奇数阶 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行式相等.(3)

课本：28页：例3，29页：例4 1 1 0 例：讨论当 k 为何值时 1 k 1 0 0 k 0 0 2 1 1 0 0 ?(?1) 1 k 1 0 解： 0 0 k 2 0 0 2 k 1 1 0 0 k ?1 1 0 k ?1 1 0 ? ? 0 k 0 0 k 2 0 2 0 0 2 k0 0 ?0 2 k0 2 k? (k ? 1)(k 2 ? 4)所以，当 k ? 1 且 k ? 2 且k ? ?2 时1 1 0 02 1 x x ... x x 3 2 1 x ... x x例：求证1 1 1 1 ... 1 11 k 0 04 3 20 1 k 20 0 ?0 2 k... ... ... ... ... ... .. n n ?1 n?2 n ? 3 ? ( ?1) n ?1 x n ? 2 ... 2 11 ... x x证： 11 1 1 ... 1 12 1 x x ... x x3 2 1 x ... x x4 3 2 1 ... x x... ... ... ... ... ... ..n n ? 1 ?(?1) n ? 2 ?(?1) n ? 3 ?(?1) ... 2 1?( ?1) ?( ?1)（提示：第2行乘以（-1）加到第一行，第3行乘以（-1） 加到第2行，…,第n行乘以（-1）加到第n-1行）0 0 0 ? 0 ... 0 11 1? x 0 0 ... 0 x1 1 1? x 0 ... 0 x1 1 1 1? x ... 0 x... ... ... ... ... ... ...?( ?1) ?( ?1) ?( ?1)1 1 1 1 ... 1? x x1 1 1 1 ... 1 11 1? x ? (?1)n ?11 1 1? x 0 ... 01 1 1 ... 0... ... ... ...1 1 1 1 ...1 1 1 1 ...?( ?1)0 0 ... 01 ? x ...... 1 ? x 1x 1? x ? (?1)n ?10 x 1? x 0 ... 00 0 x ... 0... ... ... ...0 0 0 0 ...0 0 0 0 ... 10 0 ... 01 ? x ...... 1 ? x? (?1) n ?1 x n ? 2题型：行列式按行（列）展开定理的应用（提高型） 分析：根据行列式按行（列）展开定理，可将n阶行列式 降到2阶行列式来直接计算，这样从理论上完全解决了 行列式的计算问题。

在实际计算中，有时会利用a11 ... k1 Ai1 ? k2 Ai 2 ? ? kn Ain ? k1 ... an1 a12 ... k2 ... an 2 ... a1n ... ... ... ... kn ...（i行）... ann将某些低阶行列式（代数余子式或余子式）的计算转化 为高阶行列式来计算。例：4阶行列式a1 0 0 b40 a2 b3 00 b2 a3 0b1 0 0 a4的值等于————解：法（1）由于本题零元素较多，可根据行（列）展开 定理按第1行展开有a2 b2 0 0 a2 b2 0 a2 b2 0 ? a1 b3 a3 0 ? b1 0 b3 a3 0 b3 a3 0 0 0 a4 b4 0 0 b4 0 0 a4 a2 b2 a2 b2 ? a1a4 ? b1b4 ? (a2 a3 ? b2b3 )(a1a4 ? b1b4 ) b3 a3 b3 a3法（2）用拉普拉斯定理求会更简单a1 00 b1例：已知四阶行列式 1 1 7 3 1 8 D4 ? ?2 1 4 5 1 2求?1 0 3 5A14 ? A24 ? A34 ? A44的值，其中Aij 为行列式D4 中元素 aij 的代数余子式分析：本题若直接计算4个余子式，计算较繁且 易出现差错，反过来用按行（列）展开定理，化为 一个四阶行列式的计算更简单。