有效数字及其运算规则

§ 2—3 有效数字及其运算规则 1. 有效数字的一般概念 1) 有效数字的概念 实验中测量的结果都是有误差的， 那么测量值如何表达才算合理呢？ 如用最小分度值为1mm 的尺子测得某物体的长度 L＝12.46cm， 可否写成 12.460cm 或 12.4600cm 呢？ 回答当然是否定的， 因为用该米尺测量时毫米以下的一位数字 6 已经是估计的（即有误差存在）， 再往下估读已无实际意义。 在大学物理实验中， 12.460 和 12.4600 这两个数值与 12.46 有着不同的含义， 即表示它们的误差是不相同的。 在实验测量和近似计算中得到的数据， 其末位是有误差的， 我们称这种数为有效数字。所以， 有效数字是由若干位准确数字和一位欠准确数字构成的。 上面的举例 L=12.46cm， 就是有四位有效数字。若我们用最小分度为 0.02mm 的游标卡尺去测量该物体， 得 L＝12.460cm；用最小分度为 0.0lmm 的螺旋测微器测量该物体， 读数为 12.4602cm， 则它们分别是五位和六位的有效数字。 由此可见， 同一物体， 用不同精度的仪器去测量， 有效数字的位数是不同的，精度越高， 有效位数越多。

当我们用 m 或 km 作单位时， 物理量 L＝ 12.46cm 表示为 L＝ 0.1246m 或 L＝0.0001246km， 它们是几位有效数字呢？ 因为单位换算并没有改变它原来测量的精度， 因此仍是四位有效数字， 这里的“0” 是确定小数点位置的， 不是有效数字， 也就是说， 在非零数字前的“0” 不是有效数字。 当“0” 不是确定小数点位置， 即在非零数字后面时， 与其它的字码是有同等地位的， 都是有效数字。 例如， 1.005cm， 是四位有效数字； 1.00m 是三位有效数字。 这里的“0” 就不能随便的增或减。 2) 数值的科学表达方式 当一个数值很大， 但有效数字又不多的情况下， 如何来正确表达呢? 这时可以用尾数乘以 10 的多 少次幂的形 式表示， 即 所谓的科学记 数法。 例 如 某号钢的弹性模量为1121.97 10/E =×N m0C时的线胀系数为 0.0000167， 写成， 它有三位有效数字， 显然写成 197,000,000,000样， 一个数值很小的量， 如铜在 20是不妥当的。

同51.67 10−×2/mN则较为简洁明了。 3) 有效数字和相对误差的关系有效数字的最后一位是有误差的， 因此， 大体上可以这样说， 有效数字的位数越多相对误差就越小， 有效数字位数越少相对误差越大。 一般来讲， 两位有效数字对应于十分之几到百分之几的相对误差； 三位有效数字对应于百分之几到千分之几的相对误差， 依次类推。 因此， 在进行误差分析时， 有时讲误差多大， 有时讲几位有效数字， 它们是密切相关的。 2. 有效数字的运算规则 大学物理实验 20 在物理实验中， 大量遇到的是间接测量量， 这就不可避免地要对测量施以各种运算。 进行有效数字运算有两条基本规则： (1)计算的最终结果中一般只保留一位可疑数字； (2)有效数字的末位确定以后， 对其尾数用舍入法则进行取舍。 尾数小于 5 则舍去， 大于 5 则末位进 1，等于 5 则把末位凑成偶数。 这样的舍入法则使尾数舍去与进入的概率相等。 例如： 2.4526 取三位有效数字， 则为 2.45； 2.3456 取三位有效数字， 则为 2.34；1.2550 取三位有效数字， 则为 1.26； 12.3650 取四位有效数字， 则为 12.36。

2.2 整式的加减（2课时）教学任务分析教学目标知识技能理解并掌握合并同类项的概念、去括号法则的探究，能够利用整式的加减法则对整式进行加减运算．数学思考能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，使学生经历对具体问题的探索过程，培养符号感．解决问题（。6.3.6数值和字符串运算语句数值间有加减乘除等运算，字符串有相连定位查找等运算，时间有加减等运算。进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法则计算，转化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：（1）取各分母系数的最小公倍数。

小结：当小数部分位数不同的小数相加减，只有把小数点对齐了，才能保证相同数位对齐。值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值，后投入毕生精力，于1610年算到小数后35位数，该数值被用他的名字称为鲁道夫数。

如求0'sin 20 13sin 20 140.3458441=0'sin 20 130.3456=， 可先求， 再求， 两值在小数点后第四位开始变化， 因此，就取四位有效数字。 0'0'sin20 120.3452982=4) 在有效数字运算中还应注意的一些问题 ① 计算公式中的常数， 如π ，，g2 等都是正确数， 在运算中可根据需要截取其近似值的有效位数。 ② 首位数字为 8、 9 的有效数字， 其有效数字的位数可以比实际的位数多算一位。 如 8756可认为它是五位有效数字； 923 可认为它是四位有效数字。有效数字的运算规则 ③ 为减小计算中的舍入误差， 对参与运算的各有效数字进行修约时可比实际需要的多保留一位。