初中数学知识点：和差化积公式推导

作者： 网编整理

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时间： 2019-09-11 16:44

和差化积公式推导

首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样，我们就得到了积化和差的四个公式：

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2积化和差 和差化积公式，b=(x-y)/2

把a，b分别用x积化和差 和差化积公式，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)