( 0, +∞) 为递减函数，且 5.1<5.9。因此，解决方案2：转换为指数函数，然后从指数函数的单调性来判断大小的差异。以上为增函数，且 5.1<5.9 所以，＜，即＜当 0＜＜1 时，为 R 上的递减函数，5.1＞5.9 因此，＜，即＞ 说明：先画一张图，然后通过数字和形状的组合来解决它。 4.课堂练习：课本对应练习。 5、反函数探索：在指数函数中，是自变量和因变量。如果你把它当作自变量和因变量，那么是函数？如果有，对应关系是什么？如果不是，请说明原因。引导学生通过观察、类比、思考和交流得出结论。在指数函数中，它是自变量，是函数()，在R中是一个单调递增的函数。在轴的正半轴上的任意一点都是轴的平行线，并且只有一个与图像的一个交叉点。指数公式和对数公式的关系，也就是对于每一个，在关系的作用下，都有一个唯一的定值与之对应，所以我们可以把它作为自变量，作为函数，我们说从我们的列表中，我们知道它是相同的功能图像。引出反函数的概念（只让学生理解和开阔眼界）当一个函数是一一映射的时候，这个函数的因变量可以作为一个新的函数自变量，而函数的自变量这个函数可以作为新函数的因变量，我们称这两个函数为反函数。从反函数的概念可以看出，同底的指数函数和对数函数互为反函数。比如反函数，但习惯上，它们通常用来表示自变量，表示函数，逆函数，这就是指数函数的反函数。以后我们调用的反函数就是反函数之后的函数，如果反函数相同的话。原因，>1）的反函数为>0且。课堂练习：求下面函数的反函数（1）（2）补充练习1.知道函数的定义域是[-1, 1]，那么函数的定义域就是。2.求范围3.已知<<0,排列m,n,0,1.4.已知0<<1,b>1,ab>1.比较.6.归纳总结：(1）对数函数概念的必要性和重要性；（2）对数函数的性质，列表显示。（3）反函数。7.布置作业课本相应的练习。教学反思。