【每日一题】对数函数与指数函数的定义与性质

1．使学生把握对数函数的定义，会画对数函数的图像，掌握对数函数的性质．2．通过对数函数与指数函数互为反函数的教学，学生进一步加深对反函数概念及变量 和反函数图象间的关系的了解与理解． 3．通过非常、对照的方式，学生更好地掌握两个函数的定义、图象及性质，认识两个 函数的内在联系，提高学生对函数思想方式的了解跟应用观念． 教学重点是对数函数的定义、图象及性质．难点是由对数函数与指数函数互为反函数这 一关系，利用指数函数图象及性质得到对数函数的图像及性质． 师：在新课开始前，我们先复习一些有关概念．什么叫对数？ N=b．其中a为底数，N 是真数． 师：各个字母的取值范围呢？ 化为指数式．生：log 师；什么是指数函数？它有什么性质？（生回答指数函数定义及性质．） 师：请你们回忆如何求一个函数的反函数？ 生：（1）先求其实函数的定义域和导数；（2）把函数式y=f（x） 与之对应，此反函数可记作x=f-1 -1（y）改写成y=f -1 （x），并写出反 函数的定义域． 师：好．为什么求一个函数的反函数时对数函数教案下载，要先求出这个方程的定义域和函数呢？ 生：求其实函数的定义域是为了求其实函数的值域，而原本方程的导数就是其反函数的 定义域． 师：很好．原来函数的定义域和导数，就是其反函数的导数和定义域．根据前面复习的 求反函数的技巧，请同学们求方程y=a （a＞0，a1）的反函数．生：函数y=a 化为对数式x=log 师：今天这节课我们介绍一下新的方程——对数函数，它是指数函数的反函数．定义 函数y=log x（a＞0，a1）叫做对数函数．因为对数函数y=log 的反函数，所以应表明以下两点：（1）对于底数a，同样需要满足a＞0 的条件．（2）指数函数的定义域为 R，值域为 ，值域为R．同指数函数一样，在学习了函数定义后来，我们要画函数的图像．应该怎样画对数函数 生：用描点法画图．师：对．我们每学习一种新的方程都可以依据函数的解析式，列表、描点画图．再考虑 一下，我们还可以用哪个方法画出对数函数的图像呢？ 生：因为对数函数是指数函数的反函数，所以两者的图像关于直线y=x 对称．因此，只 要画出指数函数的图像，就可利用图象的对称性画出对数函数的图像． 师：非常好．我们画对数函数图象，即可用描点法，也只用图象变换法．下边我们就利 用这两种方式画对数函数图象． 方法一 （描点法） 首先列举x，y 值的对应表．因为对数函数的定义域为x＞0，因此可取x=1，2，3，4，， 请计算对应的y 师：我们在探讨对数函数值域时知yR．由前面所说的x值计算 -3-2 -1 -1-0。

70 -1-1。 59 -2 方法二（图象变换法） 师：我们讲函数与其反函数的图像关系时，说明了 点（a，b）关于直线y=x 的对称点的坐标是哪个？ 关于直线y=x的对称点为（b，a）的方式描点，即可画出y=log x，y=lgx，师：由于对数函数是指数函数的反函数，指数方程图象分 两类，因此对数函数图象也分a＞1 两类．现在我们观察对数函数图象，并对照指数方程性质来预测对数函数的性质． 生：对数函数的图像都在y 轴右侧，说明x＞0． 生：函数图象都过（1，0）点，说明x=1 的对数是0的事实．请再次预测． 生：当底数是2 和10 现了真数的取值范围与对数的正负性之间的密切联络．再再次预测．生：当底数 时，对数函数在（0，+）上递减． 师：好．下边我们看一下指数函数与对数函数性质对照表． 数值差异情况 是增函数；当a＞1时，log 的图像关于直线y=x对称 师：今天我们所应讲的有关概念就讲完了，现在我们借助例题进一步巩固理解这种概念． 求以下方程的定义域：生：（1）因为x 的定义域是（-，0）（0，+）．生：（2）因为4-x＞0，所以x＜4，即y=log （4-x）的定义域是（-，4）．师：在这个方程的解析式中，不仅有对数式，还有二次根式，因此要求定义域，既应真 数小于0，还要被开方数大于或等于0，从而得到不等式组，这个不等式组如何解，问题出 在log 0。

5 （3x-1）0 上，怎么办？ 看作log0。5 1，即log 0。5 （3x-1）log 0。5 1，因为0＜0。5＜1，所以此方程是减函数， 所以 3x-11． 师：对．他是运用了对数函数的单调性．还有别的表述吗？ 生：因为底数0＜0。5＜1，而log 0。5 （3x-1）0，所以 3x-11． 师：对．他是运用了对数函数的第三条性质，根据变量值的范围，判断了真数的范围， 因此即使解0＜3x-11，即可得出函数定义域． 比较下列各组中两个数的大小：（1）log 3。5；（2）log0。7 1。6 和log 0。7 1。8． 师：请同学们观察这两组数中两个数的特点，想一想应怎样比较这两个数的大小． 生：这两组数都是对数．每组中的对数式的底数相同，而真数不同，因此能根据变量 y=log 是增函数的性质来非常它们的大小．师：对．针对（1）中两个数的底数都是2，我们构造函数y=log x，利用这个变量在（0，+）是单调递增的，通过非常真数的大小来决定对数的大小．请一名老师写出解题过程． 生：（板书） 解：因为变量y=log 在（0，+）上是增函数，又因0＜3＜3。5，所以log 3。5．师：好．请老师简答（2）中两个数的非常过程．并表明理由． 生：因为变量y=log 0。

7 在（0，+）上是减函数，又因0＜1。6＜1。8，所以log 0。7 1。6＞log 0。7 1。8． 师：对．上述方式仍是采用“函数法”比较两个数的大小．当两个对数式的底数相同时， 我们构造对数函数．对于a＞1 的对数函数在定义域内是增函数；对于 的对数函数在定义域内是减函数．只要非常真数的大小，即可得到函数值的大小． 比较下列各组中两个数的大小：（1）log 0。3 和log0。2 0。7；（2）log 师：这两组数都是对数，但他们的底数与真数都不相等，不易于利用对数函数的单调性比较两者的大小．请你们细细观察各组中两个数的特征，判断出他们的大小． 生：在log 0。3 中，因为底数0＜0。3＜1，且4＞1，所以log0。3 4＜0；在log 0。2 0。7 中，因为 0＜0。2＜1，且0。7＜1，所以log 0。2 0。7＞0，故log 0。3 4＜log 0。2 0。7． 师：很好．根据对数函数性质，当底数0＜a＜1 y＞0．由此可以判断这两个数中，一个比零大，另一个比零小，从而非常出两个数的大小，这是运用了“中间量法”．请非常第（2）组两个数的大小． 生：在log 中，底数3＞1，真数2＞1，所以log 都比零大．怎么办？生：因为log 3=1，从而判定出一个数小于1，而另一个数大于1，由此非常出两个数的大小． 请同学们口答下列问题： 练习1 求以下方程的反函数： （4）y=log0。

6 （xR）的反函数是y=log0。7 生：y=log0。6 x（x＞0）的反函数是y=0。6 练习2指出以下各对数中，哪个大于零？哪个小于零？哪个等于零？并解读理由． 生：在log 0。1中，因为5＞1，0。1＜1，所以log 0。1＜0．生：在log 生：在log0。6 0。1 中，因为0。6＜1，0。1＜1，所以log 0。6 0。1＞0． 生：在log 0。4 中，因为0。4＜1，3＞1，所以log0。4 练习3用“＜”号连接以下各数： 0。3 0。3，20。3 生：由指数变量性质可知0＜0。3 ＜1，20。3 ＞1，由对数函数性质可知 log 0。3＜0，所以log 师：现在我们将这节课的内容总结一下，本节课我们介绍了对数函数的定义、图象及性质，请同学提问对数函数的定义及性质． 生：（复述） 师：对数函数的定义，我们是通过求指数函数的反函数而得到的，从而探求了指数函数 与对数函数之间的内在联系，对于对数函数的图像及性质，都可以运用指数函数的图像及性 质受到．对于对数函数的性质，可以运用对数函数图象记忆，也可以对照指数函数的性质记 对于变量的定义域，除了原本规定的分母不能为0及偶次根式中被开方法大于或等于0 以外，还要规定对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1．如果函数中同时发生几种情 况，就要全部考量进去，求他们一同作用的结果． 都是利用对数函数的性质，通过“函数法”和“中间量法”比较两个数大小的典型事例． 作业：课本P94 练习第1，2，3 师：作业题1是作图题，画法有两种，可任选其中一种画法．然后由所画出的五个函数 图象进行对比评析，思考两个或两个以上对数函数图象的特点，下节课我们一同探讨． （答案： （1）底数是互为倒数的两个对数函数的图像关于x 轴对称． （2）当底数a＞1 时，底数越大的越接近x 补充题1．求以下方程的定义域： （x-1） 2．比较下列各题中两个数值的大小：（1）log 0。

7和log 0。2 0。5； （2）log 0。6 和log7。1 1。2； （3）log 0。5 0。6 和log 0。6 0。5； （4）log -2x+k）的定义域是一切正整数，求k的取值范围． 课堂教学设计说明 1．本节新课的开始是由求指数函数的反函数引入对数函数的，因此在讲授对数函数的 定义、图象及性质时，要处处与指数函数对照着讲解，既能阐述指数函数与对数函数之间的 内在联系．又可以旧带新对数函数教案下载，便于学生记忆掌握． 2．课本是按照互为反函数的两个函数图像关于直线y=x 对称的性 用这些对称变换的方式画函数图像，可以加深跟巩固学生对互为反函数的两个函数之间 的关系的了解，便于将对数函数的图像和性质与指数函数的图像跟性质对照．但使用描点法 画函数图像更为方便．两种技法能同时进行．分析画法之后，可以使学生自由选择画法，也 可以安排某几行同学用描点法，另外几行同学用图像的对称变换画图．在黑板上使两名学生 同时各用一种方法画出图像，或使学生用投影片用不同的方式画出图来，在投影仪上展现给 大家看．总之，根据时间，能够把两种画法展示给学生更好． 3．为了加强课堂强度，提高45 分钟课堂效率，可运用投影仪或电脑等现代化教学方法， 充分利用时间，但不能用它替代学生的认知过程，要使学生有动脑、动口、动手的机会，突 出学生参与过程． 4．要知道自己学生的程度，根据不同层次的教学对象拟定教学方案，选择不同程度的题型 和试卷，注意不要让学生吃不饱，也不要太撑，要适量．