3.5.1 对数函数的概念 教案（北师大版必修1）.doc 4页

对数的公理化定义真数式子没根号那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零必须保证根号里的算式大于等于零， 底数则应小于0且不为1 对数函数的底数为什么应小于0且不为1？ 【在一个普通对数式里 a0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作log(a)（N）=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 底数则应>0且≠1 真数>0 对数的运算性质当a>0且a≠1时，M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （nR） (4)log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R) （5）换底公式：log(A)M=log(b)M/log(b)A (b>0且b≠1） (6)a^(log(b)n)=n^(log(b)a) 证明： 设a=n^x则a^(log(b)n)=（n^x）^log(b)n=n^（x·log(b)n）=n^log(b)（n^x）=n^(log(b)a) (7)对数恒等式：a^log（a)N=N; log（a）a^b=b （8）由幂的对数的运算性质可得(推导定理) 1.log(a)M^(1/n)=(1/n)log(a)M , log(a)M^(-1/n)=(-1/n)log(a)M 2.log(a)M^(m/n)=(m/n)log(a)M , log(a)M^(-m/n)=(-m/n)log(a)M 3.log(a^n)M^n=log(a)M , log(a^n)M^m=(m/n)log(a)M 4.log(以 n次根号下的a 为底)(以 n次根号下的M 为真数)=log(a)M , log(以 n次根号下的a 为底)(以 m次根号下的M 为真数)=(n/m)log(a)M 5.log(a)b×log(b)c×log(c)a=1 对数与指数之间的关系当a>0且a≠1时，a^x=N x=㏒(a)N 编辑本段对数函数右图给出对于不同大小a所表示的变量图形： 可以提到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为他们互为反函数。

（1） 对数函数的定义域为大于0的整数集合。 （2） 对数函数的导数为全部整数集合。 （3） 函数图像总是通过（1，0）点。 （4） a大于1时，为单调增函数，并且上凸；a大于0小于1时，函数为单调减函数，并且下凹。 （5） 显然对数函数无界。 对数函数的常见简略表达形式： （1）log(a)(b)=log(a)(b) （2）lg(b)=log(10)(b) （3）ln(b)=log(e)(b) 对数函数的运算性质： 如果a〉0，且a不等于1,M>0,N>0，那么： （1）log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); （2）log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N); （3）log(a)(M^n)=nlog(a)(M) （n属于R） （4）log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 对数与指数之间的关系 当a大于0,a不等于1时，a的X次方=N等价于log(a)N=x log(a^k)(M^n)=(n/k)log(a)(M) （n属于R） 换底公式 （很重要） log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)= lnN/lna=lgN/lga ln 自然对数 以e为底 e为无限不循环小数(约为2.718281828454590) lg 常用对数 以10为底 编辑本段常用简略表达形式（1）常用对数：lg(b)=log(10)(b) （2）自然对数:ln(b)=log(e)(b) e=2.718281828454590...通常状况下只取e=2.71828对数函数的定义 对数函数的通常形式为 y=㏒(a)x，它实际上就是指数函数的反函数(图象关于直线y=x对称的两变量互为反函数），可表示为x=a^y。

因此指数函数里针对a的规定（a>0且a≠1），同样适用于对数函数。 右图给出对于不同大小a所表示的变量图形： 可以提到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为他们互为反函数。 编辑本段性质定义域求解：对数函数y=loga x 的定义域是{x ︳x>0}对数函数教案下载，但即使遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要切记真数大于0以外，还须留意底数大于0且不等于1，如求方程y=logx（2x-1）的定义域，需满足{x>0且x≠1} 。 {2x-1>0 ，x>1/2且x≠1}，即其定义域为 {x ︳x>1/2且x≠1}值域：实数集R 定点：函数图象恒过定点（1，0）。 单调性：a>1时，在定义域上为单调增函数，并且上凸 ?? 00,a!=1----(log a(x))'=lim(Δx→∞)((log a(x+Δx)-log a(x))/Δx)=lim(Δx→∞)(1/x*x/Δx*log a((x+Δx)/x))=lim(Δx→∞)(1/x*log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*lim(Δx→∞)(log a((1+Δx/x)^(x/Δx)))=1/x*log a(lim(Δx→0)(1+Δx/x)^(x/Δx))=1/x*log a(e)特殊地，当a=e时，(log a(x))'=(ln x)'=1/x。----设y=a^x两边取对数ln y=xln a两边对求x导y'/y=ln ay'=yln a=a^xln a特殊地对数函数教案下载，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。