中职数学（人教版）： 讲指数与对数函数教学教案.doc

第07讲 指数与对数函数一、指数与对数运算： （一）知识归纳：1．根式的概念：①定义：若一个数的次方等于，则这个数称的次方根.即，若，则称的次方根，1）当为偶数时，次方根记作；2）当为奇数时，负数没有次方根，而负数有两个次方根且互为相反数，记作.②性质：1）； 2）当为奇数时，；3）当为偶数时，2．幂的有关概念：①规定：1）N*， 2），n个3）Q对数函数教案下载，4）、N* 且②性质：1）、Q），2）、 Q），3） Q）（注）上述性质对r、R均适用.3．对数的概念：①定义：如果的b次幂等于N，就是，那么数称以为底N的对数，记作其中称对数的底，N称真数.1）以10为底的对数称常用对数，记作，2）以无理数为底的对数称自然对数，记作②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）， 2），3）， 4）对数恒等式：③运算性质：如果则1）；2）；3）R）.④换底公式：1）， 2）（二）学习技巧：1．（其中）是同一数量关系的三种不同表示方式，因此在许多难题中必须熟练进行他们之间的相互转化，选择最好的方式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底.2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是利用各类变换方法，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元之类，这些都是经常使用的变换方法，必须借助各种题型的练习慢慢累积经验.【例1】解答下列问题：（1）计算：[解析]原式=（2）计算.[解析]分子=；分母=；原式=.（3）化简：[解析]原式=.（4）已知：值.[解析].[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习英语的基本功，通过这种的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各类方法.【例2】解答下列问题：（1）已知，求证：[解析]，=（2）若，求的值.[解析]去分母得，、是二次方程的两实根，且，解得，[评析]例2是最综合一些的指数、对数运算问题，这种难题很接近考试题的方式，应多从这些练习中累积经验.二、指数函数与对数函数（一）学习技巧：1．指数函数：①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为R， 2）函数的值域为，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数.②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限，2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴），3）对于同样的，函数的图像关于轴对称.③函数值的差异特征：2．对数函数：①定义：函数称对数函数，1）函数的定义域为，2）函数的值域为R，3）当时函数为减函数，当时函数为增函数，4）对数函数与指数函数互为反函数.②1）对数函数的图像都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限，2）对数函数都以轴为渐近线（当时，图象向上无限接近轴；当时，图象向下无限接近轴）.4）对于同样的，函数的图像关于轴对称.③函数值的差异特征：（二）学习技巧：1．解决含指数式或对数式的各类问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的常识.2．指数、对数函数值的差异特征（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的弊端时使用经常的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水准，在使用时经常需要结合指数、对数的特殊值共同探讨.3．含有参数的指数、对数函数的探讨问题是重点题型，解决这类问题的更基本的分类方案是以“底”大于1或高于1分类.4．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合方式发生，如与其他变量（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与函数、不等式、数列等内容产生的各种综合问题之类，因此应尽力提升综合能力.【例1】已知是奇函数 （其中，（1）求的值；（2）讨论的单调性；（3）求的反函数；（4）当定义域区间为时，的导数为，求的值.[解析]（1）对定义域内的任意恒成立，，当不是奇函数，，（2）定义域为，求导得，①当时，在上都是减函数；②当时，上都是增函数；（另解）设，任取，，，结论同上；（3），（4）上为减函数，命题等价于，即，解得.[评析]例1的各个小题概括了指数、对数函数的各类常见的基本难题，熟练掌握这种基本难题的解答程序及技巧是很重要的素养训练，要扎实总结经验.【例2】对于函数，解答下列问题：（1）若变量的定义域为R，求整数a的取值范围；（2）若变量的导数为R，求整数a的取值范围；（3）若函数在内有含义，求实数a的取值范围；（4）若变量的定义域为，求整数a的值；（5）若变量的导数为，求整数a的值；（6）若变量在内为增函数，求整数a的取值范围.[解答]记，（1）恒成立，，的取值范围是；（2）这是一个较难理解的难题。

从“的值域为R”，这点思考，“的值域为R”等价于“能取遍的一切值”，或理解为“的值域包含了区间”的斜率为∴命题等价于，∴a的取值范围是；（3）应注意“在内有含义”与定义域的概念是不同的，命题等价于“恒成立”，应按的对称轴分类，，的取值范围是；（4）由定义域的概念知，命题等价于不等式的解集为，是函数的两根，即a的值为2；（5）由对数函数性质易知：的导数为，由此学生很容易得，但这是不正确的.因为“”与“的值域为”并不等价，后者要求可取遍的一切值（而且不能多取）.∵的导数是，∴命题等价于；即a的值为±1；（6）命题等价于：，即，得a的取值范围是.[评析]学习函数知识及解决函数问题，首先是应特别精确理解与把握函数中的每个概念，许多函数的概念都有更深刻的内涵，解决难题时应认真揣摩各种概念之间的联系与不同，才能做出具体的解答，并应在学习中不断积累经验. 【例3】解答下列问题：（Ⅰ）设集合，若当年，函数的最大值为2，求实数a的值.[解析]而，令，，其对称轴，①当，即，适合；②当，适合；综上，.（Ⅱ）若函数在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值.[解析]，令，∴抛物线的对称轴为，①当，不合；②当时，，适合；综上，（Ⅲ）设关于的方程R），（1）若函数有整数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论函数实根的个数，并求出方程的解.[解析]（1）原方程为，，时方程有实数解；（2）①当时，，∴方程有唯一解；②当时，.的解为；令的解为；综合①、②，得1）当时原方程有两解：；2）当时，原方程有唯一解；3）当时，原方程无解.[评析]例3是一组具有一些综合性的指数、对数难题，问题的释疑涉及指数、对数函数，二次函数、参数讨论、方程讨论等诸多基本素养，这只是指数、对数难题的特征，题型非常广泛，应借助解题学习不断积累经验.《训练题》一、选择题：1．若N*，则（ ）A．2B．C．D．2．若，则（ ）A．4B．16C．256D．813．当时，的大小关系是（ ）A．B．C．D．4．若，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．5．函数的定义域为[1，2]，则方程的定义域为（ ）A．[0，1]B．[1，2]C．[2，4]D．[4，16]6．若函数上单调递减，则常数a的取值范围是（ ）A．[9，12]B．[4，12]C．[4，27]D．[9，27]二、填空题：7．计算.8．函数是减函数对数函数教案下载，则常数a的取值范围是.9．若，则常数k的取值范围是.10．已知变量的导数为R，则常数a的取值范围是.三、解答题：11．已知的值. 12．已知函数， （1）求的定义域； （2）此变量的图像上能否存在两点，过这两点的直线垂直于x轴？ （3）当a、b满足哪些条件时恰在取正值.13．求方程的导数.14．在方程的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为、、，若△ABC的面积为S，求方程的导数.15．已知变量， （1）讨论的奇偶性与单调性； （2）若不等式的解集为的值； （3）求的反函数； （4）若，解关于的不等式R）.《作案与解析》一、选择题：1.A 2.C 3.B 4.D 5.D 6.A二、填空题7．10 8． 9． 10．11．，，，而，.12．（1），又，故方程的定义域是.（2）问题的推论取决于的单调性，考察这个方程的单调性有三种步骤：①求导，②运用单调性定义，③复合分析，但以方式①最好.（解一）求导得：，，，在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（解二）任取，则，，即在定义域内单调递增，故不存在所述两点；（3）在单调递增，∴命题等价于：，13．，（1）当，即时，；（2）当，即时，上单调递减，，值域为.14．设A、B、C在轴上的射影分别为A1、B2、C1，，令，，的值域为15．（1）定义域为为奇函数；，求导得，①当时，在定义域内为增函数；②当时，在定义域内为减函数；（2）①当时，∵在定义域内为增函数且为奇函数，；②当在定义域内为减函数且为奇函数，；（3）R）；（4），；①当时，不等式解集为R；②当时，得，不等式的解集为；③当2①，②，③①，②，③，①，②，③.①，②，③.