卡瓦列利原理的证明_卡瓦列利原理_抽签原理的证明及应用

原理介绍/卡瓦列利原理

夹在两条平行直线之间的两个平面图形，被平行于这两条直线的任意直线所截，如果所得的两条截线长度相等，那么，这两个平面图形的面积相等；

原理平面/卡瓦列利原理

夹在两个平行平面之间的两个立体图形，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果所得的两个截面面积相等，那么，这两个立体图形的体积相等。

卡瓦列利将定理中的相互比较的两个平面或立体图形称为“类比图”（analogues）。他首先证明定理的第一部分，即两个平面类比图面积相等。

如图3-1-1所示。设夹在两平行线PQ、RS之间有两个平面图形ABC和XYZ.其中不妨设ABC有一空的部分FfGg。任作两条平行于PQ、RS的直线DN、OU，DN截两图所得的截线分别为JK和LM，JK=LM；OU截ABC得两条截线段EF和GH,截XYZ得截线段TV，EF+GH=TV。

沿PQ、RS平移图形ABC，将它叠置于图形XYZ之上（图中A与X两点重合）。如果ABC与XYZ完全重合，那么显然它们的面积相等；如果ABC于XYZ不完全重合，那么ABC的某一部分XLhTYC¢M与XYZ的一部分XLhTYC¢M重合。显然，ABC的截线EF、GH在ABC平移之后仍在直线OU上，故E¢F¢、TH¢与TV仍在同一直线上。由假设，E¢F¢+TH¢=EF+GH=TV,因此E¢F¢=H¢V.而E¢F¢和H¢V分别在图形ABC和XYZ和彼此不重合的部分LB¢YTF¢和MC¢Z,Thg（分别称为ABC和XYZ的剩余图形）中。可见，当图形ABC有一部分不与XYZ重合时，图形XYZ必剩余某一部分不与ABC重合。

由于对于ABC的剩余图形中的任一平行于PQ,RS的截线段，相应地在XYZ的剩余图形中都有一条与之共线的截线段（如果剩余图形有若干部分，则截线可能不止一条），因此ABC与XYZ的剩余图形必夹在同样的两条平行线之间。又因为它们中的对应截线段相等（E¢F¢=H¢V），因此ABC、XYZ的剩余图形满足ABC和XYZ所满足的条件，他们仍为类比图。

然后，沿RS平移ABC的剩余图形LB¢YTF¢，将它叠置于XYZ的剩余图形之上，使其一部分VB¢¢Z与MC¢Z的一部分VB¢¢Z重合。则和前面一样可证明其中一个有剩余图形时，另一个必有剩余图形，这些剩余图形夹在同样的两条平行线之间，并且对应截线段相等。设L¢VZY¢G¢¢F¢¢是LB¢YTF¢的剩余图形，而MC¢B¢¢V，Thg为MC¢Z，Thg的剩余图形，则他们是夹在DN、RS之间的类比图。然后再沿RS平移L¢VZY¢G¢¢F¢¢，将它叠置于MC¢B¢¢V和Thg上。不难理解，同样的步骤可以不断进行下去卡瓦列利原理的证明，直到整个图形ABC被叠置完。根据前面的证明，此时XYZ也不再有剩余图形了。这样，ABC于XYZ的部分图形相继重合，直到最后所有部分均重合。从而ABC与XYZ面积相等。

若将上述证明中的ABC和XYZ改为立体图形，截线相应改为截面，则同样可以证明定理的第二部分，即两立体类比图体积相等。

原理方法/卡瓦列利原理

卡瓦列里把平面图形看作是由平行的等距线段组成的，把立体图形看作是由彼此平行的、等距离的平面片组成的．这些线段就是平面图形的不可分量而这些平面片就是立体图形的不可分量．卡瓦列里的具体方法是先建立两个给定的几何图形的不可分量之间的一一对应关系，并且设法使对应的不可分量具有某种不变的比例，当其中一个图形的面积或体积已求出时，就可用卡瓦列里原理求出另一个图形的面积或体积．

祖冲之还与他的儿子祖暅(也是我国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异."意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理".。祖冲之还与他的儿子祖暅（也是我国著名的数学家）一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算．他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异．"意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理，但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的．为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理"．。祖冲之还与他的儿子祖暅(也是中国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异."意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理".祖冲之也制造过许多工具，如指南车等。

【练习与拓展】一：选择题：1．一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（ ）a．长方形 b．三角形 c．梯形 d．七边形2. 把一个正方体截去一个角剩下的几何体最多有（ ）a．4个面 b．5个面 c．6个面 d．7个面3. 一个球的内部挖去一个最大的正方体（正方体的八个顶点都在球的表面上），用一个平面去截这个几何体，是截面形状的有（ ）4. 如图是一个立体图形的三视图,这个立体图形是由一些相同的小正方形搭成的,这些小正方体的个数为( )a 6 b 7 c 8 d 9二：解答题1.一个正方体的积木堆在桌上，从前、左两个方向看去，看到的主视图、左视图都如图2-5所示，从上面看下去，看到的俯视图如图2-6所示。[ 小题热身] 1．用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( ) a．圆柱 b．圆锥 c．球体d．圆柱、圆锥、球体的组合体 解析：当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面． 答案：c 2．若一个三棱柱的三视图如图所示，其俯视图为正三角形，则这个三棱柱的高和底面边长分别为( ) a．2,2 3 b．2 2，2 c．4,2d．2,4 解析：由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面正三角形的高为2 3，故底面边长为4，故选d。例3一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”.棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中,e是。

并验证了n=5，6，…，9的情况，n=1，2的情况已为阿基米德所证明，阿拉伯人已知n=4的情况．卡瓦列里的工作是前人工作的推广和统一化．虽然在卡瓦列里之前，费马和罗贝瓦尔用别的方法也得到了这一结果，但1639年他第一个公开发表了这一公式，对17世纪无穷小分析的发展起了重要的推动作用．可以说这是在无穷小分析中指出更一般的代数运算法则的可能性的第一个定理．后来由牛顿和莱布尼茨提出而成为积分学的基础．

由此公式出发，卡瓦列里立即证明了在单位区间上，曲线y=xn(n为正整数)下的图形面积为

这个图形围绕“弦”旋转而成的立体体积为

卡瓦列里极大地推进了不可分量方法，不仅把它视为发现的方法，也试图使它成为证明的方法．这样一来，就必须按数学证明的基本要求，使概念严格化，即产生了这样一个问题：不可分量究竟是什么？

卡瓦列里了解这一问题的复杂性，因而想建立一种独立于数学基本要求的方法，使得无论概念是怎样形成的，这种方法都是有效的．他甚至认为，严格性是哲学的事卡瓦列利原理的证明，而不是几何学的事．卡瓦列里没有肯定连续量可以分解为他并没有给出明确定义的不可分的元素，他也没有讲清楚它们究竟是实在的还是潜在的无穷小量．

卡瓦列里从未解释过没有厚薄的不可分量是怎样构成面积和体积的，但在许多场合，他曾把不可分量方法和运动的观点联系起来，认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．不过他并没有将这种有启发性的观点发展成为几何方法，这一点为他的后继者托里切利所实现，结果产生了牛顿的流数法．卡瓦列里的不可分量在沃利斯的《无穷算术》中有所应用，在牛顿和莱布尼茨的数学思想中也有所反映，如前者的“瞬”概念和后者的“微分”概念中就有不可分量的影子．卡瓦列里的思想，对微积分的发展起了巨大的启发作用．

当然卡瓦列里的不可分量方法与微积分尚有较大的距离，主要表现在：(1)没有极限概念；(2)没有采用代数或算术方法，而它们是定义微积分的前提之一；(3)过于强调面积和体积的比而不是直接求积．与阿基米德相比，卡瓦列里在求积方法的统一性上迈出了决定性的一步；与牛顿、莱布尼茨相比，卡瓦列里可以说是他们的直接前驱之一．因而，卡瓦列里的工作是由古希腊人的方法向现代微积分过渡的一个不可缺少的环节．正如莱布尼茨在给曼弗雷迪的一封信中所说：“几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是卡瓦利里和托里切利，后来别人的进一步发展部得益于他们的工作．”

图不可分量方法中学数学试验教材

卡瓦列利运用上述定理求得了许多平面图形的面积和立体图形的体积，其中包括球体积。中学数学试验教材之前的很长时间里，我国的立体几何教材一直采用卡瓦列利的方法来推导球体积公式。

，即等高的两立体，若其任意高处的水平截面积相等，则这两立体体积相等，这就是著名的祖暅公理（或刘祖原理）。立体截面原理揭示了立体体积之间的一个十分重要的关系，用它不仅可以巧妙的导出球的体积公式，而且在一般意义上，它是解决立体体积问题的基础，像高中数学中，有关棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台等几何体的体积公式，都是建立在立体截面原理这一基本规律之上的。祖冲之还与他的儿子祖暅(也是中国著名的数学家)一起，用巧妙的方法解决了球体体积的计算.他们当时采用的一条原理是："幂势既同，则积不容异."意即，位于两平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等.这一原理，在西文被称为卡瓦列利原理， 但这是在祖氏以后一千多年才由卡氏发现的.为了纪念祖氏父子发现这一原理的重大贡献，大家也称这原理为"祖暅原理".祖冲之也制造过许多工具，如指南车等。