51对数函数的概念教案

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《§5.1 对数函数的概念》教案 § 对数函数的概念》教学目标： 1．通过详细例子，直观认识对数函数模型所描绘的数量关系。x 2 ． 通 过 对 指 数 函 数 y = 2的 研 究 ， 利 用 对 数 的 概 念 ， 初 步 理 解y=log2x 是一个对数函数。 3．把方程 y=㏒2x推广到 y=㏒ ax (a>0,a≠1) ,初步认识对数函数的概念。体会对数函数是一类重要的变量建模。 4．通过对变量 x=log2 y 与 y=log2 x 的图象关系的 研究，探索对数函数 的定义域和函数。x 5．了解指数函数 y = a (a > 0, a ≠ 1) 与对数函数 y=㏒ ax (a>0,a≠1)互为反函数。教学重点与难点1．理解对数函数的概念。 2．体会函数 y = a x (a > 0, a ≠ 1) 与变量 y=㏒ ax (a>0,a≠1) 图像间的变换关系，以及他们之间互为反函数的关系。 3．对数函数的定义域与函数的理解。教学过程 教学过程一．实例预测§1 中，我们了解到细胞分裂的数量与细胞个数之间的关系可以用正整数指数函 数 y = 2x 表示。当 y（即细胞个数）达到 1 万，或 10 万对数函数教案下载，求分裂的数量，则能受到分裂次数 x 和细胞个数 y 之间的方程关系 y=㏒ 2 x.二．提出问题： 提出疑问：x 对于通常的指数函数 y = a (a > 0, a ≠ 1)yy = 2x中的两个变量，能不能把 y 当作自变量，使得 x 是 y 的函数？师生活动：探索研究1、观察指数函数 y = 2（1）对于x4的图像，回答问题：2 x 1 2x 的每一个确定的值，1Oy 都有唯一确认 的值跟它对应； （2）当 x1 ≠ x2 时，y1 ≠ y2。

x 就是说，指数函数 y = 2反映了数集 R 与 的关系。数集 {y | y > 0 }之间存在 一一对应（3）对于任意的 y∈（0，+∞ ） ，在 R 中 y = 2x 都有唯一确定的数 x 满足_________ . （4）如果把 y 当作自变量，那么 xy就是X=log2y______ 的变量，由对数的定义可知，这个变量就是 ______________. 2、习惯上，自变量用 x 表示，所以把方程 x=㏒ 2y 写成 y=㏒ 2x，x 那么方程 y = 2X=log2y、 x=㏒ 2y 、 y=㏒ 2x 之间有何关系呢？ 的另一种x (1) 由对数定义可知，对数式 x=㏒ 2y 是指数函数式 y = 2表达方式，其本质相似，对数式中的真数 y 就是指数函数 式中的方程值 y，而 对数 x 是指数函数中的指数 x，故他们的图像是同一条曲线。 (2)再观察变量 x=㏒ 2y 与 y=㏒ 2x ,由他们的函数式可知,它们的对应法则 相同,而自变量与因变量的位置相互更换了.反映在图像上,就是把 x 轴、y 轴的 位置互换了.x 根据以上表述,你可把变量 y = 2的图像通过上述变换来作出函数 y=㏒ 2x 的图像吗? 由以上的图像和函数式可知，函数 的函数值 y，而方程 y = 2x y = 2x 的自变量 x 即为变量 y=㏒ 2x的函数值 y 即为变量 y=㏒ 2x 的自变量 x。

即函数 y=㏒ 2x 的定义域为(0，+∞ ) ，值域为 R。 根据以上探索研究，你可把以上各个函数的底数都换成 a(a>0，a≠1),得出对数 函数的定义吗? 对数函数概念的理解 归纳总结,得出定义: :x 指数函数 y = a (a > 0, a ≠ 1)反映了数集 R 与数集{y | y>0}之间 的 关系, ∞ ),在 R 中都有唯一的数 x 满如果把 y 看成自变量,对于任意 y∈ (0，+ 足 y=ax。如果把 y 当作自变量,则 x 就是 y 的函数。这个变量就 是x=㏒ ay。2函数 x=㏒ ay 叫做对数函数。这里 a>0,a≠1。自变量 y>0。习惯上,自变量 用 x 表示,所以这个方程写成 y=㏒ ax（a>0, a≠0)。 定义:我们把方程 y=㏒ ax（a>0, a≠0) 叫做对数函数,a 叫做对数函 数的底数。函数的定义域是(0,+∞ ),值域是 R 。 特别地,我们称以 10 为底的对数函数 y= lgx 为常用对数,称以无理数 e 为底 的对数函数 y=㏑ x 为自然对数。 三．例题研究 例1 计算：（1)计算对数函数 y=㏒ 2x 对应于 x 取 1对数函数教案下载，2，4 时的函数值； (2)计算常用对数函数 y=l g x 对应于 x 取 1，10，100，0.1 时的变量值. ( 分析：计算函数值，只要把自变量的取值代入相应的函数式,运用已学的对数知识求解即可。

) 解 （1）当 x=1 时，y=㏒ 2x=㏒ 21=0， 当 x=2 时，y=㏒ 2 x=㏒ 22=1， 当 x=4 时，y=㏒ 2 x=㏒ 24=2； （2）参看课本第 106 页。 练习：课本 107 页练习第 1 题 补充练习:求方程 y=㏒ x-3(2x-7)的定义域。 五．探究发现 1、 前面我们运用指数函数与对数函数的关系，把 x 轴、y 轴的位置互换,作出 了变量 y=㏒ ax（a>0, a≠0) 的图像。但是这些作图的方式并不常用，更多的之后我们 是运用描点法来作图。 下面,请同学们动手用描点法作出函数 y=㏒ 2x 函数 y=㏒ 2x 的性质。 先列出 x，y 的对应值表（如下表） 的图像。并按照图像说出yy = 2x42X… 1/4 1/2 1 2348…O x 1 2Y= ㏒ … -22-10 123…X作出图像如下图 师生活动：归纳总结 y=㏒ 2x 的性质： （1）定义域____(0，+∞ （2）值域：R （3）经过定点 ； （1，0） ，即 x=1 时 ；y=0y＞0)_；（4）x>1 时，_______ ； （5）在（0，+∞）上是 增函数 。2、指数函数与对数函数的联系x 指数函数 y = a和对数函数 x=㏒ ay 刻画的是同一对变量 x，y 之间的关系， x 的变量，其定义 是x 所不同的是：指数函数 y = a 中 ， x 是自变量， y 是域是 yR，值域是 （0，+∞） ；对数函数 x=㏒ ay 中， y 是自变量， x ， 值域是 R的方程，其定义域是 （0，+∞）。

像这种的两个函数互为反函数。 由于对数函数通常写成 y=㏒ ax （a>0， a≠1） 因此， 。 指数函数 ≠1)是对数函数 y=㏒ ax ≠1)也是指数函数 六．例题与练习 例2 写出以下方程的反函数： （1）y=lgx； 解 ： （见课本 106 页） 例3 写出以下指数函数的反函数： （2）y=（2 3y = a x（a>0,a(a>0,a≠1)的反函数,同时,对数函数 y=㏒ ax (a>0,a (a>0, a≠ 1) 的反函数 。y = ax（2）y=㏒ 1 x3（1）y= 5 x 解： （见课本 107 页） 练习:课本 107 页 2、3、4）x4补充练习： 1． 已知变量 f（x）=a _______. 小结: 七． 小结: 1.指数函数与对数函数的概念对比x过点（3，4） ，则方程 y=logax 的图象必过点名称指数函数 (a>0,a≠1) y = ax （-∞，+∞）对数函数 y=㏒ ax (a>0，a≠1）一 般 形 1) 式 定义域（0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）x 2、指数函数 y = a（a>0,a≠1) 与对数函数 y=㏒ ax（a>0，a≠1)互为反函数。 八．作业：课本 117 页 A 组 作业 预习：课本§5.2、§5.3 要求 1、把方程 y=㏒ 2x 和 y=㏒ 1 x 的图象画在同一直角坐标系下。21232、观察上述两个函数的图像，归纳它们的性质，并因而总结函数 y=㏒ ax （a>0,a≠1)的性质。5