海伦公式的推导_海伦公式的推导勾股_海伦公式推导过程 向量

海伦公式的推导

篇一：海伦公式及其证明方法

海伦公式及其证明方法

海伦公式：

1??=，其中??= ??+??+??

如图

在△ABC中，过A作高AD交BC于D 设BD = x，那么DC = a-x

由于AD是△ABD、△ACD的公共边

?2=??2???2=??2? ????? 2

解出x得

??2???2+??2

??= 于是

2???2+??2???= ??2? 2

△ABC的面积

2???2+??211????=???=??? ??2?2

即

122??2+??2???2??= ?????令

1??= ??+??+?? 对被开方数分解因式，并整理得到

??=得证 2

篇二：海伦公式的几种证明与推广

海伦公式的几种证明与推广

高中数学必修⑤第一章在阅读与思考栏目向学生介绍一个非常重要且优美的公式——海伦公式〔Heron's Formula〕：假设有一个三角形，边长分别为a,b,c,，三角形的面积S可由以下公式求得：

s?p?a)(p?b)(p?c)，而公式里的p?

1

(a?b?c)，称为半周长。 2

图1

C

海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=

p(p?a)(p?b)(p?c)

11a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)=a?b)2?c2][c2?(a?b)2] 4411

=(a2?b2?c2?2ab)[?(a2?b2?c2?2ab)]=4a2b2?(a2?b2?c2)2 441

=2a2b2?2a2c2?2b2c2?a4?b4?c4 4

1

教课书中并以习题形式出现，给出的参考答案是利用三角形面积计算公式s?absinC和余弦定理

2

=

111a2?b2?c222

c?a?b?2abcosC的证明过程：s?absinC=ab?cosnC=ab1?()

2222ab

2

2

2

下略。我国南宋著名数学家秦九韶也发现了与海伦公式等价的“三斜求积”公式，中国古代的天元术发展

水平非常高，笔者猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，因此海伦公式可以作如下推证，从三角形最基本的面积公式S?ABC?

1

aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。 2

如图2，

B

图2

C

?x2?y2?c2?2a2?c2?b222

在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，

2a?y?z?a

?

a2?b2?c2a2?c2?b221222z?，x?c?y?c?()?4a2c2?(a2?c2?b2)2下略。在求

2a2a2a

高的方法上，我们也可以用斯特瓦尔特定理，根据斯氏定理，△ABC顶点A于对边BC上任一点D间的距离AD有下列等式确定：AB?DC?AC?BD?AD?BC?BD?DC?BC，等式改写为

2

2

2

AD2?AB2?

DD

?AC2??BC2?? BCBCBCBC

BDABcosBa2?c2?b2

??2而当点D是顶点A的正射影时,有，利用比例的性质，变形得22

DCACcosCa?b?cBDa2?c2?b2DCa2?b2?c2

??，，代入即求出高AD。推证海伦公式也可以考虑应用三角函数22BCBC2a2a