关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导

关于已知两点经纬度求球面最短距离的公式推导 2013-01-29 20:42 3009人阅读评论(11)已知两点经纬度计算球面距离的公式，一搜一大堆，形式如下：可是至于这个公式为什么是这样的，今天推导了一下，详细推导过程如下。首先画个图（图1），要不然空间想象能力差的话容易犯糊涂。首先对图1做个大致的说明，红色的半圆表示赤道，蓝色的圆弧表示本初子午线（也就是经度为0的子午线）。球最上方是北极点，点A和点B分别为要计算的两个点，坐标分别为A（jA,wA）和B（jB，wB）。图1 示意图再开始推导之前，我们需要在图中绘制一些辅助线，便于后面的描述和推导。如图1所示，A（jA,wA），B（jB,wB）两点分别为球面上的两点，坐标为经纬度表示。延A、B两点分别做垂直于赤道平面的垂线交赤道面为C、D两点。连接C、D两点，然后过A做CD的平行线交BD与点E。至此，所有的辅助线绘制完毕。假设地球为一个规则的圆球，半径为R（其实地球是一个椭球体，赤道的半径比极地的半径稍微大一点点）。第一步：确定已知条件，第二步：在直角和直角中有：第三步：在平面ABCD中，有：第四步：在直角中，使用勾股定理可以得到AB的直线长度。

如下：第五步：这里需要引入一个公式（5），就是大名鼎鼎的余弦定理，假设三角形的三个角为A,B,C，则有：把上面的公式（1）、（2）、（3）、（5）带入（4）中，然后整理可以得到：最后，通过整理得到AB之间的直线距离为：第六步：我们已经知道AB的直线距离，那么AB的弧长距离可以先通过计算中对应的圆心角，然后用弧长公式计算出来。两点间距离公式推导这里在依旧使用余弦定理公式（5），经过变形可以得到：把式（6）带入式（7），化简得到：最终，我们得到了一个关于圆心角的余弦值的公式：第七步：知道圆心角，计算弧长的公式很简单，使用半径乘以圆心角（弧度单位）即可：所以最后我们就得到了球面上AB的距离应该是：最后使用公式（10）就可以编写代码来计算球面上任意两点间的最短距离了。这里使用的是一个规则的球来代替的椭球的，肯定会有误差的，一般都用这个公式来进行计算。两点间距离公式推导代码就不写了，也就一两句话就出来了。最后需要注意的就是，需要把经纬度都化成弧度单位。…………………………………………………华丽的分割线……………………………………………………………………………………以下内容更新于2013年1月30日…………………………………………昨天使用立体几何的知识推导了一下球面两点的距离公式，发现比较复杂，今天想到一个简单的方法，使用空间直角坐标系来推导，很方便。

(3)求面aa1b1b对角线交点的坐标． 空间点的坐标及位置确定 ●互动探究 规律总结：空间中点m坐标的确定方法： (1)由点m分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交三个坐标轴于点p，q和r，设这三个点在三个轴上的坐标分别是x、y、z，则点m的坐标即为(x，y，z)。 1．空间直角坐标系 ●自主预习 定义 以空间中两两________且相交于一点o的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系oxyz，其中点o叫做坐标_______，x轴、y轴、z轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xoy平面、yoz平面、________平面 画法 在平面上画空间直角坐标系oxyz时，一般使∠xoy＝__________，∠yoz＝90° 垂直 原点 坐标轴 坐标平面 zox 135° 图示说明 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，如果中指指向______轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。2．坐标平面内点的坐标特征：注意两坐标轴上点的坐标的不同，且x轴、y轴不属于任何一个象限。