《13.3一次函数与一次方程、一次不等式》（第一课时）

《13.3 一次函数与一次方程、一次不等式》 （第一课时） 安徽省合肥市庐阳中学教 学 内 容陈光宇沪科版义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级上册第 13 章第 3 节 P47-P48 页。教 学 目 标1. 使学生领会一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的联系。 2. 引导学生经历探究一次函数与一元一次方程、 一元一次不等式之间的联系的过程， 体会数形结合、 分类、 类比、归纳等物理观念方法的利用，积累数学活动心得。通过自主研究、小组合作等活动，锻炼学生的 自学能力、归纳概括的素养，增强教师间的合作观念。 3. 通过对一次函数、一次方程与一元一次不等式内在关系的探讨，引导学生了解事物部分与整体的辩证统 一关系，培养学生用联系的看法看待数学难题的观念。 函数、方程、不等式都是人们刻画现实世界的重要物理建模。之前，学生即将从数的视角认 识一次方程和一次不等式，从形的视角认识了一次方程和数轴表示不等式的解集。而本节课通过 函数图像动态的差异跟点的对应来探究一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。 通过本节课的探讨，学生除了可加深对变量、方程（组） 、不等式的理解，而且可在函数的观点 下将两者统一起来，感受数学的统一美，加强知识间横向与纵向的融会贯通。

一次函数、一元一 次函数、一元一次不等式之间的关系属于事实性知识；学生在研究三个一次之间关系的过程中， 内容解读 需要在变量运动变化的看法下，经历运用分类、类比，数形结合的观念方法，归纳出解一次函数 和不等式的难题，其实是求函数的零点和非零点的弊端，这些思维策略可有效地帮助学员积累数 学活动心得，掌握学习方法，提高学习效率，因此，这些物理观念方法是元认知知识。 本节课将“三个一次”问题在函数的看法下来集中了解，这种用整体的看法处理难题的方 法为日后学习二次函数与一元二次方程的关系，以及高中二次函数、一元二次方程与一元二次不 等式的常识做好知识跟认知方式上的打算。 教学重点 探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间内在关系。 教学难点 对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的阐述。教 材 分 析学 情 分 析1．之前，学生即将会解一次方程和一次不等式，从形的视角认识了一次方程的图像跟在数轴上表示不等式 的解集，学生具备了接受这节课的常识基础。 2． 八年级学生的认知已逐渐从直观的形象思维为主向写实的逻辑思维过渡，而且具有一定的图像分析跟 信息搜集的素养。但是因为所学知识是零散的，数跟形没有形成有意识的联系，学生难以建立一次函数与 一次方程、一次不等式之间的联系，因此， “三个一次”之间的关系的阐述是本节课的难点。

如何营造问题， 引导学生用联系的看法进行研究，是突破瓶颈的关键。 通过以上预测，教学中将采取以下教学思路： 1．创设实际生活情境，鼓励教师多向探讨、多角度解决实际问题，引导学生初步感受一元一次不等式与一 元一次函数、一次函数是有联系的。 2．从学生未会的解一元一次方程和不等式出发，将同样表达式 kx+b(=0 和＜0)与 y=kx+b 进行非常，要求 学生画出变量 y=kx+b 的图像，引导学生观察图像中各个别点（被 X 轴分成的三部份）的纵坐标表示的数学 意义（y＞0，＝0，＜0） ，将图形与它的代数表示方式真正确立联系，并用语言分别概括起来，达到突破难 点。其过程以学生“自主研究”为主，教师鼓励为辅，设计的弊端从易到难，从简单到复杂，层层推进， 让学生在观察、分析，比较和交流合作中产生自己对物理常识的理解跟有效的学习方式。 3．设计了两组练习题。让学员通过自我解答、不同方法的对比来渗透识图能力的培育和数形结合的观念。 4．习题由易而难，在巩固的基础上有所提高，必做题和选做题的设定也使“不同的人在数学上受到不同的 发展” 。教 学 策 略 分 析教 具 安 排学员课堂自主研究材料、多媒体课件。

课 时 安 排这节内容安排两个课时，本节课是第一课时，主要借助研究活动领悟一次函数与一元一次方程、一次不 等式之间的联系。教学过程设计 问题与情景 复 习 旧 知、 学 前 热 身 小明的妈妈应邀来到上海投资， 在庐阳工业园投资 300 万元成本建成 一个小型家电制造厂家。建成交付后, 不考量材料费等其它原因，每年利润 75 万元。回答以下两个问题， 1:该厂家投产几年刚好收回成本？ 2: 该工厂从那一年后盈利开始达到 300 万元以上? 师生活动 师：从高中到目前我们学过 哪些解决难题的方式？ 生：小学的算术法跟高中学 过的等式、不等式。 师：怎样运用函数图像解决 上面的难题呢？ 设计动机 贴切的生活情景可以使大多数同 学想到解决难题的方式， 除了可促使学 生的求知欲， 也使教师初步感受一次方 程和一元一次不等式与一次函数是有 联系的，引入课题。活动一：探究一次函数与一元一次方 程之间的联系。 学生口答三个问题。 1．解方程 3x+6=0。 2．直线 y=3x+6 与 x 轴交点的坐标是 什么？ 3．讨论:图象与方程的解之间的关系。 合 作 交 流、 探 究 新 知 师：课前使你们打算了任意 的一次函数的图像，观察你 的图象，在图象中还有类似 的联系吗？ 学生举例说明。

师：将刚刚的探讨概括为一 般形式呢？ 归纳：一次函数 y=kx+b（k、 b 为系数，k≠0）与 x 轴交 4.不解方程：你可写出方程 3x+6=6 的 点的横坐标就是方程 kx+b=0 解吗？ 的解。 一元一次方程 kx+b=0 （k、b 为系数，k≠0）的解就是一 次函数 y=kx+b(k ? 0 )与 x 轴 交点的横坐标。引题分解难度， 给学生提供了探讨 的视角和方向。通过师生反复实践和学生鼓励， 学 生从“形”到“数” ，或者从“数”到 “形” ，自己研究一次函数的图像与一 元一次方程解的关系， 体验知识生成的 过程。增强认知密度，通过学生动手操作 5．合作交流（一） 你能够运用图像 师：请写出几个这样的一元 求出这些一元一次方程的解？ 一次方程和同伴进行交流。 强化和真正理解一次导数图象与函数 解的对应关系， 从而让学生产生自己对 数学常识的理解跟有效的学习方式。有中间反复的探讨成为基础，合作 对于一次函数，当 y 值 6.合作交流（二） 通过以上研究， 交流造成了相应的价值。 不同学生的思 你可总结一次方程与一元一次方程之 确定求其 x 的值时，就可看 考加深了全体老师对它们联系的理解， 间的联系吗？ 成是关于 x 的一元一次方程。

为不同的学生提供了展现的系统。 而一个具体的一元一次方 程，实际上是一次函数的 y 值确定， 求其自变量 x 的值。 7..练习(一)： 1．观察：-x+2=0 的解为 x-1=0 的解为 。，巩 固 这一回答， 主要是想使同学们说出 练 不同的模式， 感受新思维解决难题的有 习、 师： 解决这 2 题有什么方式？ 小 效性。 有效的学习过程不能单纯的依赖 试 2．函数 y=ax+b 的图像如图，则 模仿和记忆。 牛 方程 ax+b=0 的解为 。 刀活动二：探究一次函数与一元一次不 等式之间的联系 发 1 自主研究：观察一次函数 y＝3x＋6 展 的图象， 能 力、 拓 展 延 伸 2．如何从图像上找出不等式 3x+6＞0 的解集？ 师： （-2,0）的意义我们 通过几何画板的演示， 引导学员思 已经研究过。除此点之外， 考已经构建的内容，进行分类，渗透分 图象被分成了两部份。当图 类的数学观念。 象在 x 轴的上面时，点的坐 标有哪些共同特点？ 师几何画板同步演示。师：引导学员交流发现： 抓住知识的内在联系，引导学生用 不等式 3x+6＞0， 也就是函数 类比的学习方法， 通过观察变量图象来 值 y＞0。

不等式 3x+6＞0 的 重新认识不等式这个方程建模。 解集，就是 y＞0 时对应的 x 的取值范围。从图像上来看 就是在 x 轴上面的点对应的 横坐标的取值范围。3．如何从图像上找出不等式 3x+6＜0 的解集？请讲述确定解集的方式。 4．合作交流（三） 通过前面两个问题的探讨，你能发 现一次函数 y=kx+b（k、b 为系数， k≠0）与一元一次不等式 kx+b＞0 或 kx+b＜0（k、 b 为系数，k≠0）学生独立思考。类比 3x+6＞0 的思考方式一次函数教案格式， 让学生 自主探究，再次突显重点。有效的难题作为契机一次函数教案格式， 鼓励学生运 归纳： （学生先独立思考后， 用自己的语言进行叙述跟交流， 既规范 了学生的语言描述， 又训练了学员归纳 讨论交流，教师补充。 ） 概括的能力。的关系吗？ 通过学生口述解题方法加深对不 5.不解不等式，利用图象： 生边说边板书， 等式和函数图像定理方法的应用跟理 例题： 不解不等式， 利用图象: 求 不等式 ? 3x ? 6 ? 3 的解集 解。 出不等式-3x+6≥3 的解集。 （图象法） （1） 先画出 y=-3x+6 的图象。 （2）找到纵坐标是 3 的点。

（3） 观察 y ? 3 的图象部分 例 题 解 析、 应 用 新 知 对应的 x 的范围。 （4）得出不等式的解集。 教师完整规范板书过程 . 并指出解题格式。 师生共同总结解题方法。求不等式 kx＋b＞n （k、 6.通过以上研究，你可总结一次函 深入地理解一元一次不等式和对应 为实数， k ≠ 0 ）解集，先 b 数与一元一次不等式之间的联系吗？ 一次函数图像的关系。渗透学生从“特 观察 y=kx+b（k、 b 为常数， 殊”到“一般” 的物理观念，突破瓶颈。 k≠0）的图象 y=n 时点的横 坐标，很容易得到 y＞n 时， x 的 取 值 范 围 是 x＞m (或x ? m) 。 学生自我解答，自我展现。 问题由浅到深，由易至难。学生通 练习（二） 师给予培训和改正。 过自我解答、 不同方法的对比来渗透识 1．函数 y=－2.5x＋5 的图象如图 1。 图能力的培养和数形结合的观念。 －2.5x＋5>0 的解集为_________； －2.5x＋50 的解集为_______； ax＋b0 的解集是老师布置作业，学生课 能运用函数观点解决不等式问题， 选做 后完成。 教师对学有余力的学子启 题给教师留下思维发散的空间跟拓展 选答题： 发其它解法。

探索余地，让“不同的人在数学上受到 3．若不等式 kx+b>0 的解集是 x>-2， 则直线 y=kx+b 与 x 轴的交点坐标 是 。 不同的发展” 。4．应用题：习题 13.3 第 5 题。结束语:从形至数，从数到形。从形可以了解数的范围,从数可以了解形的特点，在这些抽象思维与形象 思维培养中感受数学的无穷乐趣，这就是我们这节课的主题。附 板书设计：一次方程与一元一次方程和一元一次不等式的关系 一元一次方程 一次函数 一元一次不等式 例题：利用图象 求： 不等式 ? 3x ? 6 ? 3 的解集 (1)先画出 y=-3x+6 的图像。 (2) 找到纵坐标是 3 的点。75x-300=0 3x+6=0 x=-2y=75x-300 y=3x+6 （-2,0）75x-300>300 3x+6>0 x>-2y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标就是方程 kx+b=0 的解。解不等式 kx+b＞0 或＜0（k、 b 常数，k≠0） (3) 观察 y ? 3 （y=3) 的图 就是求图象 x 轴上面（或下方）的点 对应的自变量取值范围。 3x+6=6 kx+b=n x=-0 x=m y=3x+6 （0,6） y=kx+b (m.n) 像部分对应的 x 的范围 (4) 得出不等式的解集。kx＋b＞n