海伦公式的推导_海伦公式的推导勾股_海伦公式推导过程 向量(2)

的恒等式，容易证明下列三角恒等式：若∠A+∠B+∠C =180°那么

ABACBC

ta?ta+tan?tan+tan?tan=1，

222222

zz

C

图3

如图3,在△ABC中，内切圆⊙O的半径是r,则tan

ArCrBr

?, tan?,tan?,代入恒等式2x2z2y

ABACBCr2r2r2

tan?tan+tan?tan+tan?tan=1，得???1，两边同乘xyz，有等式

222222xyxzyz

r2(x?y?z)?xyz???①

又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x?

b?c?aa?c?b

，同理y?，22

z?

a?b?c11

。???②于是△ABC的面积S?(a?b?c)r=(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r 222

22

=(x?y?z)r，把①、②式代入，即得S?x?y?z)xyz

=

1

(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b) 4

三角形的面积和三边有如此优美和谐的关系，我们不禁会类比猜想，简单四边形的面积和它的四条边又是什么关系呢？由于三角形内接于圆，所以猜想海伦公式的推广为：在任意内接与圆的四边形ABCD中，设四条边长分别为a,b,c,d，且p?

a?b?c?d

,则S四边形=p?a)(p?b)(p?c)(p?d)

2

现根据猜想进行证明。

证明：如图，延长DA，CB交于点E。设EA = e EB = f

○○

∵∠1+∠2 =180 ∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3 ∴△EAB～△ECD

fbb2eS?EAB = ∴ == ，22a?edf?cd?bS四边形ABCD

b(ab?cd)b(ad?bc)d2?b2解得： e = ③ f = ④由于S四边形ABCD =S△EAB

d2?b2d2?b2b2

b(d2?b2)

将③，④跟b =代入海伦公式公式变形，得： 22

d?bd2?b2

∴S四边形ABCD =

4b2d2?b2

2

=4bd?b

2

=4b

2

2

4e2b2?(e2?b2?f2)2

b4(ab?cd)2(d2?b2)2b2(ab?cd)2b2(d2?b2)2b2(ad?bc)224?[(??)]224222222222

(d?b)(d?b)(d?b)(d?b)b42222222222

4(ab?cd)(d?b)?[(ab?cd)?(d?b)?(ad?bc)]224

(d?b)

??

1224(d?b)=

1

224(d?b)=

1

224(d?b)=

1

224(d?b)=1=4

4(ab?cd)2(d2?b2)2?[{ab?cd}2?{d2?b2}2?{ad?bc}2]2

4(ab?cd)2(d2?b2)2?(a2b2?c2d2?d4?b4?2d2b2?a2d2?b2c2)

4(ab?cd)2(d2?b2)2?[b2(a2?b2?d2?c2)?d2(d2?b2?a2?c2)

(d2?b2)2[4(ab?cd)2?(c2?d2?b2?a2)2]

(2ab?2cd?c2?d2?b2?a2)(2ab?2cd?d2?b2?a2?c2)

1

a?c)2?(b?d)2][(b?d)2?(a?c)2]=4

1

a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a)4=

=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d) 所以，海伦公式的推广得证。海伦公式的推导

图4

参考文献

［1］ 七市高中选修教材编写委员会．数学问题探究[M]．北京：生活·读书·新知三联书店，2003：14～

２６．

［2］ 王林全．初等几何研究教程[M]．广州：暨南大学出版社，１９９６．