解三角形的必备常识和典型例题与试题_调查/报告_表格/模板_实用文档

. . .解三角形的必备常识和典型例题及试题一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinA＝cosB＝ a ，cosA＝sinB＝ b ，tanA＝ a 。ccb2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A、B、C 为其内角，a、b、c 分别表示 A、B、C 的对边。（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。（2）正弦定律：在一个三角形中，各边跟它所对角的正弦的比相同a ? b ? c ? 2R （R 为外接圆半径） sin A sin B sin C（3）余弦定律：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的跟减去这两边与他们夹角的斜率的积的两倍a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。3．三角形的面积公式：（1）S?＝1 2aha＝1 2bhb＝1 2chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）S?＝1 2absinC＝1 2bcsinA＝1 2acsinB；4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边跟三个内角）中的三个元素（其中大约有一个是边）求其他未知元素的问题称作解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包含三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆直径、面积等等．主要类别：.word 完美格式.（1）两类正弦定律解三角形的难题：. . .第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2）两类余弦定律解三角形的难题：第 1、已知三边求三角.第 2、已知两边和它们的夹角，求第三边跟其它两角.5．三角形中的四边变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方式外，还要注意三角形自身的特征。

（1）角的变换因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以 sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。sin A ? B ? cosC , cos A ? B ? sin C ；2222（2）判定三角形形状时，可运用正余弦定理实现边角转化，统一成边的方式或角的手段.6．求解三角形应用题的通常方法：（1）分析：分析题意，弄清已知和所求；（2）建模：将实际问题转换为数学难题，写出已知与所求，并画出示意图；（3）求解：正确利用正、余弦定理求解；（4）检验：检验上述所求是否符合实际含义。二、典例解析题型 1：正、余弦定理题型 2：三角形面积例 2．在 ?ABC 中， sin A ? cos A ? 2 ， AC ? 2 ， AB ? 3 ，求 tan A 的值跟 ?ABC 的面积。2点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本常识，着重数学考查运算能力，是一.word 完美格式.. . .道三角的基础试题。两种方法非常起来，你觉得那一种解法非常简单呢？题型 3：三角形中的三角恒等变换问题例 3．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2=acb sin B －bc，求∠A 的大小及 c 的值。

分析：因给出的是 a、b、c 之间的等量关系，要求∠A，需找∠A 与三边的关系，故可用余弦公式。由b2 b2=ac 可变形为 c=a，再用正弦定律能求 b sin B c的值。解法一：∵a、b、c 成等比数列，∴b2=ac。又 a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc。b2 ? c2 在△ABC 中，由余弦定理得：cosA=? a2=bc1=，2bc2bc 2∴∠A=60°。 在△ABC 中，由正弦定理得 sinB= b sin A ，∵b2=ac，a ∠A=60°，∴ b sin B ? b2 sin 60? =sin60°=3。cac2解法二：在△ABC 中，由面积公式得 1 bcsinA= 1 acsinB。22∵b2=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b2sinB。∴ b sin B =sinA= 3 。c2评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定律。题型 4：正、余弦定理判断三角形形状例 4．在△ABC 中，若 2cosBsinA＝sinC，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形.word 完美格式B.直角三角形.C.等腰三角形. . .D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC =sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B另解：角化边点评：本题考查了三角形的基本性质，要求借助观察、分析、判断明确解题模式跟变形方向，通畅解题方法题型 5：三角形中求值问题例 5． ?ABC 的三个内角为 A、B、C ，求当 A 为何值时， cos A ? 2 cos B ? C 取得最大值，并求出 2这个最大值。

B+C π AB+C A解析：由 A+B+C=π，得 = － ，所以有 cos =sin 。22 222B+CAAAA 13cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin2 + 2sin =－2(sin － )2+ ；22222 22A1πB+C3当 sin2 = 2，即 A=3 时, cosA+2cos 2 取得最大值为2。点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转换为关于一个角的三角函数的方式，通过三角函数的性质求得结果。题型 6：正余弦定理的实际应用三、思维总结1．解斜三角形的常规思维方式是：（1）已知两角和一边（如 A、B、C），由 A+B+C = π 求 C，由正弦定律求 a、b；（2）已知两边和夹角（如 a、b、c），应用余弦定律求 c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后运用 A+B+C = π，求另一角；.word 完美格式.. . .（3）已知两边和其中一边的对角（如 a、b、A），应用正弦定律求 B，由 A+B+C = π 求 C，再由正 弦公式或正切定理求 c 边，要留意解可能有多种情况；（4）已知三边 a、b、c，应余弦定律求 A、B，再由 A+B+C = π，求角 C。

2．三角学中的射影定理：在△ABC 中等腰三角形知识点及典型习题教案模板3， b ? a ? cosC ? c ? cos A ，… 3．两内角与其正弦值：在△ABC 中， A ? B ? sin A ? sin B ，…4．解三角形问题也许出现一解、两解或无解的状况，这时要结合“三角形中大边对大角定理及几何 作图来帮助理解”。正余弦定理应用一、正弦已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60°，那么角 A 等于______ 已知△ABC 中，a＝x，b＝2，B＝45°，若该三角形有两个解，则 x 的取值范围是_______在 ?ABC 中，a=15,b=10,A=60°，则 cos B =________5 △ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a＝ b，A＝2B，则 cosB＝_____2在△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若( 3b－c)cosA＝acosC，则 cosA＝_______b 在锐角△ABC 中，a、b、c 分别是三内角 A、B、C 的对边，且 B＝2A，则a的取值范围是___.word 完美格式.. . .二、余弦已知 ?ABC 中， AB ? 4, AC ? 3, ?BAC ? 60? ，则 BC ? ———— 在 ?ABC 中，A、B、C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ，已知 a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ，则 C ? ——— 若 ?ABC 的三个内角满足 sin A: sin B : sin C ? 5:11:13等腰三角形知识点及典型习题教案模板3，则 ?ABC 是______若△ABC 的内角 A、B、C 所对的边 a、b、c 满足(a＋b)2－c2＝4，且 C＝60°，则 ab 的值为____ 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanB＝ 3ac，则角 B 的值为_________ 在△ABC 中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，则 A 的取值范围是__________在△ABC 中，a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边，且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sinC. （Ⅰ）求 A 的大小；（Ⅱ）若 sin B ? sin C ?1，试判断 ?ABC 的形状.（3）求 sin B ? sinC 的最大值.三、综合在 ?ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，若 a,b, c 成等差数列， B ? 300 ， ?ABC 的面积为 3 ，则 2b?在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝________在 ?ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 所 对 应 的 边 分 别 为 a 、 b 、 c ， 若 角 A 、 B 、 C 依 次 成 等 差 数 列 ， 且 a ?1,b ? 3,则S?ABC =__________π 在△ABC 中，内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c.已知 c＝2，C＝ .3 (1)若△ABC 的面积等于 3，求 a、b 的值；(2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC 的面积．在 ?ABC 中 ， 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c ， 已 知 a2 ? c2 ? 2b ， 且sin AcosC ? 3cos Asin C, 求 b.word 完美格式.判断三角形形状. . .在△ABC 中，已知 sinC=2sinAcosB，那么△ABC 一定是________在△ABC 中，若 a ? 9,b ? 10, c ? 15, 则△ABC 的形状是________若 ?ABC 的三个内角满足 sin A: sin B : sin C ? 5:11:13 ，则 ?ABC 是_________已知△ABC 的内角 A、B 及其对边 a，b 满足 a＋b＝acotA＋bcotB，求内角 C四、实际应用 在△ABC 中，已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求 AB 的 长..word 完美格式.