【八年级数学几何培优竞赛专题】专题11 勾股定理的应用（含答

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专题11 勾股定理的应用

知识解读

无论是解决实际问题勾股定理的应用答案，还是解决一些数学问题，勾股定理都有着广泛的应用。

培优学案

典列示范

一、在数轴上作出表示的点

福州）如图，直线，点a1坐标为（1，0），过点a1作x的垂线交直线于点b1，以原点o为圆心，ob1长为半径画弧交x轴于点a2。 3、端线从 a 点向 o 点量3米得 k 点以 k 点为圆心以5米为半径在 a 点的两侧画弧再以 a 点为圆心以4米为半径分别在 a 点的两侧画弧与前两弧相交画直线连接两交点并向两侧延长4.5米分别得 a1、a2点线段 a1a2为排球场地得端线。 0 2 1 3 5 4 6 1.3.1 基本作图方法 直线段的等分 将线段六等分 等分两线段间的距离 过直线端点作一射线 将该直线取相等的距离 用一条直线连接末端点和直线末端 过各点做直线的平行线，与直线相交 o b o1 e d a 1 4 2 3 正六边形的作法 正五边形的作法 多边行作法步骤 正五边形画法与正六边形作法 斜度的画法与锥度的画法 斜度和锥度的定义 画法操作 1.3.2 圆弧连接作图 圆弧连接两直线 画法举例 o r r b k2 k1 o r r r 两圆弧外切连接 两圆弧内切连接 连接圆的圆心距等于两圆半径之和 连接圆的圆心距等于两圆半径之差 r t1 t2 o r+r1 r+r2 r1 o1 o2 r2 r r2 o2 r1 o1 r-r1 r-r2 t2 t1 r o r 绘制过程演示 圆角连接 r r r r r 方法一 方法二 r r r2 r1 o1 o2 圆弧连接 re re r2 r1 o2 o1 re+r1 re o re+r2 re o2 o1 r2 r1 re-r2 re-r1 o 椭圆的画法 分别以椭圆的长短轴为半径画同心圆 将圆进行若干等分，并作连接圆心与圆的连线 分别作连线与圆周交点的垂直线（大圆）和水平线（小圆） 光滑连接垂直线与水平线交点 作中心轴线，并作长轴oa、ob短轴oc、od 在短轴上取点e，使oe oa 连接ac，作ce1 ce 作ae1垂直平分线，交长、短轴于o1、o2，同理得到o3、o4 分别以o2、o4为圆心，o2c为半径画圆弧 分别以o1、o3为圆心，o1a为半径画弧，即拼成近似椭圆，各段圆弧交于切点k、k1、n、n1 本章目录 总目录 。

A.2.5B.C.D.

【提示】这个点到原点的距离等于线段OB的长，OB是Rt△AOB的斜边，根据勾股定理可得OB的长勾股定理的应用答案，就是这个点表示的实数。

【技巧点评】 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴上较易找到它对应的点，若要在数轴上直接标出无理数对应的点较难.由此我们借助勾股定理，将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题。

第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；

第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点。

跟踪训练

1.如图3－11－2，以数轴的单位长线段和单位长线段的两倍为边作一个长方形，以数轴的原点为圆心、长方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）

A.B.2.2C.D.

二、在网格中作长度为无理数的线段

例2如图3－11－3，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形。

（1）使三角形的三边长分别为3，，；（在图①中画一个即可）

（2）使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图②中画一个即可）

【提示】（1）长度为3的线段很好作，主要考虑如何作出长度为，的线段和把三条线段组合成一个三角形。由于＝8＝22＋22，因此可以构造一个两直角边分别为2和2的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是.同理要构造一个长度为的线段，可构造一个直角边分别为2和1的直角三角形。

（2）确定三角形的底和高分别为1和8或2和4，然后设法使三角形称为钝角三角形。

【解答】

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