对数函数及其性质

第二章 基本初等函数（Ⅰ）§2.2.2 对数函数及其性质（第一、二课时）一．教案目标1．知识技能①对数函数的概念，熟悉对数函数的图像与性质规律.②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决难题.2．过程与技巧使学生借助观察对数函数的图像，发现并推论对数函数的性质.3．情感、态度与价值观①培养教师数形结合的观念并且预测推理的素养；②培养教师严谨的科学态度.二．学法与教案用具1．学法：通过使教师观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质；2．教案手段：多媒体计算机辅助教案．三．教案重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图像跟性质.2、难点：底数 a 对图像的妨碍及对数函数性质的功用.四．教案过程1．设置情境在 2．2．1 的例 6 中，考古学家利用 logP 估算出土陶俑或古遗址的年代，对于5730 12每一个 C14 含量 P，通过关系式，都有唯一确认的年代 t 与之对应．同理，对于每一个对数y?logx a中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以y?logx a关于x的函数．2．探索新知一般地，我们把函数 y ? loga x （ a ＞0 且 a ≠1）叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么应限定 a ＞0 且 a ≠1．（2）．为什么对数函数 y ? loga x （ a ＞0 且 a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分探讨、交流，使学生非常理解对数函数的涵义，从而加深对对数函数的理解.1/8答：①根据对数与指数式的关系，知 y ? loga x 可化为 ay ? x ，由指数的概念，要让 ay ? x 有含义，必须要求 a ＞0 且 a ≠1．②因为 y ? loga x 可化为 x ? ay ，不管 y 取哪个值，由指数函数的性质， a y ＞0，所 以 x ?(0, ??) ．例题 1：求以下方程的定义域（1） y ? log a x2（2） y ? loga (4 ? x)（ a ＞0 且 a ≠1）分析：由对数函数的定义知： x2 ＞0； 4 ? x ＞0，解出不等式就可求出定义域．解：（1）因为 x2 ＞0，即 x ≠0，所以变量 y ? log ax2 的定义域为?x | x ? 0? .（2）因为 4 ? x ＞0，即 x ＜4，所以函数 y ? loga(4?x) 的定义域为?x | x ＜ 4? .下面我们来探究函数的图像，并借助图象来探究函数的性质：先完成 P81 表 2－3，并按照此表用描点法或用电脑画出函数 y ? log2x 的图象, 再利 用手机硬件画出 y ? log0.5x 的图象.1x2124681216y－10122.5833.584yy ? log0.5 x０xy ? log2 x注 意 到 ： y ? log 1 x ? ? log 2 x ， 若 点 (x , y在) y? l 2o gx的 图 象 上 ， 则 点2(x, ?y)在y ? log1 x 的图象上. 由于（ x, ? y ）与（ x, ? y ）关于 x 轴对称，因此，y ? log 1 x222/8的图象与 y ? log2 x 的图像关于 x 轴对称 . 所以，由此我们可以画出 y ? log 1 x 的图象 .2先由学生自己画出 y ? log 1 x 的图像，再由手机硬件画出 y ? log2 x 与 y ? log 1 x 的图22象.探究：选取底数 a(a ＞0，且 a ≠1）的若干不同的值，在同一平面直角坐标系内做出相应的对数函数的图像．观察图象，你可看到他们有什么特点吗？.作法：用多媒体4 再画出 y ? log4 x ， y ? log3 x ， y ? log1 x 和 y ? log 1 x34y ? log3 x2y ? log4 x-50-25y ? log 1 xy?log4 1x3提问：通过变量的图像，你能写出底数与变量图象的关系吗？函数的图像有何特征，性质既如何？-4先由师生讨论、交流，教师鼓励总结出函数的性质. (投影)图象的特征（1）图象都在 y 轴的左边（2）函数图像都经过（1，0）点函数的性质 （1）定义域是（0，+∞） （2）1 的对数是 0（3）从左往右看，当 a ＞1 时，图象逐渐 上升，当 0＜ a ＜1 时，图象逐渐增加 .（3）当a＞1时，y?logx a是增函数，当0＜ a ＜1 时， y ? loga x 是减函数.（4）当 a ＞1 时，函数图象在（1，0）点后面的纵坐标都小于 0，在（1，0）点上方的纵坐标都大于 0. 当 0＜ a ＜1 时，图象正好相反，在（1，0）点后面的纵坐标 都大于 0，在（1，0）点右边的纵坐标都 大于 0 .（4）当 a ＞1 时x ＞1，则 loga x ＞00＜ x ＜1， loga x ＜0当 0＜ a ＜1 时x ＞1，则 loga x ＜03/80＜ x ＜1， loga x ＜0由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数变量性质完成，教师适当启发、引导）：a ＞10＜ a ＜1图 象（1）定义域（0，+∞）；性（2）值域 R；质（3）过点（1，0），即当 x =1， y =0；（4）在（0，+∞）上是增函数例题训练：1. 比较下列各组数中的两个值大小（1） log2 3.4 , log2 8.5在（0，+∞）是上减函数（2） log0.3 1.8 , log0.3 2.7（3） loga 5.1 , loga 5.9 （ a ＞0，且 a ≠1）分析：由数形结合的方式或借助函数的单调性来完成：（1）解法 1：用图形计算器或多媒体画出对数函数 y ? log2 x 的图像.在图象上，横坐标为 3、4 的点在横坐标为 8.5 的点的下方：所以， log2 3.4 ? log2 8.5解法 2：由方程 y ? log2 x在R +上是单调增函数，且 3.4＜8.5，所以 log2 3.4 ? log2 8.5 .解法 3：直接用计算器计算得： log2 3.4 ? 1.8 ， log2 8.5 ? 3.1（2）第（2）小题类似（3）注：底数是系数，但应分类讨论 a 的范围，再由方程单调性判断大小.解法 1：当 a ＞1 时， y ? loga x 在（0，＋∞）上是增函数，且 5.1＜5.9.所以， loga 5.1 ? loga 5.94/8当 a ? 1 时， y ? loga x 在（0，＋∞）上是减函数，且 5.1＜5.9.所以， loga 5.1 ? loga 5.9解法 2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令 b1 ? loga 5.1,则ab1 ? 5.1, 令 b2 ? loga 5.9,则ab2 ? 5.9, 则 则ab2 ? 5.9 当 a ＞1 时， y ? ax 在 R 上是增函数，且 5.1＜5.9所以， b1 ＜ b2 ，即 loga 5.1 ＜ loga 5.9 当 0＜ a ＜1 时， y ? ax 在 R 上是减函数，且 5.1＞5.9所以， b1 ＜ b2 ，即 loga 5.1 ＞ loga 5.9说明：先画图像，由数形结合方式解答 课堂练习：Ｐ８５ 练习 第２，３题 补充练习1．已知变量 y ? f (2x ) 的定义域为[-1，1]，则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为2．求方程 y ? 2 ? log2 x(x ? 1) 的值域.3．已知 logm 7 ＜ logn 7 ＜0，按大小排序排列 m, n, 0, 14．已知 0＜ a ＜1, b＞1, ab＞1.比较loga1 b,logab, logb1 的大小 b归纳总结：② 对数函数的概念必要性与重要性。

②对数函数的性质，列表展示.对数函数（第三课时）一．教案目标： 1．知识与技能 （1）知识与技能 （2）了解反函数的概念，加深对变量思想的理解. 2．过程与技巧 学生借助观察和类比方程图象，体会两种变量的单调性差异. 3. 情感、态度、价值观 （1）体会指数函数与指数。5/8（2）进一步体会数形结合的观念. 二．重点、难点：重点：指数函数与对数函数内在联系 难点：反变量概念的理解 三．学法与教具： 学法：通过图象对数函数教案下载，理解对数函数与指数函数的关系. 教具：多媒体 四．教案过程： 1．复习 （1）函数的概念（2）用列表描点法在同一个直角坐标点中画出 y ? 2x 与y ? log2 x 的方程图象.`2．讲授新知y ? 2xx…－3 －2 －10123…y…1111248…842y ? log2 xx…－3 －2 －10123…y…1111248…882图象如下： yy ? 2xy ? log2 x0x探究：在指数函数 y ? 2x 中， x 为自变量， y 为因变量，如果把 y 当成自变量， x 当 成因变量，那么 x 是 y 的函数吗？如果是对数函数教案下载，那么对应关系是哪个？如果不是，请说明原因.6/8引导学生借助观察、类比、思考与交流，得出结论.在指数函数 y ? 2x 中， x 是自变量， y 是 x 的函数（ x ? R, y ? R? ），而且其在 R 上是单调递增函数. 过 y 轴正半轴上任意一点作 x 轴的平行线，与 y ? 2x 的图像有且唯有一个交点 .由指数式与对数式关系， y ? 2x 得x ? log2 y ，即对于每一个 y ，在关系式x ? log2 y 的作用之下，都有唯一的确认的值 x 和它对应，所以，可以把 y 作为自变量，x作为 y 的变量，我们说 x ? log2 y是y ? 2x (x ? R)的反函数 .从我们的列表中了解， y ? 2x 与x ? log2 y 是同一个变量图象.3．引出反函数的概念（只使学生理解，加宽学生视野） 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量成为一个新的方程自变量，而把 这个方程的自变量作为新的方程的因函数，我们称这两个函数为反函数. 由反函数的概念可知，同底的指数函数和对数函数互为反函数.如 x ? log3 y是y ? 3x 的反函数，但习惯上，通常以 x 表示自变量， y 表示方程，对调 x ? log3 y 中 的 x , y写成 y? l o3g x， 这 样 y ? log3 x x ? (0, ??) 是 指 数 函 数y ? 3x (x ? R) 的反函数.以后，我们所说的反函数是 x, y 对调后的变量，如 y ? 2x (x ? R) 的反函数是y ? log2 x x ? (0, ??) .同理， y ? ax (a ? 1且a ＞1）的反函数是 y ? loga x(a ＞0 且 a ? 1) .课堂练习：求以下方程的反函数（1） y ? 5x（2） y ? log0.5 x归纳总结： 1. 今天我们主要学习了哪些？ 2．你怎么理解反函数？课后反思：（供学有余力的学员训练）我们了解 y ? ax (a ＞0 且a ? 1) 与对数函数 y=loga x (a ＞0 且 a ? 1) 互为反函数，探索下列问题.7/81．在同一平面直角坐标系中，画出 y=2x与y ? log2 x 的图像，你可看到这两个函数有什么样的对称性吗？2．取 y ? 2x 图象上的几个点，写出他们关于直线 y ? x 的对称点坐标，并推断他们 是否在 y ? log2 x 的图像上吗？为什么？3．由上述研究你可得出何种结论，此推论对于 y ? ax与y ? loga x (a ＞0 且a ? 1) 成立吗？8/8