【初中英语】三角形全等证明重点全等三角形的概念和全等三角形

文件介绍：

三角形同余证明

重点

全等三角形的概念和全等三角形的性质。

困难

理解全等三角形中边和角的对应关系。

用这个概念证明两个三角形是全等的。

概念

可以重叠的两个三角形称为全等三角形。

象征

全等符号“≌”。

三角同余判断

三组具有相等边的两个三角形是全等的 (SSS)。

有两个三角形，它们的两条边和它们的角对应于相同的两个三角形全等（SAS）。

有两个角和它们的边对应于两个等三角形 (ASA)。

有两个角，一个角的对边对应两个等角三角形（AAS）。

直角三角形的斜边及其直角边对应于两个相等的全等直角三角形 (HL)。

全等三角形的性质

两个全等三角形的边和角都相等。

两个全等三角形的周长和面积相等。

两个全等三角形的对应角的角平分线相等。

两个全等三角形对应边的高度相等。

两个全等三角形对应边的中线相等。

全等三角形的角

例如：△ABC≌△DEF，则：

AB = DE，AC = DF，BC = EF

∠ABC = ∠DEF, ∠ACB = ∠DFE, ∠BAC = ∠EDF

注意：在全等三角形中，顶点对应的字母要写在对应的位置。

证明全等三角形法

从已知条件出发等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，根据已知条件的对应关系求同余。

逆向思考：从结论开始，看哪两个三角形是要证明的角（或边）。

结合条件和结论，看两个三角形是否全等。

证明方法的例子

SSS

B、E、C、F点在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF。

解题思路：

由已知条件AB=DE，AC=DF可知等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，需证明△ABC≌△DEF仍是一个条件（BC=EF），

在已知条件下，也有BE=CF，通过观察发现EC是BC和EF的公共段，所以由

BE=CF 得到BE+EC=CF+EC，即BC=EC。

作为一个

解题思路：

要证明AB=DC，只需证明△ABO≌△DOC。而由已知和图中我们知道∠1=∠2，∠AOB=∠DOC（对角相等），那么△ABO≌△DOC只相差一个条件：两个相等的角对应地相等其他证明其同余（ASA），即只要证明BO=CO

那么从已知的∠ABC=∠DCB，∠1=∠2知道∠ABC-∠1=∠DCB-∠2所以∠OBC=∠OCB所以：

OB=OC（等角等边）

美国航空航天局

解题思路：

由已知AD为中线，可知BD=CD，

已知CE⊥AD,BF⊥AD∠BFD=∠CED=90°

并且∠BDF=∠CDE（相反的顶点相等）

所以△BDF≌△CDE(ASA) 所以：CE=BF

SAS

解题思路：

由已知可知：AC=BD, ∠CAB=∠DBA, AB=BA（公共边）

所以△CAB≌△DBA(SAS)

△CAO≌△DBO的证明方法有很多，例如以下两种：

∠ACB=∠BDA,∠COA=∠DOB,AC=BD 所以△CAO≌△DBO(AAS)

△CAB≌△DBA知道∠OAB=∠OBA所以OA=OB

又因为∠CAB=∠DBA，∠CAD=∠DBC

因为 AC=BD

所以△CAO≌△DBO(SAS)

例子：

1. 已知：如图AB=DC，AE=DF，CE=FB，验证：AF=DE。

[分析] 证明AF=DE，可以证明△AFB和△DEC全等，但仍然不存在相关角相等的条件，所以△AEB和△DFC全等。

【回答】

证明：∵CE=FB

∴CE+EF=FB+EF，即：CF=BE

在△AEB和△DFC中：

∴△AEB ≌△DFC(SSS)

∴∠B=∠C

在△AFB和△DEC中：

∴△AFB ≌△DEC(SAS)

∴AF=DE

2. 已知：如图，△ABC中，D为BC的中点，∠1=∠2，求证：AB=AC。

【解析】这个问题看似简单，其实不然。题中虽然有三个条件（∠1=∠2；BD=CD，AD=AD），但无法证明△ABD≌ACD。因此，我们必须找到其他相等的角来证明这两个三角形是全等的，所以我们必须用角平分线来构造两个全等三角形。

【回答】

证明：使DE⊥AB在E中，DF⊥AC在F中

∵∠1=∠2，E中的DE⊥AB，F中的DF⊥AC

∴DE=DF（角平分线上的点到角两侧的距离相等）

∵D是BC的中点

∴BD=CD

∵DE⊥AB 在 E，DF⊥AC 在 F

∴∠床位=90°,∠CFD=90°

在 Rt△BDE 和 Rt△CDF

∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)

∴BE=CF

同理可以证明AE=AF

∴AE+BE=AF+CF或AB=AC

手术：

一个品级

1、 指出下图中的全等三角形有多少对，分别是哪些三角形。

△ABC,AB=AC,D为BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC

2、 指出下图中的全等三角形有多少对，分别是哪些三角形。

OA=OB,OC=OD

3、 指出下图中的全等三角形有多少对，分别是哪些三角形。

△AB