有效数字运算规则乘法_计算机算数运算乘法_按有效数字的运算规则

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本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。

具体地说，有效数字是指在分析工作中实际能够测量到的数字。能够测量到的是包括最后一位估计的，不确定的数字。 我们把通过直读获得的准确数字叫做可靠数字；把通过估读得到的那部分数字叫做存疑数字。把测量结果中能够反映被测量大小的带有一位存疑数字的全部数字叫有效数字。如图中测得物体的长度5.15cm。数据记录时，我们记录的数据和实验结果真值一致的数据位便是有效数字。

另外在数学中，有效数字是指在一个数中，从该数的第一个非零数字起，直到末尾数字止的数字称为有效数字，如0.618的有效数字有三个，分别是6,1,8。

有效数字是在整个计算过程中大致维持重要性的近似规则。 更复杂的科学规则被称为不确定性的传播。

数字往往是四舍五入，以避免报告微不足道的数字。 例如，如果秤仅测量到最接近的克，读数为12.345公斤（有五个有效数字），则会产生12.34500公斤（有七个有效数字）的测量误差。 数字也可以简单化，而不是指示给定的测量精度，例如，使它们在新闻广播中更快地发音。[1]

中文名

有效数字

外文名

Significant figures

测量定义

分析工作中实际能够测量到的数字

准确数

可靠数字

不可靠数

存疑数字

数学定义

从第一个非零数到末尾数字止

1．当保留n位有效数字，若第n+1位数字≤4就舍掉。

2．当保留n位有效数字，若第n+1位数字≥6时，则第n位数字进1。

3．当保留n位有效数字，若第n+1位数字=5且后面数字为0时 ，则第n位数字若为偶数时就舍掉后面的数字，若第n位数字为奇数时加1；若第n+1位数字=5且后面还有不为0的任何数字时，无论第n位数字是奇或是偶都加1。

以上称为“四舍六入五留双”

如将下组数据保留一位小数：

45.77≈45.8；43.03≈43.0；0.26647≈0.3；10.3500≈10.4；

38.25≈38.2；47.15≈47.2；25.6500≈25.6；20.6512≈20.7

有效数字

从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。

就是一个数从左边第一个不为0的数字数起到末尾数字为止，所有的数字（包括0，科学计数法不计10的N次方），称为有效数字。简单的说，把一个数字前面的0都去掉，从第一个正整数到精确的数位止所有的都是有效数字了。

如：0.0109，前面两个0不是有效数字，后面的109均为有效数字（注意，中间的0也算）。

3.109*10^5（3.109乘以10的5次方）中，3 1 0 9均为有效数字，后面的10的5次方不是有效数字。

5.2*10^6，只有5和2是有效数字。

0.0230，前面的两个0不是有效数字，后面的230均为有效数字（后面的0也算）。

1.20 有3个有效数字。

1100.120 有7位有效数字。

2.998*10^4（2.998乘以10的4次方）中，保留3个有效数字为3.00*10^4。

对数的有效数字为小数点后的全部数字，如log x=1.23有效数字为2.3，log a=2.045有效数字为0、4.5，pH=2.35有效数字为3.5。

整体遵循“四舍五入”的方法[2]

加减法

以小数点后位数最少的数据为基准，其他数据修约至与其相同，再进行加减计算，最终计算结果保留最少的位数。

例：计算50.1+1.4+0.5812=

修约为：50.1+1.5+0.6=52.1

乘除法

以有效数字最少的数据为基准，其他有效数修约至相同，再进行乘除运算，计算结果仍保留最少的有效数字。

例：计算0.0121×25.64×1.05728=

修约为：0.0121×25.6×1.06=

计算后结果为：0.3283456，结果仍保留为三位有效数字。

记录为：0.0121×25.6×1.06=0.328

例：计算2.5046×2.005×1.52=

修约为：2.50×2.00×1.52=

当把1.13532×10⒑保留3个有效数字时，结果为1.14×10⒑

运算中若有π、e等常数，以及√2.1/2等系数，其有效数字可视为无限，不影响结果有效数字的确定。

使用名称 803 在公式中使用区域名称 818综合实例：制作销售人员业绩核算表81第4章逻辑函数831判断真假值的逻辑函数831应用and函数进行交集运算842应用false函数判断逻辑值为假863应用not函数计算反函数874应用or函数进行并集运算885应用true函数判断逻辑值为真892进行复合检验的逻辑函数901应用if函数对真假函数进行判断902应用iferror函数自定义公式错误时的提。针对天悦国际5#楼这个工程，大体上我们应该在施工过程中采取哪些成本控制措施，我进行了分析整理和归纳，最后总结出了该项目成本控制的五大原则，当然总的来说在具体运用中遵循的是动态控制原则，具体问题具体分析。常规学习任务要遵守的规则会因小组合作学习秩序的需要而自然产生，老师要适时组织学生进行讨论、归纳、整理，使规则成为学生完成学习任务的内在需要。

一般性入手规则（初一有出现题目）

⑴可靠数字之间运算的结果为可靠数字。

⑵可靠数字与存疑数字，存疑数字与存疑数字之间运算的结果为存疑数字。

⑶测量数据一般只保留一位存疑数字。

⑷运算结果的有效数字位数不由数学或物理常数来确定，数学与物理常数的有效数字位数可任意选取，一般选取的位数应比测量数据中位数最少者多取一位.例如：π可取=3.14或3.142或3.1416……；在公式中计算结果不能由于"2"的存在而只取一位存疑数字，而要根据其他数据来决定。

⑸运算结果将多余的存疑数字舍去时应按照"四舍五入"的法则进行处理.即小于等于四则舍；大于五则入；等于五时，根据其前一位按奇入偶舍处理（等几率原则）。例如，3.625化为3.62，4.235则化为4.24。

（初学者可间接掌握，不可急着掌握，容易忘记）

⑴有效数字相加（减）的结果的末位数字所在的位置应按各量中存疑数字所在数位最前的一个为准来决定。例如：

30.4 26.65

+ 4.325 - 3.905

34．725 22.745

取30.4+4.325=34.7,26.65-3.905=22.75。

⑵乘（除）运算后的有效数字的位数与参与运算的数字中有效数字位数最少的相同。

由此规则⑵可推知：乘方，开方后的有效数字位数与被乘方和被开方之数的有效数字的位数相同。

1.加减运算:计算结果的欠准位与各量中欠准位数最高的对齐2.乘除运算:计算结果的有效数字位数和参与运算的各量中有效数字位数最少的相同3.其它运算：乘方、开方、三角函数、对数等函数运算，结果的有效数字位数一般与原函数的有效数字位数相同（对数的首数不作为有效数字）4.参与运算的准确数或常数，其有效数字位数有无限多位，可根据运算需要合理取。指数字符后面的数字位数字符数给出了最小的指数位数。实数和复数之间的一一对应关系便建立起来了，因此实数频率唯一对应某个复数频率，我们就可以用复数来方便的研究实数的运算：把三角运算变成指数 和乘法加法运算。

⑷有效数字位数要与不确定度位数综合考虑.

一般情况下，表示最后结果的不确定度的数值只保留1位，而最后结果的有效数字的最后一位与不确定度所在的位置对齐.如果实验测量中读取的数字没有存疑数字，不确定度通常需要保留两位。

但要注意：具体规则有一定适用范围，在通常情况下，由于近似的原因，如不严格要求可认为是正确的。

乘方的有效数字和底数相同。

例：（0.341）^2=1.16×10^-2

有效数字的末位是估读数字，存在不确定性.一般情况下不确定度的有效数字只取一位，其数位即是测量结果的存疑数字的位置；有时不确定度需要取两位数字，其最后一个数位才与测量结果的存疑数字的位置对应。

由于有效数字的最后一位是不确定度所在的位置，因此有效数字在一定程度上反映了测量值的不确定度（或误差限值）。测量值的有效数字位数越多，测量的相对不确定度越小；有效数字位数越少，相对不确定度就越大.可见，有效数字可以粗略反映测量结果的不确定度。

例子：d=（10.430±0.3）是不对的，只能写成d=（10.4±0.3）

1．有效数字中只应保留一位欠准数字，因此在记录测量数据时，只有最后一位有效数字是欠准数字。

2．在欠准数字中，要特别注意0的情况。0在非零数字之间与末尾时均为有效数；在小数点前或小数点后均不为有效数字。如 0.078 和 0.78 与小数点无关，均为两位有效数字。如 506 和 220 都为3位有效数字。但当数字为 220.0 时称为4个有效数字。

3．π等常数，具有无限位数的有效数字，在运算时可根据需要取适当的位数。

⑴实验中的数字与数学上的数字是不一样的。如

数学的 8.35=8.350=8.3500，

而实验的 8.35≠8.350≠8.3500。

⑵有效数字的位数与被测物的大小和测量仪器的精密度有关。如前例中测得物体的长度为5.15cm，若改用千分尺来测，其有效数字的位数有五位。

⑶第一个非零数字前的零不是有效数字。

⑷第一个非零数字以及之后的所有数字（包括零）都是有效数字。

⑸当计算的数值为lg或者pH、pOH等对数时，由于小数点以前的部分只表示数量级，故有效数字位数仅由小数点后的数字决定。例如lgx=9.04为2位有效数字，pH=7.355为三位有效数字。

⑹当特别地，当第一位有效数字为8或9时，因为与多一个数量级的数相差不大，可将这些数字的有效数字位数视为比有效数字数多一个。例如8.314是五位有效数字，96845是六位有效数字。

⑺单位的变换不应改变有效数字的位数。因此，实验中要求尽量使用科学计数法表示数据。如100.2m可记为0.1002km。但若用cm和mm作单位时，数学上可记为10020cm和100200mm，但却改变了有效数字的位数，这是不可取的，采用科学计数法就不会产生这个问题了。

有效数字

所以，我们这个组的每个组员都分别进行独立的观察，记录每一站，对经纬仪测量都是在现场进行计算，发现问题及时解决，没有对上一步的检核，绝不进行下一步的测量，做到步步有检核，回来后还要对内业进行准确计算，因为这样做不但可以防止误差的积累，及时发现错误，更可以提高测量的效率，避免测量的不准确还要进行重测。所以，我们这个组的每个组员都分别进行独立的观察，记录每一站，对经纬仪测量都是在现场进行计算，发现问题及时解决，没有对上一步的检核，绝不进行下一步的测量，做到步步有检核，回来后还要对内业进行准确计算，因为这样做不但能够防止误差的积累，及时发现错误，更能够提高测量的效率，避免测量的不准确还要进行重测。有界性，即误差很大的概率几乎为零．从随机误差分布规律可知，增加测量次数，并按统计理论对测量结果进行处理可以减小随机误差．三、精密度、精确度与准确度用同一测量工具与方法在同一条件下多次测量，如果测量值随机误差小，即每次测量结果涨落小有效数字运算规则乘法，说明测量重复性好，称为测量精密度好也称稳定度好，因此，测量偶然误差的大小反映了测量的精密度．根据误差理论可知，当测量次数无限增多的情况下，可以使随机误差趋于零，而获得的测量结果与真值偏离程度——测量准确度，将从根本上取决于系统误差的大小，因而系统误差大小反映了测量可能达到的准确程度．精确度是测量的准确度与精密度的总称，在实际测量中，影响精确度的可能主要是系统误差，也可能主要是随机误差，当然也可能两者对测量精确度影响都不可忽略．在某些测量仪器中，常用精度这一概念，实际上包括了系统误差与随机误差两个方面，例如常用的仪表就常以精度划分仪表等级．仪表精确度简称精度，又称准确度。

有效数字保留的位数，应根据分析方法与仪器的准确度来决定，一般使测得的数值中只有最后一位是可疑的。例如在分析天平上称取试样0.5000g，这不仅表明试样的质量0.5000g，还表明称量的误差在±0.0002g以内。如将其质量记录成0.50g，则表明该试样是在台称上称量的，其称量误差为0.02g，故记录数据的位数不能任意增加或减少。如在上例中，在分析天平上，测得称量瓶的重量为10.4320g，这个记录说明有6位有效数字，最后一位是可疑的。因为分析天平只能称准到0.0002g,即称量瓶的实际重量应为10.4320±0.0002g,无论计量仪器如何精密，其最后一位数总是估计出来的。因此所谓有效数字就是保留末一位不准确数字，其余数字均为准确数字。同时从上面的例子也可以看出有效数字是和仪器的准确程度有关,即有效数字不仅表明数量的大小而且也反映测量的准确度。