压轴题“一题精讲”(六):等腰三角形的存在性

等腰三角形的存在性问题是压轴题中常见的一种类型。问题解决的方法主要有以下两类：

1、寻找与目标等腰三角形(B)相似的已知等腰三角形(A)，其中这个等腰三角形(A)的三边中有某些别是已知的或某些角的三角比是确定的，对等腰三角形(A)进行分类讨论，以此简化运算。如2016年上海中考25题(2)问：

如2021年上海宝山期中24题(2)问：

2、直接对目标等腰三角形进行分类讨论，借助相似三角形、锐角三角比或勾股定理得途径助力问题解决。而此类问题的难度也相应增大。涉及的典型问题如下表：

022闵行一模25(3)

(1)本题的第一问是整道题的关键，帮助梳理出题目中所蕴含的两个基本图形，以及线段间的比例关系。由于图中有一个菱形和一个平行四边形，因此蕴含着丰富的线段平行的信息。如图(a)，由BE//CF，可以得到一组BE-CF-A型基本图形，并且BE是△ACF的中位线；如图(b)，由BE//CF，可以得到一组BE-CF-X型基本图形，并且CH=2BH等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，这些数量关系贯穿整道题，是问题解决的关键。

最后借助EF⊥BC的特殊位置关系，利用射影定理求出AE的长。

(2)本题的第二问的背景增加了圆的背景，其中第①问是建立函数关系，可以借助发现(构造)直角三角形，建立函数关系式。

第二种解法是联结OB后，得到了和(1)相似的A/X型基本图形，从而有效地建立了函数关系式。

(3)本题的第二问的背景增加了圆的背景，其中第②问是等腰三角形的存在性问题。由于是以DG为腰，因此需要分类讨论：当DG=EG时，联结OG后，通过证明OG是梯形的中位线，从而得到OG=OE，得到了y与x的另一层函数关系。

当DG=DE时，则可以充分利用圆的性质助力问题解决。解法1利用四点共圆。通过证明△DEG∽△CHF，得到△CHF为等腰三角形，从而得到CF=CH，解出AE的值。

解法2通过构造“筝形”形成解题思路。然后采用代数法，将DE、DG分别用不同的代数式表示等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，联立求解。此问题重点在于求DG的代数式，不妨将DG表示为DG=DC-CG。