奇数阶 一、行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行式相等.(2)

g2取代a11 g60取代a8 s5取代a12。

g2取代a11 g60取代a8 s5取代a12东方网记者了解到。

【 a11=a(1:2,1:2),a12=a(1:2,3:5),a21=a(3:4,1:2),a22=a(3:4,3:5)。

a12…………… . a1n 地窖之间连接路径（其中Ａij=1表示地窖i,j a23…………..a2n 之间是否有通路：通aij=1,不通aij==0）。

a n1 a n 2 ? a nn 同理可证将 D 按列展开的情形。例131?1 3 1 3 52 ?4 ?1 ?3 1 1 0 ?5 ?1 3 1 3 1 ?1 0 0?5 1 D? 2 0 1 ?5c1 ? ?? 2?c3 ? 11c4 ? c30 ?5511? ( ?1) 3? 3 ? 11 1 ? 1 ?5 ?5 0r2 ? r1511?6 2 0 ?5 ?5 0? ( ?1)1? 3?62?5 ?5??8 02 ?5? 40.定理 行列式任一行（列）的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即a i 1 A j 1 ? a i 2 A j 2 ? ? ? a in A jn ? 0 , i ? j .证 把行列式 D ? det( a ij ) 按第 j 行展开，有a11 ? ai1 a j 1 A j 1 ? ? ? a jn A jn ? ? a j1 ? a n1 ? ? a1 n ? ? a in ? , a jn ?? a nn把 a jk 换成 a ik ( k ? 1,?, n), 可得a11 ? ai1 a i 1 A j 1 ? ? ? a in A jn ? ? ai1 ? a n1 ? ? ? a1 n ? a in ? , a in ?第i 行 第 j行相同? a nn所以 当 i ? j 时,ai 1 A j1 ? ai 2 A j 2 ? ? ? ain A jn ? 0,(i ? j ).同理 a1i A1 j ? a2i A2 j ? ? ? ani Anj ? 0, (i ? j ).关于代数余子式的重要性质按行展开：? D ,当 i ? j , aik Ajk ? D? ij ? ? ? （a） 0 , 当 i ? j ; ? k ?1n按列展开：? D ,当 i ? j , aki Akj ? D? ij ? ? ? ? 0 ,当 i ? j; k ?1n(b)?1 ,当 i ? j， 其中 ? ij ? ? ? 0 ,当 i ? j .?3 ?5 3例３ 计算行列式 D ? 0 7 解 按第一行展开，得D ? ?3 ?1 0 7 2 ?5 0 0 7 2?1 0 7 2?30 ?1 7 7? 27.5 1例４ 计算行列式3 7?1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0D? 0 ?2 0 20 ?4 ?1 4 0 5 1解3 7?1 2 0 2 5 2 3 3 1 0 5 0D? 0 ?2 0 20 ?4 ?1 4 05 ? ?? 1?2? 53?1 20 ? 2 3 1 r2 ? ?? 2?r1 2 ? 2?5? 4 ?1 4 0 ? 4 ? 1 4 r3 ? r1 2 3 5 0 2 3 5?231?2 ? ?10 0 0? 7 2 ? ?10 ? ?? 2? 6 6 631?7 2 6? 20?? 42 ? 12? ? ?1080.说明：在计算数字行列式时，直接应用 展开式（a）或(b)并不一定简化计算， 因为把一个 n 级行列式的计算转换 成 n 个 n-1 级行列式的计算 并不减少计算量，只是在行列式中某一行 或某一列含有较多的零时，应用公式 （a）或(b)才有意义，但这两个公式 在理论上是重要的。