海伦公式的推导_海伦公式的推导勾股_海伦公式推导过程 向量(3)

篇三：海伦公式几种证明方法

教学研究

已知三角形的三个边a、b、c求它的面积S,有公式S?p(p?a)(p?b)(p?c), 其中1

p?(a?b?c)。这就是大家所熟知的“海伦公式”,在中学几何课本上一般都有介紹。人们认为这

2个公式一定是海伦所首先发现,其实并不然。在一些有关数学史著作中,对此早有不同提法。海伦是古希腊的数学家,同时他还是一位优秀的测绘工程师及亚历山大学派的科学家,他对于物理学和机械学很有研究,发明了不少很有价值的机械和仪器。对于他的准确生活时代我们还不知道,大概在公元1-3世纪期间。

为何会出现海伦公式？由于当时数学的应用性得到了很大的发展，其突出的一点就是三角术的发展，三角术是由于人们想建立定量的天文学，以使用来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理而产生的。而在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a、b、c直接求出三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊的数学家阿基米德解决的，于是他得到了海伦公式。

而本文的重点归纳研究海伦公式几种证明方式，希望这些方法对其它有关解三角形问题有一定的启发作用。

一种方法是用解三角形基本的知识解决。

已知三角形的三边为a、b、c，设p?求证：三角形的面积S?证明：由正弦定理S?

2

1

(a?b?c)， 2

p(p?a)(p?b)(p?c).

1112absinC可得S2?a2b2sin2C?a2b（1?cos2C）， 244

a2?b2?c22(a2?b2?c2)2（?cosC?，从而有

2ab4a2b2

22

122（a2?b2?c2）122（a2?b2?c2）S?ab（1??ab?

44a2b24162

?

112

[4a2b2?（a2?b2?c2）]?[(2ab?a2?b2?c2）(2ab?a2?b2?c2）] 161611?[((a?b)2?c2）(c2?(a?b)2)]?(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b) 1616

?

(a?b?c)(a?b?c)(c?a?b)(c?a?b)

???2222

(a?b?c)(a?b?

c?2c)(c?a?b?2b)(c?a?b?2a)????

2222

教学研究

?p(p?c)(p?b)(p?a)

即三角形的面积S?

p(p?a)(p?b)(p?c).证毕。

另一种方法是用向量的知识解决。向量作为一种数学工具，在高中数学中起着重要的作用，所以用向量的知识去解决三角知识，也是一种很不错的方法。在选修教材1-2的P37例2就是一种体现。下面我们就借助教材来证明一下海伦公式。

证明：在三角形?ABC中，

设?,?,?,CB?||?a,CA?||?b,BA?||?c,C为向量,,的夹角，则

??,于是有

2212

. ?（????2?,a?b?a?b?c）

22

2

2

2

C

1 又因为S?|a||b|sinC，cosC?

212222

所以S?|a||b|sinC

4?

121

（1?）||2||2（1?cos2C）?||2||2

44B

A

A

1

?[||2||2?(?)2]

4

于是就有S?

将上述||?a,||?b,代入即上面的一种证明方法一样，下面就不在重复证明了。

在这里还要强调上面得到的S?

用向量表示，在向量深入学习后，就会1

|?|. 2

发现高中教材无形中就体现大学里的向量知识—外积，即

(a?b)?|a||b|?(a?b)，从而还有S?

2222

对于向量这个将几何和代数结合的数学工具，现在高中教学中正在不断重视它，希望这里的一个证明可以给大家提供一点关于向量工具的应用。