有效数字运算规则乘法_计算机算数运算乘法_按有效数字的运算规则(2)

有效数字中"0"的意义

"0"在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值，另一种是有效数字。例如在分析天平上称量物质，得到如下质量：

物质 质量（g）有效数字位数

称量瓶 10.14306位

Na2CO3 2.1045 5位

H2C2O4·2H2O 0.21044位

称量纸 0.01203位

以上数据中“0”所起的作用是不同的。在10.1430中两个“0”都是有效数字，所以它有6位有效数字。在2.1045中的“0”也是有效数字，所以它有5位有效数字。在0.2104中，小数前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，所以它有4位有效数字。在0.0120中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，所以它有3位有效数字。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。例如4500这个数，就不会确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。遇到这种情况，应根据实际有效数字书写成：

4.5×103 2位有效数字

4.50×103 3 位有效数字

4.500×103 4 位有效数字

因此很大或很小的数，常用10的乘方表示。当有效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数字，多余数字按数字修约规则处理。

按下表配制4种缓冲溶液，测定前将溶液搅拌均匀，分别插入擦洗干净的复合电极，测定其ph值，待读数稳定后，记录测定结果，并进行理论计算，将理论计算值与测定值进行比较。 表 21-2-1 溶解氧标准色的配制 瓶号 相当溶解氧含 配制标准色时所取体积（ml） 量 v靛 v苦 （μ g/l） 1 0 0 3.250 2 5 0.125 3.125 3 10 0.250 3.000 4 15 0.375 2.875 5 20 0.500 2.750 6 30 0.750 2.500 7 40 1.000 2.250 8 50 1.250 2.000 9 60 1.500 1.750 10 70 1.750 1.500 11 80 2.000 1.250 12 90 2.250 1.000 13 100 2.500 0.750 4.3 测定水样时所需还原型靛蓝二磺酸钠溶液加入量 d（ml） ，可按下式计算： 1.3 c 最大·v1 d= ———————— 1000×20 c 最大——最大标准色相当的溶解氧含量，μ g/l。用10ml吸量管分别移取10.0mg/l氨氮标准溶液0.00、2.00、4.00、6.00、8.00和10.00ml于6支50ml容量瓶中，各加入1.00ml酒石酸钾钠溶液，混匀，再加入适宜体积的纳氏试剂，用无氨水稀释至50ml，混匀后在适宜的显色时间内，在选择的波长下，用1cm比色皿，采用试剂空白溶液为参比，测定吸光度。

总而言之，测量结果所记录的数字，应与所用仪器测量的准确度相适应。

数字修约规则

我国科学技术委员会正式颁布的《数字修约规则》，通常称为“四舍六入五成双”法则。四舍六入五考虑，即当尾数≤4时舍去，尾数为6时进位。当尾数4舍为5时，则应是末位数是奇数还是偶数，5前为偶数应将5舍去，5前为奇数应将5进位。

这一法则的具体运用如下：

a. 将28.175和28.165处理成4位有效数字，则分别为28.18和28.16。

b. 若被舍弃的第一位数字大于5，则其前一位数字加1，例如28.2645处理成3为有效数字时，其被舍去的第一位数字为6，大于5，则有效数字应为28.3。

c. 若被舍其的第一位数字等于5，而其后数字全部为零时，则是被保留末位数字为奇数或偶数（零视为偶），而定进或舍，末位数是奇数时进1，末位数为偶数时不进1，例如28.350、28.250、28.050处理成3位有效数字时，分别为28.4、28.2、28.0。

d. 若被舍弃的第一位数字为5，而其后的数字并非全部为零时，则进1，例如28.2501，只取3位有效数字时，成为28.3。

e. 若被舍弃的数字包括几位数字时，不得对该数字进行连续修约，而应根据以上各条作一次处理。如2.154546 ，只取3位有效数字时，应为2.15,二不得按下法连续修约为2.16：

2.154546→2.15455→2.1546→2.155→2.16

有效数字运算规则

前面曾根据仪器的准确度介绍了有效数字的意义和记录原则，在分析计算中，有效数字的保留更为重要，下面仅就加减法和乘除法的运算规则加以讨论。

a. 加减法：在加减法运算中，保留有效数字的以小数点后位数最小的为准，即以绝对误差最大的为准，例如：

0.0121+25.64+1.05782=?

正确计算不正确计算

0.01 0.0121

25.64 25.64

+ 1.06 + 1.05782

——————— ———————

26.71 26.70992

上例相加3个数字中，25.64中的“4”已是可疑数字，因此最后结果有效数字的保留应以此数为准，即保留有效数字的位数到小数点后面第二位。

b. 乘除法：乘除运算中，保留有效数字的位数以位数最少的数为准，即以相对位数最大的为准。例如：

0.0121×25.64×1.05782=?

以上3个数的乘积应为：

0.0121×25.6×1.06=0.328

在这个计算中3个数的相对误差分别为：

E%=(±0.0001)/0.0121×100=±8

E%=(±0.01)/25.64×100=±0.04

E%=（±0.00001）/1.05782×100=±0.0009

显然第一个数的相对误差最大（有效数字为3位），应以它为准，将其他数字根据有效数字修约原则，保留3位有效数字，然后相乘即可。

c. 自然数，在分析化学中，有时会遇到一些倍数和分数的关系，如：

H3PO4的相对分子量/3=98.00/3=32.67

水的相对分子量=2×1.008+16.00=18.02

在这里分母“3”和“2×1.008”中的“2”都还能看作是一位有效数字。因为它们是非测量所得到的数，是自然数，其有效数字位数可视为无限的。

在常见的常量分析中，一般是保留四位有效数字。但在水质分析中，有时只要求保留2位或3位有效数字，应视具体要求而定。[3]

所有非零数字都是有效的1,2,3,4,5,6,7,8,9。

非零数字之间的零点数大于102,2005,50009。

前导零从不重要..0.02,1.0887,51.05。

在一个带小数点的数字中，尾随零（最后一个非零数字的右侧）是重要的.2.02000,5,400,57.5400

在没有小数点的数字中，尾随零可能或可能不显着。需要通过附加图形符号或显式错误信息获得更多信息，以澄清尾随零的意义。

具体来说，编写或解释数字时识别有效数字的规则如下：

所有非零数字都被认为是重要的。例如，91有两个有效数字（9和1），而123.45有五个有效数字（1,2,3,4和5）。

出现在两个非零数字之间的零点的零是很重要的。示例：101.1203有七个有效数字：1,0,1,1,2,0和3。

前导零并不重要。例如，0.00052有两个有效数字：5和2。

包含小数点的数字中的尾随零值很大。例如，12.2300有六个有效数字：1,2,2,3,0和0.数字0.000122300仍然只有六个有效数字（1之前的零不重要）。此外，120.00有五个有效数字，因为它有三个尾随零。这个惯例澄清了这些数字的精度;例如，如果将精确到四位小数位（0.0001）的测量值给出为12.23，那么可以理解，只有两位精度小数位可用。将结果表示为12.2300，表明精确到四位小数（在这种情况下，六个有效数字）。

在不包含小数点的数字中，尾随零的含义可能不明确。例如，如果一个1300号的数字对于最近的单位是精确的（并且恰巧巧合地是一百的确切倍数），或者如果由于四舍五入或不确定性仅显示为最接近的百分点，则可能并不总是清楚的。存在许多解决这个问题的惯例：

有时也称为超栏，或者不太准确地说，一个vinculum可以放在最后一个有效数字上;跟随此后的任何尾随零都是微不足道的。例如，1300有三个有效数字（因此表明数字精确到最接近十）。

不常使用一个密切相关的公约，可以强调一个数字的最后一个重要数字;例如，“2000”有两个重要的数字。

小数点后可放置数字;例如“100.”具体指出三个重要数字是指[3]

在数量和单位测量的组合中，可以通过选择合适的单位前缀来避免歧义。例如，指定为1300克的质量的有效数字是不明确的有效数字运算规则乘法，而质量为13 hg或1.3 kg则不是。

然而，这些约定并不是普遍使用的，并且通常需要从上下文中确定这样的尾随零是否意在是重要的。如果全部失败，可以明确指定舍入级别。缩写s.f.有时使用，例如“20 000 to 2 s.f.”或“20 000（2 sf）”。或者，不确定性可以单独和明确地用正负号来表示，如20 000±1%，因此不重要的数字规则不适用。这也允许指定十次幂之间的精度（或编号系统的基本功率的任何值）。

在大多数情况下，同样的规则适用于以科学计数表示的数字。但是，按照该符号的标准化形式，不会出现占位符的前导和后置数字，因此所有数字都是重要的。例如，0.00012（两个有效数字）变为1.2×10-4，0.00122300（六个有效数字）变为1.22300×10-3。特别地，消除了尾随零的意义的潜在模糊性。例如，1300〜4个有效数字为1.300×103，而1300〜2个有效数字为1.3×103。

包含有效数字（与基数或指数相反）的表示部分称为有效数或尾数。[4]

参考资料