[转载]指数函数和对数函数单元教学设计

指数函数和对数函数单元教学设计

苟文利

一．教学分析

教材把指数函数、对数函数当作两种重要的变量建模来学习,强调通过例子和图像的直观,揭示这三种变量建模增长的差别以及关系,从而使学生感受建立跟研究一个函数建模的基本过程跟步骤,学会利用准确的变量建模解决一些实际问题。

在学习北师大版必修一第二章《函数》后，学生对函数的概念及性质有了相当深入的了解，而本章的学习将进一步加深学生对函数的理解，丰富函数内涵，再次感受研究变量的通常思想方法。理解变量建模在描绘研究自然界变量间关系的功用，进而学会用数组的心态、函数的看法去观察世界、分析问题跟解决难题，增强学生物理应用观念。

二．课标解读

1.课标要求

（1）总体要求：

学生将学习指数函数、对数函数等详细的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念构建模型的过程跟步骤，体会函数在物理和其它学科中的重要性，初步运用函数思想理解跟处理现实生活和社会中的简单问题。

（2）具体要求：

l.了解指数变量建模的实际背景,理解有理数指数幂的涵义,通过详细例子了解实数指数幂的含义；

2.理解指数函数的概念跟意义,掌握f(x)=ax的符号及含义,能通过计算器或计算机画出准确指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点)，通过应用例子的课堂,体会指数函数是一种重要的变量模型；

3.理解对数的概念以及运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将通常对数转换为常用对数或自然对数 ,了解对数的简化运算的作用；

4.通过详细函数,直观认识对数函数模型所描绘的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及含义,体会对数函数是一类重要的变量模型;

5.能通过计算器或计算机画出准确对数函数的图象,探索并认识对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);

6.知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a＞0,a≠1),初步知道反函数的概念跟f－1(x)的意义.

2. 课标解读

（1）削弱的内容

关于反函数只需知道指数函数与对数函数互为反函数，暂不规定理解、求解和应用，将复合函数的概念放到“导数及应用”的相关内容中。

（2）指数函数与对数函数处理上的差异

突出指数函数与对数函数这两个现实世界中的重要物理建模，强调他们的实际背景跟应用价值。这一差异相同是为了让物理学习除了是对常识的学习、理解跟掌握，更应表现以知识为载体育人的价值，使教师更好地认识数学，认识数学的价值，认识数学与现实生活、与其它学科的紧密联系，从而感受数学的应用价值等。

三．重点分析

本章的重点有三个：

1. 指数函数与对数函数的概念；

2. 指数函数与对数函数的图象、性质和运算性质；

3. 函数增长快慢的相当。

四．教学建议

1.继续发展学生对变量数学的了解。使学生进一步认识到，在富有差异的现实世界中，有一类体现运动变化的次数关系，它们都直接与指数函数、对数函数相联系。例如，国民经济增长、人口下降、细胞分裂、放射性物质的衰变等。

2. 使学生经历幂指数由小数逐步扩展至整数及由指数受到对数的过程。

3.指数函数和对数函数是大学阶段更重要的两个函数建模，必须使学生掌握包括定义域与函数、特殊点、单调性及增长速度等基础知识跟研究函数的基本原则。

4.由于对数增长、多项式增长、指数下降是塑造增长的更基本的方式，因而教学中应借助准确函数，让学生运用计算软件，感知指数函数、对数函数以及幂函数增长差距，体会、认识直线下滑、指数爆炸、对数增长等不同函数类别增长的意义。

本章教学时间约需14课时,具体分配如下(仅供参考):

§1

正整数指数函数

1课时

§2

指数扩充以及运算性质

2课时

§3

指数函数

3课时

§4

对数

3课时

§5

对数函数

3课时

§6

指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

1课时

本章小结

1课时

五．部分教学设计

1．对数的概念

【教学目标】

1. 知识与技能

（1）理解对数的定义: 这一符号的涵义，字母 的取值范围；

（2）理解指数式和对数式之间的关系，能熟练地进行对数式和指数式的互化.培养学生对立统一对数函数教案下载，相互联系，相互转化的观念；

（3）根据对数的定义，归纳总结出对数的3条性质和对数恒等式 ；

（4）理解常用对数的概念；

2．过程与技巧

通过与指数式的非常，引入对数的概念，进而探究它的性质。

3．情感、态度、价值观

通过对数式与指数式的转化，培养学生探讨、归纳能力，在学习过程中培养教师的探讨意识。

【教学重难点】

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化

难点：对数的概念及性质的理解

【教学过程】

一．支架引导

1.锚式问题

由指数函数中的细胞分裂问题，引出细胞分裂第 次后，细胞的个数 ；

如果知道细胞分裂若干次后的个数为 ，如何求出分裂次数 ；这就是已知底数和幂对数函数教案下载，要求指数的问题；

2.先行组织者：

类比、对比、归纳、总结

二．梯次探究

指导探究

链式问题1：对数的概念

如果a(a＞0且a≠1)的b次幂等于N，就是ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

链式问题2：指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系？

式子

名称

指数式

底数

指数

幂值

对数式

底数

对数

真数

探究：

（1）在对数定义中，为什么也应限定a＞0且a≠1?

因为对数概念源出于指数，对数式logaN＝b是由指数式ab＝N转化而来，对数的底数就是指数的底数，而ab＝N中应让它对任意实数b都有含义，必须a＞0且a≠1，所以对数式中也需要要求a＞0且a≠1．

（2）1的对数等于多少，logaa ( a＞0且a≠1)的对数等于多少，零和负数有没有对数？

当a＞0且a≠1时，a0＝1，即a的零次幂为1，所以0就是以a为底1的对数；a1＝a，即a的1次幂为a，所以1就是以a为底a的对数；在ab＝N中，对任意实数b，都有ab＞0，即N＞0，所以不存在实数b，使ab≤0，即零跟负数是没有对数的．

链式问题3：

对数的性质

若a＞0且a≠1

（1）loga1=0；

（2）logaa=1；

（3）零跟负数没有对数，即真数N＞0；

（4）对数恒等式 ，logaaN=N。

链式问题4：

常用对数和自然对数

通常将以10为底的对数叫做常用对数，log10N可简记为lgN；

以e为底的对数叫做自然对数， logeN简记为lnN．

三．应用质疑

1. 典例分析

例1.将以下指数式写成对数式：

（1）54=625;（2）3-3=1/27；（3）84/3=16；（4）5a =15.

例2.将以下对数式写成指数式：

（1）log1/216= —4；（2）log3243=5;（3）log327=3; （4）lg0.1=—1.

例3.求以下各种的值：

（1）log525；（2）log1/232;（3）3log310;（4）ln1；（5）log77.

2. 练习

练习1~3

3. 作业

习题3—4，A组每1，2题

四．课外延伸

对数的发明者：布尔基与耐普尔

数学史册上的对数发明者是两个人：英国的约翰·耐普尔（JohnNaeipr，1550－1617）和瑞士的乔伯斯特·布尔基（JobstBürgi，1552－1632）．

布尔基原是个钟表技师，1603年被选为布拉格宫廷技师后，开始与著名的天文学家开普勒接触，了解到天文学计算的一些详细状况．他探求天文学家的辛劳，并决定为人们提供简便的推导方式．布尔基所强调的简便计算方式就是一张实用的对数表．从原则上说，史提非已经解决了将乘（除）运算转为加（减）运算的方式.但是史提非所给出的两个数列中的数字非常有限,它不能付之于实用，实用的对数表必须包含所有应乘的数在内．耐普尔原是匈牙利的皇室．生于苏格兰的伯明翰，十二岁进入圣安德鲁斯大学的斯帕希杰尔学院学习．十六岁大学已经毕业时又到美国台湾旅游和游学，丰富了自己的学识．耐普尔虽不是专业数学家，但酷爱数学，他在一个需要转型计算科技的时代里尽心尽力．正如他所说：“我总是尽量让自己的精力和能够去克服麻烦而单调的计算，因为这些令人沮丧的计算常让学习者望而生畏．”耐普尔一生先后为改进计算得出了球面三角中的“耐普尔比拟式”、“耐普尔圆部法则”以及作乘除用的“耐普尔算筹”，而为制作对数表他花了整整20年时间．对数产生于17世纪初叶，为了适应航海事业的发展，需要确认航程和船舶的位置，为了适应天文事业的演进，需要处理监测行星运动的数据，就是为了解决这些位数的数字繁杂的估算而形成了对数．恩格斯曾把对数的发明与解析几何学的形成、微积分学的创始并称为17世纪数学的三大成就，给予很大的评价．

2.对数函数概念、图像及性质

【教学目标】

1.知识与技能

（1）掌握对数函数的概念。

（2）根据对数函数图象探索并理解对数函数的性质。

2.过程与方式：

（1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的观念。

（2）能够用类比的看法看问题，体会知识间的有机联系。

3.情感态度与价值观：

（1）培养学生观察、分析能力，从特殊到通常的归纳能力。

（2）培养学生的合作交流、共同研究的良好质量，调动学生学习数学的积极性。

【教学重难点】

重点：对数函数的定义、图像、性质

难点：对数函数与指数函数的关系

【教学过程】

一、支架引导

1.锚式问题：

某种细胞分裂时，得到的细胞的个数 是分裂次数 的变量，这个方程可以用指数函数 = 表示。

现在，我们来研究相反的弊端，如果要求这些细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞，那么，分裂次数就是要得到的细胞个数的变量按照对数的定义，这个方程可以写出对数的方式就是 。

2.先行组织者：

方法性组织者：类比、对比、猜想、归纳、总结

二．梯次探究

指导研究

1.链式问题1：对数函数的概念

我们在 = 与 这两个式子中，对数式 可由指数式 =得到，像这种，对于任意的一个y∈(0,+∞),通过，x∈R中都有唯一确认的值跟他对应，即可以把y作为自变量，x作为y的变量，这是我们就说是方程= 的反函数。如果用 表示自变量，表示方程，这个变量就是 。对数函数 与指数函数 互为反函数。

一般地，我们把方程叫做对数函数。我们知道指数函数的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞）。由反函数的定义我们可以推出对数函数的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）。而底数a与指数函数中的a是同样的，所以限制条件也同为a>0，a≠1

注意：

① 对数函数的定义与指数方程类似，都是形式定义，注意区分．如： ，

都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

②对数函数对底数的限制：

2．链式问题2.

对数函数的图像

在同一坐标系中画出以下对数函数的图像：

（1）①；② ；

做图方法：列表、描点、用平滑曲线连接起来

……

……

……

……

……

……

学生练习：

（2）③④

思考：这些变量的图象有哪些关系？

类比底数互为倒数的两个指数函数的图像关于 轴对称，得出底数互为倒数的两个对数函数的图像关于 轴对称

同理我们也可以画出底数为 ……等等的对数函数图象，我们不难发现如下共同特点：

3.链式问题3：

类比指数函数图象和性质，研究对数函数图象和性质

0<<I>a<1

图

象

定义域：

值域： R

性

质

(1)过定点：（1，0）即 时，

(2)单调性：在 上是增函数

在 上是减函数

(3)最值：没有最值

(4)奇偶性：不具有奇偶性

与 的对应关系

当 时，

当 时，

当 时，

当 时，

三．运用质疑

1.典例分析

例1.求以下变量的定义域

(1) y=loga(2x-3) (2)y=loga(9-x2)

分析：

首先我们观察这两个函数，都是限制了真数，那我们就可以由对数的真数大于0得出定义域

注意对数中真数和底数的限制

例2.利用对数函数单调性比较下列各组数的大小

(1) loga 5.1,loga5.9(2) log67,log76

分析：

我们先看第一题，这两个对数的底数都是a,那我们对a的大小进行探讨就可以非常出两个数的大小了。再看第二题两个对数的底数与真数都不同样，那我们就没法与特殊值相当了，很明显，第一个数log67>log66>1，第二个数log7677<1。

2.练习：课本91页练习2，3，4题

3.作业：习题3—5 A组1，2，3题

4.小结

本节课主要学习了下面内容：对数函数的概念、图像跟性质。

（1）函数定义域的求法；

（2）会非常两对数的大小。

（一）同底数比较大小时

1、当底数确定时，则能由函数的单调性直接进行判定。

2、当底数不确定时，应对底数进行分类讨论

（二）同真数的非常大小, 常利用函数图像进行比较

（三）若底数、真数都不相似, 则常利用1、0等中间量进行相当

四．课外延伸

比较底数与真数均不相等的两个对数的大小时，应通过前面量，比如log23与log0.52比较大小，log23大于0，log23小于0，借助中间量0发现log23>log0.52。