【每日一题】反函数的概念与操作设计（三）

打印版课题：§2。2。2 对数函数（三）教学目标： 知识与技能 理解指数函数与对数函数的依赖关系，了解反函数的概念，加深对变量的模型化思想的理解． 过程与技巧 通过作图，体会两种变量的单调性的优劣． 情感、态度、价值观 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一．教学重点： 重点 难两种变量的内在联系对数函数教案下载，反函数的概念． 难点 反函数的概念．教学程序与环节设计：创设情境由方程的见解分析解法，引出反函数的概念．组织研究两种变量的内在联系，图象关系．尝试训练简单的反导数问题，单调性问题．巩固反思 作业回馈从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对 数变量的定义、图象、性质作一总结．简单的反导数问题，单调性问题．课外活动互为反函数的方程图象的关系．大学物理打印版教学过程与操作设计： 环节呈现教学材料材料一：师生互动设计 生：独立构想完成，讨 论展示并预测自己的 结果．当生物死亡后，它机体内原有的碳 14 会按确定 师：引导学员分析归的规律衰减，大约每经过 5730 年衰减为原本的一半对数函数教案下载， 纳，总结概括得出结这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了 论：生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系．回 答下列问题：（1）求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的浓度 P，并用函数的见解来解释 P 和 t 之间的关系，指出（1）P 和 t 之间的对应 关系是一一对应； （2）P 关于 t 是指数函数 P (5730 1 ) x ； 2是我们所学过的什么函数？t 关于 P 是对数函数创（2）已知一生物体内碳 14 的残留量为 P，试求t log x ，它们的 1 57302该生物死亡的年数 t，并用函数的观点来解释 P 和 t 底数相同，所表述的都设 之间的关系，指出是我们所学过的什么函数？ （3）这两个函数有哪些特殊的关系？是碳 14 的衰变过程中， 碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系；情（4）用映射的看法来解释 P 和 t 之间的对应关 （3）本问题中的同底系是什么对应关系？数的指数函数和对数（5）由此你可获取怎样的启示？ 境函数，是表述同一种关 系（碳 14 含量 P 与死 亡年数 t 之间的对应关系）的不同数学建模．材料二：由对数函数的定义可知，对数函数 y log 2 x 是把指数函数 y 2x 中的自变量与因函数对调位置 而得出的，在列表画 y log 2 x 的图象时，也是把 指数函数 y 2x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对 换，而得到对数函数 y log 2 x 的对应值表，如下：表一 y 2x ．环节呈现教学材料师生互动设计大学物理打印版x … -3 -2 y…1 184-1 0 1 2 3 …1 2 1 2 4 8…生：仿照材料一分析：y 2x 与 y log 2 x的关系．表二 y log 2 x ．x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …y…1 81 41 21 2 4 8…师：引导学员分析，讲 评得出结论，进而引发 反函数的概念．组织 探究在同一坐标系中，用描点法画出图像．材料一：反函数的概念： 当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的 因变量成为一个新的方程的自变量，而把这个方程 的自变量作为新的方程的因函数，我们称这两个函 数互为反函数． 由反函数的概念可知，同底数的指数函数和对 数变量互为反函数．师：说明： （1）互为反函数的两 个变量是定义域、值域 相互交换，对应法则互 逆的两个函数； （2）由反函数的概念 可知“单调函数必定有 反函数”； （3）互为反函数的两 个变量是表述同一变 化过程中两个变量关 系的不同数学模型．材料二：以 y 2x 与 y log 2 x 为例研究互为反函数的两个函数的图像跟性质有哪些特殊的联 系？师：引导学员探索研究 材料二．尝试 练习巩固 反思求以下方程的反函数：（1） y 3x ；（2） y log 6 x从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、图象、性质作一总结．生：分组讨论材料二， 选出代表详述各自的 结论，师生一同评述归 纳．生：独立完成．作业 反馈1． 求以下方程的反函数：x1234y3579环节呈现教学材料x1234y3579师生互动设计 答案：高中语文打印版课外 活动2．（1）试着举几个满足“对定义域内任意常数 1．互换 x 、 y 的数值．a、b，都有 f (a·b) = f ( a ) + f ( b ) ．”的变量示例， 2．略．你可写出这种函数带有这些共同性质吗？（2）试着举几个满足“对定义域内任意常数 a、b，都有 f (a + b) = f ( a )·f ( b ) ．”的变量示例，你可写出这种函数带有什么共同性质吗？我们了解，指数函数 y a x (a 0 ，且 a 1) 与对数函数 y log a x(a 0 ，且 a 1) 互为反函数，那么，它们的图象有哪些关系呢？运用所学的物理常识，探索下面几个问题，亲自看到其中的奥秘吧！问题 1 在同一平面直角坐标系中，画出指数函数 y 2x 及其反函数 y log 2 x 的图象，你可看到这两个函数的图像有哪些特殊的对称性吗？问题 2 取 y 2x 图象上的几个点，说出他们 关于直线 y x 的对称点的坐标，并推断他们能否 在 y log 2 x 的图象上，为什么？问题 3 如果 P0（x0，y0）在方程 y 2x 的图 象上，那么 P0 关于直线 y x 的对称点在方程结论： 互为反函数的两个函数的图像关于直线 y x 对称．y log 2 x 的图象上吗，为什么？问题 4 由上述研究过程可以受到哪些结论？问题 5 上述推论对于指数函数 y a x(a 0 ， 且 a 1) 及 其 反 函 数y log a x(a 0 ，且 a 1) 也成立吗？为什么？高中数学