【教师招考】文成教育学科辅导教案讲义-解三角形

文成教育学科指导教学计划、讲课笔记、目标教师、许老师、讲课时间3月11日，讲课项目目标讲解三角复习总结课式复习课使用教具、教材对教材、教学目标、掌握关系三角形六要素，懂得解三角形教学重点与难点灵活解斜三角形参考教材人类教育版必修第5章教学过程及详解解三角形必备知识和典型事例详解一、知识要点： 1、直角三角形中各元素之间的关系：在△ABC中，C=90°，AB=c，AC=b，BC=a。（1）三边的关系：a2＋b2=c2。三角形任意一条边的平方等于另外两条边的平方和减去两条边夹角的余弦与它们的乘积a2=b2+c2-2bccosA的两倍；b2=c2+a2-2cacosB；c2=a2+b2-2abcosC。

@2、 知道两个角和对角之一，找到其他角。（2）对三角形的两种余弦定性理解：第一个1、知道三边就可以找到三角形。第一个<@2、知道两条边和它们之间的夹角，找到第三条边和另外两个角。 5.在三角形中除了应用上面的公式和上面的变换方法，三角形中的三角形变换还要注意三角形本身的特性。(1）@ > 角度变换是因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC.sin AB cosC , cos AB sin C; 2222 (2） 在确定三角形的形状时，可以利用正弦和余弦定律来实现边角的变换，并将它们统一为边的形式或角度的形式。6. 解决三角问题的一般步骤：（1）分析：分析问题的含义，明确已知和需要什么；（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写你所知道的和你想要的，并画出示意图；（3）求解：正确使用正弦和余弦定律求解；（4）测试：测试是否符合上述要求具有实际意义。写你所知道的和你想要的，并画出示意图；（3）求解：正确使用正弦、余弦定律求解；（4）测试：测试以上要求是否符合实际意义。写你所知道的和你想要的，并画出示意图；（3）求解：正确使用正弦、余弦定律求解；（4）测试：测试以上要求是否符合实际意义。

二、 典型例题分析题类型1：正弦余弦定理例1。（1）在ABC中，已知A32.00，B81.80，a42.9 cm，解三角形；（2）在ABC , 给定a20cm, b28 cm, A400，求解三角形（角精确到10，边长精确到1cm） 解：（1）根据三角形内角和定理，C 1800（ AB) 1800 (32.@ >00 81.80) 66.20; 根据正弦定律，基数B sin A42.9sin81.80 sin32.008< @0.1(cm); 根据正弦定律，casinoC sin A42.9sin66.20 sin32.007 4.1(cm).(2）根据正弦定律，sinBbsin aA28sin400 20<@0.8999.

解1：先解三角方程，求角度A的值。 sin A cos A 2 cos(A 45) 2, 2cos(A 45) 1. 2 and 0 A 180, A 45o 60o, A 105o.tan A tan(45o 60o) 1 3 2 3, 1 3sin A sin105 sin(45 60) sin 45 cos60 cos 45 sin 60 2 6. 411SABC 2 AC 2 AB sin3 A 2 46 3( 2 46). 解2: 由sin A cos A 计算其对偶关系的值 sin A cos A. sin A cos A 2①2(sin A cos A)2 1 22sin Acos A 1 2Q 0o A 180o,sin A 0,cos A <@0. 另一个解是 (sin 2 A 1) 2 (sin A cos A)2 1 2sin Acos A 3, 2 sin A cos A 6②2①+②得到sin A 2 6. 4①－②得到cos A 2 6.

4Thus tan A sin A 2 6 4 2 3. Cos A 42 6 和以下解被省略。点评：本题主要考查三角形恒等式变形、三角形面积公式等基础知识，侧重数学考查计算能力。这是一个基本的三角形测试。比较这两种解决方案，您认为哪一种更简单？问题类型3：三角形中的三角形恒等变换问题示例3。在△ABC中，a、b和c分别是∠A、∠B和∠C的对边长。已知a、b、c为比例级数，b sin B且a2-c2=ac-bc，求∠A的大小和值。c分析：由于a、b、c的等价关系为给定，需要∠A，且需要求出∠A与三边的关系，故可利用余弦的b2定律。从 b2=ac，可以转化为=a，然后利用正弦定律得到b sin B 的值。cc解一：∵a、b、c为正比数列，∴b2=ac。同样a2-c2=ac-bc，∴b2+c2-a2=bc。在△ABC中，由余弦定律可知：cosA= b 2 c 2 a 2 = bc = 1, 2bc2bc 2∴∠A=60°。在△ABC中，sinB= b sin A, ∵b2=ac, a∠A=60°, ∴ b sin B b2 sin 60 =sin60°=3 由正弦定律。

cac2解2：在△ABC中，由面积公式得到1 bcsinA = 1 acsinB。22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴ b sin B =sinA= 3. c2 注释：解三角形时，常用余弦定律求三边和一个角的关系，常用正弦定律求两条边的关系和两个角。题型四：用正弦余弦定理判断三角形的形状 4.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，△ABC的形状必定为() A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D. 等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB=sinC =sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB∴sin(AB)=0, ∴A=B 另一种解：斜边 点评：本题考查三角形的基本性质，并需要观察、分析、并判断出解题思路和变形方向，解题的直截了当的方法题型5：三角形中求值题的例子5.ABC的三个内角分别为A、B和C、当求出A的值时，cos A 2 cos BC 求最大2值，求最大值。分析：从A+B+C=π，我们得到B2+C=π2-A2等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，所以cosB+2C =sinA2。B+C cosA+2cos 2A =cosA+2sin2=1－2sin2A2+AA2sin2=－2(sin2－12)2+3 2; A1πB+C3 当sin2 = 2时，即当A=3时， cosA+ 2cos 2 得到最大值2。并找到最大值。分析：从A+B+C=π，我们得到B2+C=π2-A2，所以cosB+2C =sinA2。B+C cosA+2cos 2A =cosA+2sin2=1－2sin2A2+AA2sin2=－2(sin2－12)2+3 2; A1πB+C3 当sin2 = 2时，即当A=3时， cosA+ 2cos 2 得到最大值2。并找到最大值。分析：从A+B+C=π，我们得到B2+C=π2-A2，所以cosB+2C =sinA2。B+C cosA+2cos 2A =cosA+2sin2=1－2sin2A2+AA2sin2=－2(sin2－12)2+3 2; A1πB+C3 当sin2 = 2时，即当A=3时， cosA+ 2cos 2 得到最大值2。

点评：用三角恒等式将三角因子化简，最后转化为关于角度的三角函数形式。结果是由三角函数的性质得到的。问题类型6：正弦和余弦定理的实际应用实例6。（2009辽宁卷，李） 如图，A、B、C、D都在与水平面垂直的同一平面内，B、D为两岛两座灯塔的塔顶75 30 00. 测量船在A面测得的B点和D点仰角分别为，在C面测得的B点和D点仰角均为600，AC=<@0.1km。试着找出B和D之间的距离等于图中另外两点，太难了。只要掌握了基础知识和概念，深入理解了它们之间的基本定量关系，就可以通过考试。

求角C。 2. 三角学中的射影定理：在△ABC, ba cosC c cos A ,... 3. 两个内角及其正弦值：在△ABC, AB sin A sin B ,... 4 . 解决三角问题 可能有一个解、两个解或无解。这时候就应该结合“三角形大边到大角定理和几何绘图来帮助理解”。三、课后跟踪训练1. (2010 Shanghai Wenshu 18.) 若△ABC的三个内角满足sin A: sin B: sin C 5:11:13，则△ABC()(A)一定是锐角三角形。(C) 必须是钝角三角形。(B) 必须是直角三角形。(D) 可以是锐角三角形或钝角三角形。分析：从sin A: sin B: sin C 5:11:13 和正弦定律a:b:c =5:11:13 根据余弦定律等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，得到cos c 52 112 132 0，

由正弦定律可知，c 2 3b c 2 3b, 2R 2Rb2 + c2 -a2 so cosA=3bc c2 = 3bc 2 3bc 3, so A=3002bc2bc2bc2 【提示】解三角形的基本思路是使用定律正弦和余弦的对边是角运算或角化为边运算。3. (2010 湖北李书) 3. 在ABC中，a=15, b=10, A=60°，则cos B = A －2 2 B 2 2 C － 6 D 63333 [答案】D【解析】根据正弦a sinAb sin B定律，可以解出15 sin 60o10 sin B，sinB3，又因为ba，3是BA，所以B是锐角，所以cos B 1 sin2 B 6，所以 D 是正确的。34.（2010广东理数）11. 已知a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C的边，若a=1， b= 3 ,A +C=2B, then sinC= .13 解：由 A+C=2B 和 A+B+C=180° 可知，B=60°。根据正弦定律，

2222分析：因为A、B、C构成等差数列，且A+B+C=180°，所以A+C=120°，所以AC=60°，所以得到tan AC 223.由两个角之和的正切公式tanA tan C221 tan A tan C3。22 So tan A tan C 3 3 tan A tan C, 2222tan A tan C 3 tan A tan C 3. 2222评论：三角函数求值中解题的思路一般是用基本公式对未知角进行变换成已知角​​度，结合三角变换公式的逆。8. (2009四川卷)ABC中A、B为锐角，A、B、C三边分别为a、b、c，sin A 5 ,sin B 10510 (I ) 求AB的值；（二）若ab 2 1，求a、b、c的值。解 (I)∵ A 和 B 是锐角， sin A 5 ,sin B 10510∴ cos A 1 sin2 A 2 5，cos B 1 sin2 B 3 10510cos(AB) cos Acos B sin Asin B 2 5 3 10 5 10 2 . 5 10 5 10 2∵0 AB ,∴AB 4 (II) 从(I)知C 3, ∴ sin C 242 从ab c得到sin A sin B sin C5a 10b 2c, 即a 2b, c 5b 和∵ ab 2 1∴ 2b b 2 1 ∴ b 1∴ a 2,c 59.（2010陕西文殊17）（本子题满分12））在△ABC中，已知即B=45°，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长度。解在△ADC，AD=10，AC=14，DC=6，余弦由余弦定律得到AD2 DC2 AC2 = 100 36 196 1，（本子题满分12））在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一个点，AD=10，AC=14，DC=6，求长度AB。解在△ADC，AD=10，AC=14，DC=6，余弦由余弦定律得到AD2 DC2 AC2 = 100 36 196 1，（本子题满分12））在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一个点，AD=10，AC=14，DC=6，求长度AB。解在△ADC，AD=10，AC=14，DC=6，余弦由余弦定律得到AD2 DC2 AC2 = 100 36 196 1，

11.（2010辽宁物理与数学）（17）（本题满分12分）△ABC中a、b、c分别为内角A的对边， B、C 和 2asin A (2a c)sin B (2c b)sinC。(Ⅰ)求A的大小；(Ⅱ) 求sin B sinC 的最大值。解： (Ⅰ) 由已知，根据正弦定律，我们得到 2a2 (2b c) b (2c b)c 是 a2 b2 c2 bc a2 b2 c2 2bc cos A 由余弦定律得到，所以 cos A 1, A=120° 2 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得到： sin B sin C sin B sin(60 B )……6 点 3 cos B 1 sin B22 sin(60 B)，所以当 B=30 °，sinB+sinC得到最大值1。院长签名：