第四章指数、对数函数教案(可编辑)doc下载

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第四章指数变量与对数导数数学基础模块上册有理指数(一)【教学目标】理解整数指数幂及其运算律并会进行有关运算．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑认知能力．培养教师勇于发现、勇于探求、勇于创新的精神培养教师合作交流等良好质量．【教学重点】零指数幂、负整指数幂的定义．【教学难点】零指数幂及负整指数幂的定义过程整数指数幂的运算．【教学方式】这节课主要运用问题解决法和分组教学法．在采用指数幂时以在国际象棋棋盘上放米粒为导入素材既表现数学的应用价值也能导致学生的学习兴趣．从正整指数的运算法则中的这一法则出发通过更改m＞n的限制引入了零指数幂和负整指数幂的定义使得把正整指数幂推广到整数指数幂．在本节教学中要以取消m＞n这一条件为出发点让学生积极大胆地设想以此提高学生的参与意识能够提升教师的学习兴趣．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入在一个国际象棋棋盘上放一些米粒第一格放粒第格放粒第格放粒……一直到第格如此第格应放多少粒米？第格放的米粒数是第格放的米粒数是第格放的米粒数是×第格放的米粒数是××第格放的米粒数是×××……第格放的米粒数是×××…×学生在校长的鼓励下观察图片明确教师强调的疑问通过观察课件归纳、探究答案．师：通过前面的解题过程你能看到哪些规律？这么第格放多少米粒如何表示？学生提问教师对于学员的回答予以点评．并归纳出第格应放的米粒数为．师：请用计算器求的值．学生解答．通过问题的推行激发学生学习的兴趣．在疑问的剖析过程中培养学生归纳推理的素养．为引发an设下伏笔．用计算器使问题得到缓解．新课新课新课一、正整指数幂．定义通常地an(n(N)叫做a的n次幂a叫做幂的底数n叫做幂的指数．但是规定：a＝a．当n是正整数时an叫正整指数幂．练习填空()×＝am(an＝()()＝(am)n＝()()(xy)＝(ab)m＝．练习计算二、零指数幂规定：a＝(a≠)练习填空()＝()(－)＝练习式子(a－b)＝是否恒成立？为什么？练习计算()三、负整指数幂我们规定：a－＝a－n＝练习填空()–＝()()－＝．练习式子(a－b)－＝四、实数系五、整数指数幂的运算法则am(an＝amn(am)n＝amn(ab)m＝ambm．练习()(x)–＝()–＝()(()校长板书课题．学生理解概念．教师指出n是正整数．学生回顾正整指数幂的运算法则并尝试解决练习、．练习学生分小组抢答练习学生通过约分解得师：如果取消(m＞na≠)中m＞n的限制如何借助指数的运算来表示？学生板书：零指数幂a＝(a≠)．师：请老师们结合零指数幂的定义完成训练．学生解答．教师指出练习中等式建立的条件即a≠b．练习学生可通过约分解答．师：实数m与n的大小关系不仅m＞nm＝n还有m＜n．当m＜n时运算法则学生尝试解决教师强调的难题．教师板书：负整指数幂a－n＝并强调a的取值．练习由学员解答练习要求小组合作研究解决．教师对于学员的答疑进行点评并指出练习中的等式建立的条件即a≠b．师：从数的分类可知在定义了零指数幂和负整指数幂之后我们就把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围．师：正整指数幂的运算法则对整数指数幂的运算并且成立．板书运算法则．通过演示将学员解答练习要求小组合作解决．教师在讲解上述题目时应再现每题运算过程中用到的运算律．学生在高中已学过此概念用投影的方式呈现学生容易联想起以往的内容．明确各个别的名称．通过提出n是正整数为零指数和负整指数的采用作铺垫．通过训练让学生回顾正整指数幂的运算律．由特殊到通常由详细的事例入手引出零指数幂的定义．突破思维困境引入零指数幂．第题的目的是要让学生记住a＝(a≠)中的a≠这一条件．类比零指数的引入负整指数的引入就顺理成章了．练习是为了让学生注意在负整指数幂中底数a的取值范围．重新解读实数的分类展示幂指数的推广过程帮助学生理解“把正整指数幂推广到了整数指数幂的范围”这句话．使学生对幂的运算法则予以重新了解．突出本节知识突出运算法则．小结．指数幂的推广．正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立：()am(an＝amn()(am)n＝amn()(ab)m＝ambm．回顾本节主要内容加深理解零指数和负整指数幂的概念、牢记运算律．简单明了地概括本节课的重要知识使教师易于理解记忆．作业必答题：P练习A第题选答题：P习题第题()．标记作业．对于教师实际对课后书面作业推进分层设置安排必做习题和选做习题两层．有理指数(二)【教学目标】了解根式的概念和性质理解分数指数幂的概念掌握有理数指数幂的运算性质．会对根式、分数指数幂进行互化．培养学生的观察、分析、归纳等逻辑认知能力．培养教师用事物之间普遍联系的看法看问题．【教学重点】分数指数幂的概念并且分数指数幂的运算性质．【教学难点】对分数指数幂概念的理解．【教学方式】这节课主要运用问题解决课堂法．在引入分数指数幂时先讲方根的概念根据方根的定义受到根式具有的性质．在运用根式的运算性质对根式的求值过程中引导学生注意发现并归纳其变形特征使得由特殊情形归纳出通常规律．在对根式的性质进行训练之后为了缓解运算的合理性引入了分数指数幂的概念能够将指数幂推广到了有理数范围．在学生把握了有理指数幂的运算性质后将有理指数幂推广到实数指数幂．考虑到学校教师的实际状况并没有给出严格的推证．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入．整数指数幂的概念．an＝a×a×a×…×a(n个a连乘)a＝(a≠)a－n＝．运算性质：am(an＝amn(am)n＝amn(ab)m＝ambm．师：上节课我们把正整指数幂推广到了整数指数幂那么我们能不能把整数指数幂推广到分数指数幂进而推广到有理指数幂和实数指数幂呢？这节课我们就来分析这个难题．师：首先来复习一下上节课所学的内容．学生提问教师强调的疑问教师迅速予以评价．以旧引新强调问题引入本节课题．复习上节所学内容．新课新课新课一、根式有关概念定义：一般地若xn＝a(n＞n(N)则x叫做a的n次方根．比如：()由＝知是的二次方根(平方根)由(－)＝知－只是的二次方根(平方根)()由(－)＝－知－是－的三次方根(立方根)()由＝知是的次方根．有关结论：()当n为奇数时：正数的n次方根为实数负数的n次方根为负数．记作：x＝()当n为奇数时正数的n次方根有两个(互为相反数)．记作：x＝±()负数没有偶次方根．()的任何次方根都为．当负数a的正n次方根叫做a的n次算术根．比如：二、根式的性质()(EQR(n,a))＝a．比如(EQR(,))＝(EQR(,－))＝－．()当n为双数时当n为奇数时例如：EQR(,(－))＝－＝观察以下的运算：(a(a后面两式的运算用到了法则(am)n＝amn但能够用整数指数幂来解释之后①式的涵义是a然而我们要求a以使运算合理．三、分数指数幂通常地我们要求：aaa四、实数指数幂的运算法则()aα(aβ＝aαβ()(aα)β＝aαβ()(ab)α＝aαbα．以上aαaβ中a＞b＞且αβ为任意常数．练习(a例利用变量型计算器推导(准确到)：()()－()例利用变量型计算器推导方程值．已知f(x)＝x求f(－)f(－)f(－)f()f()f()(精确到)．请老师们结合教材在小组内合作完成．练习教材P练习A组第题练习B组第题．教师板书课题．学生理解方根概念．教师通过例子让学员进一步理解方根的概念．学生在老师的鼓励下进一步理解根式的概念．学生再次确立根式、根指数的概念教师指出当学生理解根式的性质通过例子演示将性质应用到运算之中．教师用语言描述根式性质：()整数a的n次方根的n次幂是它原本()n为奇数时实数a的n次幂的n次方根是a原本n为奇数时实数a的n次幂的n次方根是a的绝对值．学生认真观察．在老师的鼓励下教师寻找解惑途径．学生在校长的鼓励下由特殊到通常积极推动分数指数幂的概念．师：负整数指数幂是怎样定义的？怎么来定义负分数指数幂呢？学生在校长的鼓励下类比负整指数幂的定义产生负分数指数幂的概念．师：至此我们把整数指数幂推广到了有理指数幂．有理指数幂还可以推广到实数指数幂．使学生产生实数指数幂的概念．学生做练习．教师讲解例第()题的操作方式．学生结合教材完成例第()、()题学习用推导工具来求指数幂ab的值．引入方根的概念为下一步推行分数指数做基础．使学生加深对方根概念的理解为小结出结论作铺垫．由方根的概念采用其物理记法为采用根式的概念作准备．引入根式、根指数的概念．将英语语言(符号)转换为文字语言使学生加深对性质的理解．设定障碍使学生积极寻求缓解方法能够激发学生认知的积极性．通过教师鼓励师生找到使运算合理的方式．采用正分数指数幂的概念．类比负整数指数幂的定义引入负分数指数幂的概念．将有理指数幂推广到实数指数幂并给出整数指数幂的运算法则．加深对有理指数幂的理解并使学生进一步掌握指数幂的运算法则．使学生把握函数型计算器的使用．使学生进一步巩固函数推导器的使用方式．小结．．．利用变量型计算器求ab的值．学生在老师的鼓励下解读本节课的主要内容加深理解根式和分数指数幂的概念理顺实数权重幂的推广过程回顾计算器的使用方式．简单明了地概括本节课的重要知识以便学员理解记忆．理顺本节指数幂的推广策略使学员思维清晰．作业必答题：教材P练习B组第题选答题：教材P练习B组第题．对于教师实际对课后书面作业推进分层设置安排基本训练题和选答题两层．幂函数举例【教学目标】了解幂函数的概念会求幂函数的定义域会画简单幂函数的图像．培养学生用数形结合的方式缓解问题．重视培养教师的作图、读图的素养．培养教师勇于发现、勇于探求、勇于创新的精神培养合作交流等良好质量．【教学重点】幂函数的定义．【教学难点】会求幂函数的定义域会画简单幂函数的图像．【教学方式】这节课主要运用启发式和讲练结合的课堂方法．从方程y＝xy＝xy＝【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入．指数幂an＝a×a×a×…×a(n个a连乘)a＝an＝aaa．观察变量y＝xy＝xy＝x及y＝x－．学生在老师的鼓励下解读指数幂的有关定义及运算法则．师：以上变量表达式的共同特点是哪个？你能够列出类似的变量吗？学生观察函数的表达式回答学生强调的难题．复习上节内容为本节学习做打算．通过例子引进本节课题确定本节的学习目标．新课新课新课一、幂函数的概念通常地形如y＝x(的变量我们称为幂函数．练习判断下列函数是不是幂函数()y＝x()y＝x()y＝x例写出以下方程的定义域：()y＝x()y＝x()y＝x－()y＝x解：()方程y＝x的定义域为R()变量y＝x()函数y＝x－即y＝()方程y＝x练习求以下方程的定义域：()y＝x－()y＝x二、幂函数的性质例作出以下变量的图象：()y＝x()y＝x()y＝x()y＝x－．()列表：x…－－－…y＝x…－－－…y＝x……y＝x……y＝x…－－－…()描点()连线．幂函数的性质幂函数随幂指数α的取值不同他们的性质和图象也不尽相似但也是一些共性例如所有的幂函数都通过点()都经过第一象限等．练习画出变量y＝x学生在老师的引导下推导幂函数的概念．学生提问练习进一步理解幂函数的概念．对于学生的提问教师结合定义点评．在教师的鼓励下运用指数幂的有关定义师生共同完成例题．学生寻求规律形成解题规律．师：由上例我们可以看出当幂函数的指数(为负整数时通常是先将方程表达式转换为实数形式当幂函数的指数(为分数时通常是先将方程表达式转换为根式然后再来求方程的定义域．教师依据学生的解答进行点评并予以相应评价．师：函数图像可以直观体现函数性质是探究函数性质的有利软件请老师们回顾一下作函数图象分为哪三步？学生提问．学生分组完成列表．师生共同完成描点和连线有条件的学校可运用计算机进行作图．教师结合函数图像表明幂函数的性质．学生在老师的鼓励下完成训练．由学生自己推导幂函数的概念有促使人们掌握和理解新概念．使学生提高对幂函数概念的理解．通过例题演示使学生进一步掌握求幂函数定义域的方式．总结规律．使学员应用刚学过的新常识．回顾作图过程进一步确立函数图像是探究函数性质的有利软件．在画图过程中学会与人合作．使学生对幂函数的性质有简单的知道．复习作图过程并加强教师读图能力培养．小结．幂函数的定义．求幂函数的定义域．通过幂函数的图像分析幂函数的性质师生共同回顾幂函数的概念定义域的求法及其幂函数的图像和性质．简单明了概括本节课的重要知识学生容易理解记忆．作业．教材P练习A第题．．计算机上的练习在同一坐标系中画出变量y＝x与y＝基于教师实际对课后书面作业推进分层设置的同时修改了计算机上的训练让学员自己在操作过程中找寻学习的真谛．指数函数【教学目标】掌握指数方程的定义、图象、性质以及简单的应用．培养学生用数形结合的方式缓解问题的素养．培养教师勇于发现、勇于探求、勇于创新的精神培养独立构想等良好的个性品质．【教学重点】指数变量的图象与性质．【教学难点】指数方程的图像性质与底数a的关系．【教学方式】这节课主要运用讲练结合和小组合作的课堂方法．本节课由生活中的真实举例导入新课引入指数变量的定义并借助一组训练完善指数变量的定义．先借助列表描点连线得到指数变量的图像之后在教师的启发下充分运用函数的图像来探究函数的性质．为了提高学生对变量性质的应用增加了一道求方程定义域的题型然后安排一定数量的训练表现练为主线讲练结合的课堂方法．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入一种放射性物质不断变化为其它物质每经过年剩留的质量约是以前的．试写出这样物质的剩留量随时间差异的变量解析式．教师预测解题的过程得到y＝x．通过例子引入让学生受到指数变量的一些特点使得有了理性认识对理解和把握指数变量的定义、性质会起到很高的帮助作用．新课新课新课新课一、指数变量的定义通常地数组y＝ax(a＞且a(x(R)叫做指数方程．其中x是自变量定义域为R．探究y＝×x是指数方程吗？研究为什么要要求a＞且a≠呢？()若a＝则当x＞时ax＝当x≤时ax无意义．()若a＜则针对x的这些数值可使ax无含义．如(－)x这时对于x＝()若a＝则对于任何x(Rax＝是一个常量没有研究的必要性．为了防止上述各类情况其实规定a＞且a(．在要求之后针对任何x(Rax都有意义且ax＞因此指数变量的定义域是R值域是(＋∞)．练习指出以下变量哪些是指数方程：()y＝(x()y＝(x()y＝x()y＝x．二、指数变量的图像和性质在同一坐标系中分别作出函数y＝x和y＝(()列表：略．()描点：略．()连线：略．SHAPE*MERGEFORMAT练习作函数y＝x与y＝(研究观察y＝xy＝(()图象向左右无限延伸()图像在x轴上方向上无限延展向下无限接近于x轴()图像都经过点()()a＝或a＝时从左向右看图像慢慢上升a＝探究()“图象向左右无限延展”揭示了“函数的定义域为R”()“图象在x轴上方向上无限延展向下无限接近于x轴”揭示了“函数的值域为(＋∞)()“图象都经过点()”揭示了“当x＝时ax＝”()“a＝或a＝时从左向右看图像慢慢上涨a＝表指数方程的图象与性质a＞＜a＜图象SHAPE*MERGEFORMATSHAPE*MERGEFORMAT定义域R函数(＋()定点()单调性增函数减变量x≥时y≥x＜时＜y＜X≥时＜y≤x＜时y＞练习()指数方程y＝ax当时函数是增函数当时函数是减函数．()若变量f(x)＝(a＋)x是减变量则a的取值范围是．例用指数变量的性质非常下列各题中两个值的大小：()和()－和－．解()考察函数y＝x它在整数集上是增函数．由于＜于是＜．请老师们用函数的图像来验证一下答案是否恰当？()考察函数y＝x它在整数集上是减变量．由于－＞－因此－＜－．请同学们用计算器验证一下答案是否恰当？练习非常下列各题中两个值的大小：()()－－()如果n＜m则nm．例求方程y＝解：要使函数有含义则有x－≥所以x≥所以x≥．因此变量的定义域为＋∞)．练习求方程y＝教师板书课题．通过研究问题学生提出指数方程的解读式y＝ax中ax的系数是．学生分组合作研究教师强调的难题．教师在师生分组研究的过程中要留意巡视指导．师：函数的图像是探究函数性质的有力软件那么指数变量的图像是怎么的？怎样作指数变量的图象呢？老师引导学生一起把描出的点用光滑的曲线连接出来得到指数方程y＝x的图像．重复描点、连线的方法在同一坐标系中完成指数变量y＝(请老师分组完成训练教员巡查指导．学生完成题目后运用实物投影将学生的解答投影到屏幕．师：指数方程：y＝xy＝(师：你能用学过的物理语言来表示这种变量的性质吗？老师鼓励教师用英语语言来表示这种变量的性质．学生分组采用小组合作方式完成．师生一同完成该表．全体师生一起回答．教师指出：对于非常大小的难题若是底数相同通过构造一个指数变量用指数方程单调性来解决．学生画图验证．学生用推导器验证．学生训练并解答．学生感受求定义域的方式．由案例的采用并且推导出这些自变量在指数位置上的变量指数函数．对于a＞且a≠这一点学生容易忽视通过探讨研究可以增进学生的印象使得把新旧知识衔接得更好．同时又可以强数学生对指数方程的定义的理解记忆．让学生完成画图过程从画图过程中加深对指数变量的理性认识．有条件的大学可以让学员通过计算机画图工具上机操作．为了学习指数变量的性质先引导学生观察四个变量的图像特征使得顺理成章地总结出指数变量的性质这符合人了解问题的通常规律：由特殊到通常学生很易于接受．锻炼学生的口头表达能力或者文字语言与物理语言的转换能力．设定本练习其目的为了进一步加强学生对指数变量性质的把握．通过构造指数变量来非常两值的大小并让学生运用不同的方式来进行检测．增加本例为教师顺利解答课后相关训练及试题做基础．加深训练．小结．指数变量的定义．指数方程的图像与性质．应用：()比较大小()求函数的定义域．师生一同评述本节主要内容加深理解指数变量的概念、图象与性质．简单明了概括本节课的重要知识学生容易理解记忆．作业．必答题：教材P练习A组第题选答题：教材P练习B组第题．．计算机上的练习在同一坐标系中画出变量y＝x与y＝(标记作业．对于教师实际对课后书面作业推进分层设置安排基本训练题和计算机上的训练两层．对数【教学目标】理解对数的概念掌握对数式与指数式的互化．培养学生的类比、分析、转化能力提升理解和利用物理符号的素养．通过对数概念的构建明确事物的辩证发展和冲突转化的看法培养学生科学严谨的处世态度．【教学重点】对数的概念对数式与指数式的相互转换．【教学难点】对数概念及性质的理解把握．【教学方式】这节课主要运用启发式和分组合作教学法．在课堂过程中遵循学生是课堂的主体的精神要给学生提供各类可能的参加机会调动学生学习的积极性使学生化被动为主动．利用多媒体辅助教学引导学员从例子出发认识对数的建模体会引入对数的必要性．在教学重难点上步步设问、启发学员积极思维通过教学训练、学生探讨的方法来加深理解重点更好地突破瓶颈和提升课堂强度．让学员在学生的鼓励下充分地动手、动口、动脑掌握学习的主动权．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入．庄子曰：一尺之棰日取其半万世不竭．()取次也有多长？()取多少次也有尺？．细胞分裂问题经过几次分裂后细胞的个数为个？x＝．学生通过课件的演示在学生的带领下确立问题内涵．师：这两个难题都是已知底数和幂的值求指数的难题．通过生活例子引入体现数学的应用性导致教师的好奇心．展示分析问题的过程消除问题的难度使学生借助寻找规律推导问题的答案．新课新课新课一、对数的概念通常地即使a(a＞且a≠)的b次幂等于N即ab＝N那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝logaN(a＞且a≠)其中a叫做对数的底数N叫做真数．注意：()底数的限制：a＞且a≠()对数的书写格式()对数的真数小于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知ab＝N与b＝logaN两个等式所表示的是abN三个量之间的同一关系的两种不同表示方式．比如：＝(＝log．对数式与指数式的互化：ab＝N(b＝logaN练习()将以下指数式写成对数式：＝＝＝＝．()将以下对数式写成指数式：log＝log＝log＝log＝．练习将以下指数式写成对数式(其中a＞且a≠)：＝a＝a＝a＝．三、对数的性质()logaa＝即底数的对数等于()loga＝即的对数等于零()和负数没有对数．例求loglogloglog解()由于＝所以log＝()由于＝所以log＝()由于＝所以log＝()由于－＝四、常用对数以为底的对数叫做常用对数．为了简便logN简记作lgN．例求lglglg．解()由于＝所以lg＝()由于＝所以lg＝()由于－＝所以lg＝－．例利用推算器求对数(准确到)．lglglglg．练习求以下各种的值()lg＋lg＋lg()lg＋lg＋lg．教师给出对数的定义并举例说明：因为＝所以是以为底的对数因为＝所以是以为底的对数．教师指出规范的书写格式底数的限制并鼓励学生探讨真数N的取值．教师启发引导学员归纳指数式与对数式的转化关系．学生分组合作并抢答．本练习由教师独立构想完成并且使学生熟悉对数式与指数式的互相转换加深对对数的概念的理解．并规定每个学生会对数式与指数式互化．师：通过练习二你能给与什么结论？学生分组讨论得出推论．学生解答．对提出的难题要求小组合作解决．师：强调lgN的底数是而不是没有底数．掌握常用对数的特殊表示．学生抢答．学生独立完成．具体理解对数定义中底数的限制为现在对数函数定义域的确认作准备．同时留意对数的书写避免因书写不完善而形成的错误．让学生认识对数式与指数式的关系确立对数式与指数式方式的差别ab和N位置的不同及他们的意义．互化表现了等价转换的物理观念．让教师在缓解问题的同时归纳总结其中的规律为学习对数的性质做打算．由学生从特殊到通常归纳出对数的性质．学习应用计算器求对数让学生感受常用对数的便于性．知识提升训练．小结一、对数二、指数式与对数式的关系式ab＝N(b＝logaN三、常用对数以为底的对数叫做常用对数简记作lgN．师生共同回顾本节主要内容加深理解对数的概念、牢记指对关系式．用最简单的语言归纳本节课的要领使学员变得明晰本节课的要领．作业必答题：教材P练习B组第题选答题：教材P练习B组第题．结合学生实际书面作业推进分层设置安排基本训练题和选答题．积、商、幂的对数【教学目标】掌握积、商、幂的对数运算法则并会进行有关运算．培养学生的观察预测归纳等逻辑认知能力．．培养教师勇于发现、勇于探求、勇于创新的精神培养合作交流等良好质量．【教学重点】积、商、幂的对数运算法则的应用．【教学难点】积、商、幂的对数运算法则的计算．【教学方式】本节教学运用引导发现式教学方式并充分运用多媒体辅助教学表现“教师为主导、学生为主体”的课堂方法．通过学生在课堂过程中的点拨启发使教师主动思考．通过分组合作的课堂方法使教师在合作中幸福学习,培养教师的团结协作能力和集体主义情操．通过设定三组“低台阶小坡度”的练习满足各层次学生的学习意愿使得培养学员的计算能力和学习英语的兴趣．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入．指数式与对数式的关系：若指数式ab＝N则logaN＝b．．指数幂的运算法则()am(an＝am＋n()(am)n＝amn()(ab)m＝ambm．师：以前我们学习过数的加、减、乘、除、乘方、开方数的加减乘除乘方开方都有自己的运算规律和运算法则如此我们刚学习的对数运算有哪个样的运算法则呢？学生在校长的鼓励下确立学生强调的弊端后学生抢答．通过教师抢答使全体师生解读有关旧知识为对数性质的推论铺平道路．在研究积、商、幂的对数过程中主要采用指数式与对数式的互相转化因此在复习中要加强这一知识点．新课新课新课探究已知logaMlogaN(MN＞)求logaMN．解设logaM＝plogaN＝q根据对数的定义可得M＝apN＝aq因为MN＝apaq＝ap＋q所以loga(MN)＝p＋q＝logaM＋logaN．探究已知NN…Nk都是多于的数loga(NN…Nk)等于什么？结论：loga(NN…Nk)＝logaN＋logaN＋…＋logaNk．探究已知logaMlogaN(MN＞)．求loga解设logaM＝plogaN＝q．按照对数的定义可得M＝apN＝aq．因为其实loga＝p－q＝logaM－logaN．探究已知logaM(M＞)求logaMb．解设logaM＝p由对数的定义可得M＝ap．因为Mb＝(ap)b＝abp所以logaMb＝bp＝blogaM．即logaMb＝blogaM．结论：()logaMN＝logaM＋logaN．(M＞N＞)引申：loga(NN…Nk)＝logaN＋logaN＋…＋logaNk．(N＞N＞…Nk＞)正因数积的对数等于各乘数对数的和．()loga(M＞N＞)两个负数商的对数等于被除数的对数乘以乘数的对数．()logaMb＝blogaM．(M＞N＞)实数幂的对数等于幂的指数除以幂的底数的对数．例用logaxlogaylogaz表示以下各式：()loga()loga(xy)()loga()loga解()loga＝logax＋logay－logaz()loga(xy)＝logax＋logay＝logax＋logay()loga＝loga－(logay＋logaz)＝()loga＝logax＋logay＝logax＋练习请用lgxlgylgzlg(x＋y)lg(x－y)表示以下各式：()lg(xyz)()lg(x＋y)z()lg(x－y)()lg例计算：lg解lg＝log(×)＝log＋log＝log＋log＝＋＝．练习计算()log(×)()lg()log－log()lg＋lg．教师强调研究问题学生通过小组探讨归纳探究问题的答案．在师生研究后校长给出难题的解答过程．学生解答分组合作．教师巡视并予以指导．学生借助讨论后老师给出解答过程．教师鼓励学员对研究问题做总结并说出结论学生在小结的过程中理解、记忆推导．学生解答教师对学员的解答给予评判．教师用投影仪显示训练对照对数的运算法则要求学员分组合作并抢答．学生解答对难题、要求小组合作解决．教师点评突出本节知识点突出运算法则．小组探讨的过程是一个团结协作的过程培养教师的队伍精神和团结合作能力．板书结论有促使教师比较记忆．明确各个别的名称通过提出各个别的名称使学生正确理解推导．通过训练让学生理解对数的运算法则．并会熟练应用．培养教师的竞争意识勇于显示自己．小结．logaMN＝logaM＋logaN．loga．logaMb＝blogaM师生共同回顾本节主要内容加深理解、牢记运算律．简单明了概括本节课的重要知识学生容易理解记忆．作业必答题：教材P练习B组第、题选答题：教材P练习B组第题．对于教师实际对课后书面作业推进分层设置．换底公式与自然对数【教学目标】掌握换底公式了解自然对数能运用换底公式求对数值．培养学生的逻辑认知能力和应用素养．．培养教师勇于发现、勇于探求、勇于创新的精神培养合作交流等良好质量．【教学重点】换底公式．【教学难点】利用换底公式求值、化简及证明．【教学方式】本节引入启发引导式教学并运用多媒体以反映“教师为主导学生为主体”的教学方法．通过一个特殊事例导出课题．对于本节课的特征教师应多鼓励多启发与学生之间进行适度交流和探讨在应用换底公式时可设置不同层次的题目让各层次同学都能把握公式能够培养教师学习英语的兴趣和利用公式的素养．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入在物理科学中经常要探究某种细胞的分裂问题：某种细胞第次分裂个分裂为个第二次分裂个分裂为个……问经过多少次分裂个这种的细胞分裂的总量为个？将对数式转换为指数式：＝x．两边取常用对数得lg＝lgx．即lg＝xlgx＝＝教师通过课件展示回顾节的引入案例并强调问题．师：该难题也就是即使知道最后分裂得到的细胞y＝个我们能够求出分裂的次数x？生：logy＝x．师：像log这样的对数值是不能直接从常用对数表中查出也不能用计算器求出的．怎么办？学生研究问题的缓解方法．师：我们可以运用计算器求常用对数的值如此才能将所求以为底的对数换成以为底的常用对数？师：如何换底？学生分组讨论思考求x的想法找出解决难题的方式．教师在师生研究的基础上给出难题的解答过程．通过对数的应用实例提出新的难题激发学生好奇心改善教师学习兴趣．提出和本节课密切相关的弊端让学员思考充分发挥学习小组的作用展开热烈的探讨．特殊事例的推论为学习后面的换底公式打好基础．新课新课一、对数的换底公式通常地有以下的公式logbN＝注意()成立前提：b＞且b≠a＞且a≠．()公式应用：对数换底公式的作用在于“换底”这是对数恒等变形中常见的工具．一般换成以为底．二、自然对数在科学科技中经常使用以无理数e＝…为底的对数以e为底的对数叫做自然对数记作：lnN．探究．利用换底公式如何得到自然对数和常用对数的关系？．利用计算器直接推导：ln≈．练习将以下对数换成以为底的常用对数．logln．练习求以下各种的值elnxlne．练习求值：log(loglog(log．练习化简：log(log．练习求证：logxy(logyz＝logxz．教师板书课题．教师指出使用换底公式要留意的两个难题使学生对两项注意有深刻了解．教师直接给出自然对数定义注意e是一个常数是一个无理数．师：换底公式的第一次应用换成以为底．lnN＝教师指导学员使用计算器求解．练习、学生独立完成老师巡视指导．练习、、有一定难度还要小组合作完成学生巡视指导．换底公式的证明不做课堂要求校长可对于教师的状况取舍．使学生对换底公式的底数有清醒的了解即小于零且不等于．使学生认识自然对数与常用对数的关系阐明数学常识的普遍联系．将例题直接转换为练习同时降低同类练习由学员自己找寻解题方式让学生感到自己是最棒的．小结．换底公式：logbN＝．自然对数：lnN教师总结本节内容之一：换底公式要理解计算过程掌握公式内容会用推导进行非常简洁的计算和化简．点明本节课的重点知识便于师生记忆．作业必答题：教材P练习A组第题练习B组第题．选答题：教材P练习B组第、题．面对教师实际对课后书面作业实施分层设置．对数函数【教学目标】掌握对数函数的概念图像和性质并会简单的应用．培养学生用数形结合的方式去缓解问题．重视培养学生的观察预测归纳等逻辑认知能力．培养教师发现、探索、创新的精神培养合作交流、独立构想等良好的个性品质．【教学重点】对数函数的图像、性质以及利用．【教学难点】对数函数图像和性质的看到过程培养数形结合的观念．【课时】课时．【教学方式】这节课主要运用启发式和鼓励发现式的教学方式结合对数函数的特征让学生动手做动脑想大胆猜以学生的探究为主体采取鼓励发现式的教学方式并充分运用多媒体辅助教学．这种既提高教师的参加意识又教给他们探讨问题的方式获得知识的方法使教师学有所思思有所得练有所获并且增加学习兴趣．通过学生在课堂过程中的点拨启发学员通过主动观察、主动思考、动手操作、自主研究来超过对常识的看到和接受．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入在指数变量的采用问题中尚未得出某些放射性物质的品质的初始值为它的剩留量与经过的年数的方程关系为y＝x(x≥)①其中x为自变量表示经过的年数y为对应的剩留量．按照①式画出函数图像求约经过多少年剩留量是以前的一半(结果保留一位有效数字)．解：经过的年数x＝log＝即经过年剩留量是以前的一半．师：根据①式给定一个x值(经过的年数)才能推导出唯一的变量值y．实际上在这个问题中了解的是y的值要求的是对应的x值．因此用对数方式表示即x＝logy．②学生解题．师：在②式中对应任一个“剩留量y”都可以求出唯一的“经过的年数x”．因此“经过的年数x”是“剩留量y”的变量．一般我们用x表示自变量用y表示因变量于是上述的函数关系可表示为y＝logx．提出与对数定义不同的疑问导致学员的学习好奇心．使教师初步展现对数函数是描绘现实世界的又一重要物理模型．新课新课新课一、对数概念通常地把方程y＝logax(a＞且a≠)叫对数导数其中x是自变量函数的定义域为(＋∞)．二、对数函数的图像和性质探索与探究：画出变量y＝logx与y＝log()列表(略)()描点(略)()连线(略)对数函数的图像特征：()图象在y轴的左侧()图像向上无限延展向下无限延伸()图像都经过点()()a＝时从左向右看图像慢慢上升a＝对数导数图象和性质a＞<a<图象定义域函数定点单调性例求以下变量的定义域(a＞且a≠)：()y＝logax()y＝loga(－x)．解()要使变量有含义应该x＞即x≠．因此方程y＝logax的定义域是{x|x≠}．()要使函数有含义应该－x＞即x＜．所以方程y＝loga(－x)的定义域是(－∞)．例利用对数函数的性质非常下列各组数中两个值的大小：()log与log()log与log．解()考查数组y＝logx它在区间(＋∞)上是增函数．由于＜所以log＜log．()考查对数导数y＝logx它在(＋∞)上是减函数．由于＜８所以log＞log．练习比较大小：lglg若lgm＜lgn则mn练习比较大小：loglog若logmlogn则mn．板书课题．教师鼓励学员联系上面“情景问题”的表达式请老师们探讨讨论对数函数的概念．师：()为什么要求a＞且a≠？()为什么对数函数的定义域是(＋∞)？学生探讨回答所强调的两个难题．将学生分为两组各作一个函数图像．师：画函数图像的三个方法是哪个？生：列表、描点、连线．师：列表时我们能够运用指数方程的详解式y＝x与y＝(来求对应点的变量值？学生探讨老师提出的难题并完成列表．师：描点之前我们要确立直角坐标系观察你所列表格如何构建直角坐标系？学生尝试回答老师点评后让学员成立直角坐标系并完成描点．教师巡视指导．师：描点后请老师们用平滑的曲线将点连出来．学生完成作图．教师展示课件中两个函数的图像．教师引导学生观察两个变量的图像分析推导图象的特点．教师引导学员总结归纳函数的性质完成左表．学生分组研究教师指出真数的取值范围．引导学生借助构造对数函数利用变量的单调性求解．教师在点评时还可以让学生用计算器验证也可以运用图像法求解．学生做练习、教师点评．让学员牢记底数大于零且不等于真数小于零．通过此问让学生进一步体会指数变量与对数函数的联系．学生自主画图提高探索问题的素养和认知品质在作图的过程中让学生体验成功的愉悦加深对图像的理性认识．培养教师观察能力．培养学员观察、分析、归纳的素养养成积极实践、科学研究的学习态度．掌握性质的基础上进行初步的应用．小结．对数函数的定义．．对数导数的图像与性质．师生一同评述本节主要内容加深理解对数函数的概念、图象和性质．简单明了概括本节课的重要知识．作业必答题：教材P练习A组第题选答题：教材P练习B组．对于教师实际对课后书面作业推进分层设置．指数、对数函数的应用【教学目标】能够利用指数变量、对数函数知识解决这些简单的实际应用问题．通过联系实际的采用问题和缓解带有实际含义的这些难题培养学生探讨问题解决疑问的素养和利用数学的观念也表现了指数变量、对数函数知识的应用价值．通过对实际问题的探究解决渗透了物理模型的观念提高教师学习英语的兴趣．【教学重点】通过指数、对数函数的应用培养学生探讨、解决难题的素养和利用物理的观念．【教学难点】根据实际问题制定相应的指数变量和对数函数建模．【教学方式】这节课主要运用问题解决法和分组合作的教学方式．在课堂过程中从学员身边的例子开始导致学员的兴趣感受所学常识的应用和重要性增强教师学习英语的兴趣培养教师预测问题和缓解问题的能力．通过本节内容让学生感受指数变量与对数函数是解决有关自然科学领域中实际问题的重要工具是未来进一步学习的基础．教师必须结合学生的专业特性增设有关试题突出数学为专业课服务的课堂理念．【教学过程】环节教学内容师生互动设计动机导入数学来自生活又应用于生活和制造实践．而实际问题中又阐发着丰富的物理常识数学观念与技巧．如今天学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用．现在我们就一出来讨论几个应用问题．教师强调本节要缓解的难题．鼓励教师从身边的、生活中的实际问题出发发现问题探讨怎样解决难题．新课新课新课一、人口统计问题例年我国人口数量是亿如果人口的自然年下降率控制在‰问哪一年我国人口数量将超亿元？解设x年后人口数量为亿由题意得×(＋)x＝．即(＋)x＝两边取对数得xlg＝lg－lg所以x＝所以年后即年我国人口数量将超过亿．问题解决后由学生简单总结一下解答过程中的主要方法：()阅读理解()创建目标变量()按规定解决数学难题．二、大气压问题例设在离海平面xm处的大气压强是ykPay与x的方程关系是y＝Cekx这里Ck都是常量．已知某地某天在海平面与m高空的大气压强分是kPa及kPa求m高空的大气压强又求大气压强是kPa处的高度(结果都保留位有效数字)．解已知y＝Cekx其中Ck是待定的系数．由已知条件当x＝时y＝当x＝时y＝得方程组由①得C＝代入②得ek·＝即k＝lnk＝－．所以k＝－×－．因此y与x的变量关系是y＝e－×－x．当x＝时得y＝e－×－×≈当y＝时得＝e－×－x．－×－x＝ln－×－x＝－但是x＝×因此在高m处大气压强为kPa在高m处大气压强为kPa．练习已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q(t)＝Qekt其中t为时间单位为分钟Q为细菌的次数．如果一开始的细菌数量为只而在分钟后变为只求一小时后细菌的数量．鼓励教师阅读题目找出关键语言关键数据在教师的鼓励下将实际问题通过预测概括抽象为英语问题．教师帮助学员理解题意探讨题目首先让学生清楚自然年下降率的意义问题可以转换为“已知年下降率为‰利用指数函数求经过几年我国人口数量将超亿元？”教师预测：这是数学方面内容首先要运用给出变量关系式依照已知条件确认参数Ck．本例题要求学员采取小组合作方式缓解．学生在老师鼓励下自己解答如有疑问先在小组内解决小组内解决不了的难题在全班内缓解．学生感受自然对数的应用．教师在学员解答完后选取有代表性的解答过程运用实物投影仪将所选解题过程进行投影教师进行点评．学生结合例题进行训练．体会用物理方式将其化为变量问题(或其他数学难题)并加以缓解的思路．让学生在运算中感受指数方程与对数导数的应用．对解答过程进行总结以使学员把握解决实际应用问题的三个方法．教材中的例专业性太强阅读难度较大故将例题替换为本例．要求学员解答教师巡视及时改正学生发生的难题．让学生在解答过程中感受数学模型的通常步骤．学生在解答过程中感受现代计算科技所带给的便捷．重视训练体会指数变量与对数函数在实际生活等方面的应用．小结指数变量、对数导数、幂函数在社会学、经济学和化学学等领域中有着广泛的应用．解决实际问题的方法：实际问题(读懂问题、抽象概括)→建立化学模型(推导、推理)→数学建模的解(还原说明)→实际问题的解．其中读懂问题是指读出新概念、新字母读出相关影响这是缓解问题的基础构建物理建模是指在写实、简化、明确变量和参数的基础上实行一个确立的数学关系这是缓解问题的关键．师生共同确立解决实际应用问题的方法．总结本节主要内容有便于学生学习怎么运用物理知识解决实际问题．作业必答题：教材P习题第题选答题：教材P习题第题．体现分层次教学让能力不同的学生在其原有基础上都有所演进．个个个个an幂指数(n(N＋)底数实数有理数无理数小数分数正实数零负整数正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂根式分数指数幂正整指数幂零指数幂负整指数幂整数指数幂分数指数幂有理指数幂实数指数幂（）可否运用的图像画出的图象？�EMBED*MERGEFORMAT����EMBED*MERGEFORMAT���y＝(�EQF(,)��)xxy－－－Oy＝xy＝xy(,)Oy＝xy(,)Ounknownunknownunknownunknownunknownunknownunknown