对数与对数函数教案

对数和对数函数 一、 对数与对数函数概念 知识点 1： 对数的定义 1、 定义： 如果) 10(≠>=aaNab且，那么数 b 就叫做以 a 为底的对数对数函数教案下载， 记作bNa= log（a 是底数， N 是真数， logaN 是对数式。） 由于 Nab=> 0故logaN 中 N 必须小于 0。 当 N 为零或负值时对数不存在。 2、 对数恒等式： 由 aNbNba==( )1log( )2 将（2） 代入（1） 得aNaNlog= 将（1） 带入（2） 得baablog= 3、 性质： ①负数和零没有对数； ②1 的对数是零；③底的对数为 1；④) 0, 1, 0(log>≠>=NaaNaNa且 4. 常用对数和自然对数 对数log(0,1)aN aa>≠的那个底数 (1) a=10 时， 叫做常用对数， 记作lg N (2) a=e 时， 叫做自然对数， 记作ln N，其中 e 为无理数对数函数教案下载， e≈2. 71828 知识点 2： 对数与指数的关系在关系式Nax=中， 已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运算， 如果已知 a 和 N， 求 x，就是对数运算， 两个式子实质相似而形式不同， 互为逆运算。

对数式与指数式的关系 式子 名称 a x N指数式 Nax= 底数 指数 幂 对数式 Nxalog= 底数 对数 真数 指数函数与对数函数的图像的关系： 对数函数xyalog=与指数函数xay =的图像关于直线xy =对称。 知识点 3： 对数的运算 ①()()logloglogaaaMNMNMNR=+∈+， ②()logloglogaaaMNMNMNR=∈+， ③()()logloganaNnNNR=∈+ ④()logloganaNnNNR=∈+1 知识点 4： 换底公式 对数换底公式： 称为常数对数的自然对数N称为…其中NNleNNlabbgencca10log)71828. 2(loglogloglog==== 由换底公式推出一些常见的结论： （1）1logloglog1log==ababbaba或（2） loglogamanbmnb= （3） loglogananbb=（4） logamnamn= 知识点 5、 对数函数的图象与性质 底数 0<a<1 a>1图像 性质 定义域(0, + ∞ ) 值域R 定点 (1, 0) 01010≤≥><<yxyx时，时， 01010≥≥<<<yxyx时，时， 在(0, +∞） 上是减函数 在(0, +∞） 上是增函数 补充性质： 1. 底数互为倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称。

2. 在第一象限按顺时针方向底数增大。 知识点 6、 反函数 对数函数xyalog=与指数函数xay =互为反函数。 函数)(xfy =的反函数记作：)(1xfy= 性质： （1） 函数与其反函数的图像关于直线 y＝ x 对称。 （2） 函数的定义域是其反函数的求导， 值域是其反函数的定义域。 （3） 点),(ba关于直线xy =对称的点为),(ab。 （4） 互为反函数的方程具有相等的单调性、 奇偶性。 求法： （1） 由)(xfy =解出 x ； （2） 把 x 与 y 的位置互换； （3） 写出解析式的定义域。 二、 经典例题题型 1： 对数的概念 例1、 对数式baa=)7 (log) 3(中， 求整数 a 的取值范围？ 总结： 要严格依照对数的定义解题， 注意应考虑全面) 0, 1, 0(>≠>xaa同时且。 例2、 函数>≤0+x=,log0),1()(2xxxfxf 求) 2(f的值？ 总结： 注意题目要求， 反复带入)(xf直至 x 满足规定后才会计算。

题型 2： 对数的运算 例3、 （1）245lg8lg344932lg21+（2）22) 2(lg20lg5lg8lg325lg+++（3）8 . 1lg10lg3lg2lg+总结： 灵活采用运算性质， 熟练掌握公式。 例4、 （1） 设的值？12求log,3lg,2lg5ba== （2） 已知45log,, 518,9log3618表示用baab== ？（3） 已知aaa3221log),0(94求>=的值？ 总结： 在计算中注意15lg2lg1loglog=+=及abba。 题型 3： 对数函数的定义域、 值域 例5、 求以下方程的定义域： （1）32log xy =（2）) 34 (5 .olog=xy（3）141log21=xxy（4）) 32lg(422+=xxxy 总结： 结合函数、 根式、 分式等相关性质求解， 一定注意应全面考虑。例 6、 （1） 已知函数) 10)(1(log)(≠>+=aaxxfa且的定义域和函数都是[0, 1] ,求 a 的值？（2） 求函数) 4(log22+=xy的值域？（3） 函 数xxfalog)(=在区间[aa 2 ,] 上的最大值与最小值之差为21， 求 a的值？ 总结： 对数函数的导数可以利用对数函数的单调性求解， 底数有字母时应讨论， 注意数形结合。

题型 4： 对数函数单调性 例 7、（1） 求函数xxf21log)(=的单调区间？（2） 函数) 53 (2log)(21+=axxxf在[-1, +∞） 上是减函数， 求 a 的取值范围？ 总结： 对数型函数的单调区间通常运用复合函数的单调性求解， 注意对数函数的定义域， 即应注意真数大于 0， 而二次函数在给定区间上的单调性利用对称轴与区间端点之间的位置求解。 例 8、（1） 比较大小3 . 02log, 3log,25 . 0===cbaπ（2） 已知cncmcbabalog,log,10==<<<<， 比较nm,的大小？ 总结： 底数相同的对数式可以运用单调性比较大小； 如果真数相同， 底数不同， 可以用换地公式化为底数相同， 再比较； 如果底数真数都不同可以通过 0, 1 来非常大小。 例 9、（1） 解不等式)1 (2log) 1(log2xx>+（2） 若132log<a， 则常数 a 的取值范围？ 总结： 根据单调性得出方程， 但是应注意真数部分都必须是小于 0 的。 题型 5： 奇偶性问题 例 10、（1） 画出函数xxfln)(=的图像（2）xaxxf+=1log)(2的图像关于原点对称， 求 a 的取值范围？（3） 已知11log)(2231+=xxxf， 若的值是？)则(, 2)(afaf= 总结： 判断函数奇偶性有图象法和定义法 题型 6： 反函数问题 例 11、 求以下变量的反函数（1）xy31log=（2）12 +=xy 例 12、 设函数) 1, 0)((log)(≠>+=aabxxfa的图像过(2, 1) , 其反函数的图象过点（2, 8）， 求ba +的值？ 总结： 求反函数的步骤： 求原函数的导数→把变量看成方程→解函数求出 x →交换yx,， 并注明定义域。

原函数的图像过),(ba， 那么反函数的图像必过),(ab。 题型 7： 综合运用 例 13、 已知函数).1 , 1(,11log)(2∈+=xxxxf （1） 判断)(xf的奇偶性； （2） 讨论)(xf的单调性并证明。 例 14、 求函数)23 (2log21xxy+=的单调区间和值域？ 例 15、 已知函数) 3lg()(2+=mxmxxf （1） 若)(xf定义域为 R， 求 m 的取值范围; （2） 若)(xf的值域为 R， 求 m 的取值范围。 总结： 对数函数的综合应用主要方式有： 对数函数的定义域、 值域、 奇偶性、 单调性、 解不等式等内容中的某几个问题综合在一起， 解决这类问题时必须留意设问之间的内在联系。 例 16、 已知函数) 1 , 0 (,11log1)(2∈+=xxxxxf， 求使关系式)31()(fxf>成立的常数 x 的取值范围？ 总结： 与变量有关的不等式问题通常都与变量的单调性、 奇偶性有关， 因而在解不等式之前通常先确认函数的单调性及奇偶性， 利用变量的单调性去掉函数符号 “ f ”。

加强训练： 1、 化简下列方程 （1）、()() 347log9110233214log3lg33log46log1323+++++（2）、的值。， 试求：533333lg2lg35lg2lgbaabba++++=+ 2、 函数) 1, 0(2) 1(log≠>+=aaxya的图象恒过定点（） 3、 比较下列各组中两个值的大小： ⑴6log, 7log76；⑵8 . 0log,log23π． （3）6log,7 . 0,67 . 067 . 0 4、 若函数) 10 (log)(<<=axxfa在区间[a， 2a] 上的最大值是最小值的 3 倍， 求 a 的值。5、 求以下方程的定义域、 值域、 单调区间 （1） 、()()xxy432log2=+（2） 、) 52(log22++=xxy （3） 、) 54(log231++=xxy 6、 若 a、 b 是方程 ()01lglg242=+xx的两个实根， 求 () () ababbalogloglg+的值 7、 函数log (1)ayx=(01)aa>≠且的反函数的图像经过点（1， 4）， 求 a 的值. 8、 已知函数 ( )()++=411log22xaaxxf， (1) 、 若定义域为 R， 求整数 a 的取值范围（2) 、 若值域为 R， 求整数 a 的取值范围。 9、 已知变量() aaxxy=221log在区间() 31 , ∞上是增函数， 求整数 a 的取值范围。