对数函数教案_数学_高中教育_教育专区

对数函数·教案教学目标 1．使学生把握对数函数的定义，会画对数函数的图像，掌握对数函数的性 质． 2．通过非常、对照的方式，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质， 认识两个函数的内在联系，提高学生对函数思想方式的了解跟应用观念． 教学重点与难点 教学重点是对数函数的定义、图象及性质．利用指数变量图象及性质受到对 数变量的图像及性质． 教学过程设计 师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？ 生：若 ab=N，则数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaN=b．其中 a 为底数， N 是真数． 师：各个字母的取值范围呢？ 生：a＞0 巳 a≠1；N＞0；b∈R， 师：这个定义也为我们提供了指数式化对数式，对数式化指数式的方式．请 将 bp=M 化成对数式． 生：bp=M 化为对数式是 logbM=p． 师：请将 logca=q 化为指数式． 生：logca=q 化为指数式是 cq=a． 师；什么是指数函数？它有什么性质？ （生回答指数函数定义及性质．） 师：今天这节课我们介绍一下新的方程——对数函数。 定义 函数 y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数． 说明以下两点： （1）对于底数 a，同样需要满足 a＞0 且 a≠1 的条件． （2）对数函数的定义域为 R+，值域为 R．2同指数函数一样，在学习了函数定义后来，我们要画函数的图像．应该怎样 画对数函数的图像呢？生：用描点法画图． 师：对．我们每学习一种新的方程都可以依据函数的解析式，列表、描点画 图．再考虑一下，我们还可以用哪个方法画出对数函数的图像呢？（描点法） 首先列举 x，y 值的对应表．因为对数函数的定义域为 x＞0，因此可取 x=1， 2，3，4，…，请计算对应的 y 值． 生：y=log21=0，y=log22=1，y=log23=1.59，y=log24=2． 师：我们在探讨对数函数值域时知 y∈R．由上面所说的 x 值计算x y=log2x…12 34…… -3 -2 -1 0 1 1.59 2 …x…12310…y=lgx… -1 -0.70 0 0.30 0.48 1…师：指数变量图象分 a＞1 和 0＜a＜1 两类，因此对数函数图象也分 a＞1 和 0＜a＜1 两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数方程性质来预测对数函 数的性质． 生：对数函数的图像都在 y 轴右侧，说明 x＞0．生：函数图象都过（1，0）点，说明 x=1 时，y=0． 师：对．这从直观上表现了对数式的真数大于 0 且 1 的对数是 0 的事实．请 继续预测． 生：当底数是 2 和 10 时，若 x＞1，则 y＞0，若 x＜1，则 y＜0 师：对．由此能归纳得到：当底数 a＞1 时，若 x＞1，则 y＞0；若 0＜x＜1，则 y＜0，反之亦然．当底数 0＜a＜1 时，看 x＞1，则 y＜0；若 0＜x＜1，则 y＞0， 反之亦然．这表现了真数的取值范围与对数的正负性之间的紧密联系．再再次分 析．2生：当底数 a＞1 时，对数函数在（0，+∞）上递增；当底数 0＜a＜1 时，对数函数在（0，+∞）上递减．师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表．名称指数函数对数函数解析式 定义域y=ax（a＞0，a≠1） （-∞，+∞）y=logax（a＞0，a≠1） （0，+∞）值域（0，+∞）（-∞，+∞）当 a＞1 时，当 a＞1 时，函数值变化情况当 0＜a＜1 时，当 0＜a＜1 时，单调性 图象当 a＞1 时，ax 是增函数； 当 a＞1 时，logax 是增函数； 当 0＜a＜1 时，ax 是减 当 0＜a＜1 时，logax 是减变量函数．y=ax 的图像与 y=logax 的图像关于直线 y=x 对称师：今天我们所应讲的有关概念就讲完了，现在我们借助例题进一步巩固理 解这些概念．例 2 求以下方程的定义域：生：（1）因为 x2＞0，所以 x≠0对数函数教案下载，即 y=logax2 的定义域是（-∞，0）∪（0， +∞）．生：（2）因为 4-x＞0，所以 x＜4，即 y=loga（4-x）的定义域是（-∞，4）．师：在这个方程的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此规定定义 域，既要真数大于 0，还要被开方数大于或等于 0，从而得到不等式组，这个不 等式组怎么解，问题出在 log0.5（3x-1）≥0 上，怎么办？2生：把 0 看作 log0.51，即 log0.5（3x-1）≥log0.51，因为 0＜0.5＜1，所以此 函数是减函数，所以3x-1≤1． 师：对．他是运用了对数函数的单调性．还有别的表述吗？ 生：因为底数 0＜0.5＜1，而 log0.5（3x-1）≥0，所以 3x-1≤1． 师：对．他是运用了对数函数的第三条性质，根据变量值的范围，判断了真 数的范围，因此即使解 0＜3x-1≤1，即可得出函数定义域．例 3 比较下列各组中两个数的大小： （1）log23 和 log23.5；（2）log0.71.6 和 log0.71.8． 师：请同学们观察这两组数中两个数的特点，想一想应怎样比较这两个数的 大小． 生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此能 根据变量 y=log2x 是增函数的性质来非常它们的大小． 师：对．针对（1）中两个数的底数都是 2，我们构造函数 y=log2x，利用这 个变量在（0，+∞）是单调递增的，通过非常真数的大小来决定对数的大小．请 一名老师写出解题过程． 生：（板书） 解：因为变量 y=log2x 在（0，+∞）上是增函数，又因 0＜3＜3.5，所以 log23＜log23.5． 师：好．请老师简答（2）中两个数的非常过程．并表明理由． 生：因为变量 y=log0.7x 在（0，+∞）上是减函数，又因 0＜1.6＜1.8，所以 log0.71.6＞log0.71.8． 师：对．上述方式仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的 底数相同时，我们构造对数函数．对于 a＞1 的对数函数在定义域内是增函数； 对于 0＜a＜1 的对数函数在定义域内是减函数．只要非常真数的大小，即可得到 函数值的大小．2例 4 比较下列各组中两个数的大小：（1）log0.34 和 log0.20.7；（2）log23 和 log32．师：这两组数都是对数，但他们的底数与真数都不相等，不易于利用对数函数的单调性比较两者的大小．请你们细细观察各组中两个数的特征，判断出他们的大小．生：在 log0.34 中，因为底数 0＜0.3＜1，且 4＞1，所以 log0.34＜0；在 log0.20.7 中，因为 0＜0.2＜1，且 0.7＜1，所以 log0.20.7＞0，故 log0.34＜log0.20.7．师：很好．根据对数函数性质，当底数 0＜a＜1 时，若 x＞1，则 y＜0；若 0＜x＜1，则 y＞0．由此可以判断这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而非常出两个数的大小，这是运用了“中间量法”．请非常第（2）组两个数的大小．生：在 log23 中，底数 2＞1，真数 3＞1，所以 log23＞0；在 log32 中，底数3＞1，真数 2＞1，所以 log32＞0，…师：根据对数性质能判定：log23 和 log32 都比零大．怎么办？生：因为 log23＞1，log32＜1，所以 log23＞log32．师：很好．这是按照对数函数的单调性得到的，事实上，log23＞log22=1，log32＜log33=1，这里利用了底数的对数为 1，即 log22=log33=1，从而判定出一个数小于 1，而另一个数大于 1，由此非常出两个数的大小．请同学们口答下列问题：练习 1 求以下方程的反函数：（1）y=3x（x∈R）；（2）y=0.7x（x∈R）；（3）y=log5x（x＞0）；（4）y=log0.6x（x＞0）．生：y=3x（x∈R）的反函数是 y=log3x（x＞0）． 生：y=0.7x（x∈R）的反函数是 y=log0.7x（x＞0）． 生：y=log5x（x＞0）的反函数是 y=5x（x∈R）． 生：y=log0.6x（x＞0）的反函数是 y=0.6x（x∈R）． 练习 2 指出以下各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并简 述原因．2生：在 log50.1 中，因为 5＞1，0.1＜1，所以 log50.1＜0． 生：在 log27 中，因为 2＞1，7＞1，所以 log27＞0．生：在 log0.60.1 中，因为 0.6＜1，0.1＜1，所以 log0.60.1＞0． 生：在 log0.43 中，因为 0.4＜1，3＞1，所以 log0.43＜0． 练习 3 用“＜”号连接以下各数： 0.32，log20.3，20.3． 生：由指数变量性质可知 0＜0.32＜1，20.3＞1，由对数函数性质可知 log20. 3＜0，所以 log20.3＜0.32＜20.3． 师：现在我们将这节课的内容总结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、 图象及性质，请同学提问对数函数的定义及性质． 生：（复述）…… 师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而探求 了指数函数与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图像及性质，都可以利 用指数函数的图像及性质得到．对于对数函数的性质，可以运用对数函数图象记 忆，也可以对照指数函数的性质记忆． 对于变量的定义域，除了原本规定的分母不能为 0 及偶次根式中被开方法大 于或等于 0 以外，还要规定对数式中真数大于零，底数大于零且不等于 1．如果 函数中同时发生几种情况，就要全部考量进去，求他们一同作用的结果． 例 3、例 4 都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较 两个数大小的典型事例． 作业：课本 P94 练习第 1，2，3 题． 师：作业题 1 是作图题，画法有两种，可任选其中一种画法．然后由所画出 的五个函数图像进行对比分析，思考两个或两个以上对数函数图象的特点，下节 课我们一同探讨． （答案： （1）底数是互为倒数的两个对数函数的图像关于 x 轴对称．2（2）当底数 a＞1 时，底数越大的越接近 x 轴；当底数 0＜a＜1 时，底数越小的越接近 x 轴．）补充题1．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log30.7 和 log0.20.5；（2）log0.64 和 log7.11.2；（3）log0.50.6 和 log0.60.5；（4）log25 和 log34．1．（1）＜；（2）＜；（3）＜，提示：两个数与 1 比较；（4）＞，提示： 两个数与 2 比较．）2．（选作）已知变量 f（x）=log2（kx2-2x+k）的定义域是一切正整数，求 k 的取值范围．课堂教学设计说明 1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授 对数函数的定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既能阐述指数 函数与对数函数之间的内在联系．又可以旧带新，便于学生记忆掌握． 2．为了加强课堂强度对数函数教案下载，提高 45 分钟课堂强度，可选用投影仪或电脑等现代 化教学方法，充分利用时间，但不能用它替代学生的认知过程，要使学生有动脑、 动口、动手的机会，突出学生参加过程． 3．要知道自己学生的程度，根据不同层次的教学对象拟定教学方案，选择 不同程度的题型和试卷，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．2