高中数学课程的一条主线函数内容的改革(组图)

对函数内容的变革旨在提高对变量本质的理解对函数内容的变革旨在提高对变量本质的理解 函数内容是大学物理课程的一条主线 函数内容的变革旨在提高对变量本质的理解 高中函数内容的安排在螺旋上升中不断深入 关注函数思想的感受跟利用合理地使用信息技术，旨在帮助学员更好地认识和理解变量以及性质合理地使用信息技术，旨在帮助学员更好地认识和理解变量以及性质函数内容的知识链 必修英语1 ：函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）； 必修英语4 ：基本初等函数II（三角函数）；（三角函数）； 必修英语5 ：数列； 选修系列1-1 、选修系列2-2 ：导数及几其应用。：导数及几其应用。 函数是学校英语中的一个重要概念，函数是大学物理的基础．学生学习函数的知识分四个阶段。 第一个阶段是在高中，学生即将接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图象; 本章是第二个阶段（数学1）; 第三个阶段将学习三角函数（数学4）、数列（数学5）; 第四个阶段在选修课程中，如导数以及应用、概率（选修系列2）、参数方程（选修系列4）等都一直应涵盖函数知识的再认识，是对函数以及应用研究的推进和提升．对函数内容的定位跟基本要求 把函数成为塑造现实世界中一类重要差异规律的建模来学习，是一种通过某一事物的差异信息能推知另一事物信息的对应关系的物理建模；把变量成为塑造现实世界中一类重要差异规律的建模来学习，是一种通过某一事物的差异信息能推知另一事物信息的对应关系的物理建模； 强调对变量本质的了解跟理解，因此要求在学校数学学习中多次接触、螺旋上升；强调对变量本质的了解跟理解，因此要求在学校数学学习中多次接触、螺旋上升； 关注背景、应用、整体性、思想性；函数概念与基本初等函数 Ⅰ—— 新旧教材对比及教学建议 一、新教材的变化 （一）、教学内容顺序的差异 新教材选用了对应——函数——映射的教学顺序，与旧课本的对应——映射——函数教学的次序安排相比，更便于学生对常识的理解跟掌握；图象在变量的概念中就发生，利于整体上、本质上体现函数的概念，为变量的表示法的展开而“水到渠成”数形的统一。

（二）、对函数“三要素”要求的差异对变量“三要素”要求的差异了解变量的构成要素，会求一些减单函数的定义域和导数，这只是与原有内容更不同的地方。减弱了求定义域、值域的规定，尤其是要防止人为地编制一些求定义域和函数的偏题，进行更加苛刻的方法练习。对现实教学状况的思考。了解变量的构成要素，会求一些减单函数的定义域和导数，这只是与原有内容更不同的地方。减弱了求定义域、值域的规定，尤其是要防止人为地编制一些求定义域和函数的偏题，进行更加苛刻的方法练习。对现实教学状况的思考。（三） 、关于“反函数”的变化、关于“反函数”的差异削弱了反函数的概念，只以准确函数为例进行解释跟直观理解，通过非常同底的指数函数和对数函数，说明指数函数削弱了反函数的概念，只以准确函数为例进行解释跟直观理解，通过非常同底的指数函数和对数函数，说明指数函数 y ＝a x (a ＞0 ，a≠1）和对数函数）和对数函数 y ＝log a x (a ＞0,a≠1）互为反函数。不通常地探讨形式化的反变量定义，也不规定求已知变量的反函数。互为反函数的两个函数的图像间关于直线）互为反函数。不通常地探讨形式化的反变量定义，也不规定求已知变量的反函数。

互为反函数的两个函数的图像间关于直线 y=x 对称的性质，只借助准确函数讨论。对称的性质模板函数课件，只借助准确函数讨论。（四）、关于指、对、幂函数的规定与差异关于指、对、幂函数的要求与变化幂、指、对数函数强调作为三种不同的变量增长模型突出背景跟应用。安排了“幂增长、指数下降、对数增长的非常” 。现代生活中，常见到“函数下降”、“指数爆炸”等概念。结合实例体会指数函数、对数函数以及幂函数增长差距，认识直线下滑、指数爆炸、对数增长等不同函数类别增长的涵义幂、指、对数函数强调作为三种不同的变量增长模型突出背景跟应用。安排了“幂增长、指数下降、对数增长的非常” 。现代生活中，常见到“函数下降”、“指数爆炸”等概念。结合实例体会指数函数、对数函数以及幂函数增长差距，认识直线下滑、指数爆炸、对数增长等不同函数类别增长的涵义.为扩充学生的知识面，建议学生收集有关直线攀升、指数爆炸、对数增长等不同函数类别的实为扩充学生的知识面，建议学生收集有关直线攀升、指数爆炸、对数增长等不同函数类别的实际问题 交流对这三种变量种类增长的观点（五）、新增的内容幂函数、函数与代数、二次函数与一元二次方程、用二分法求函数的近似解幂函数是常用的初等函数之一，增加了幂函数内容有利于处理函数问题；新教材第一章中除去了一元二次不等式的方法一节，在第二章中增加了变量与函数、二次函数与一元二次方程，使得结构更趋合理；增加二分法求方程近似解是应重视信息技术在教学中的利用。

幂函数、函数与代数、二次函数与一元二次方程、用二分法求函数的近似解幂函数是常用的初等函数之一，增加了幂函数内容有利于处理函数问题；新教材第一章中除去了一元二次不等式的方法一节，在第二章中增加了变量与函数、二次函数与一元二次方程，使得结构更趋合理；增加二分法求方程近似解是应重视信息技术在教学中的利用。二、新教材设计特征 天地间万物共生长。 函数是学校英语中的基本概念．高中阶段虽然把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言描绘函数，函数的观念方法将贯穿初中语文课程的一直．本章开始给出三个背景事例（人口统计表，自由落体运动公式，温度曲线图）．通过对这三个例子的共同特点的剖析，引出函数概念．进而运用这三个例子，研究变量的三种表示法跟函数的性质．此后，给出函数的应用，指数函数、对数函数等．在学生获取函数的通常研究方式后，又回到开头所强调的难题中，建立建模解决难题，整个内容一气呵成．其主线是变量概念与性质，而入口是学生十分熟悉的情境．简单的场景蕴涵建立建模解决难题的通常观念方法，并引发了函数的整个内容与探究方式．学生在这三个例子的反复学习中，不仅对变量概念与性质的理解不断加深，而且取得物理探究的通常办法：背景 数学 应用→回顾反思问题情境→回顾反思问题情境 → 学生活动 → 意义阐释→ 数学理论→ 数学利用提出难题 体验数学 感知数学构建物理 理解化学 应用数学案例1 函数的概念强调问题1：在大学我们是怎样认识函数这个概念的？(一)问题情境教师强调本节课的探究课题：在大学，我们把函数看成是描绘跟描述两个变量之间依赖关系的物理建模，今天我们将进一步学习有关函数的知识.(二)学生活动1．让学生就困惑1略加讨论，作为探讨的一部分，教师出示教材中的三个例子，并强调问题2．2．问题2：在里面的举例中，是否确认了函数关系？为什么？在里面的举例中，是否确认了函数关系？为什么？通过对难题2的探讨，帮助教师回忆中学所学的函数概念，再鼓励学生提问问题1．函数的传统定义：变量的看法(三)建构数学1.建构 问题3：如何用集合的看法来理解变量的概念？如何用集合的看法来理解变量的概念？ 问题4：如何用集合的语言来探讨上面3个例子中的一同特点？如何用集合的语言来探讨上面3个例子中的共同特征？ 结论：函数是构建在两个非空数集之间的单值对应函数是构建在两个非空数集之间的单值对应．12．反思（1）结论是否正确地概括了里面例子的共同特点?（2）比较上述认识和大学函数概念能否有本质上的差别？（3）一次函数、二次函数、反比例函数等是否也具备上述特性？（4）进一步，你可列出一些“函数”的事例吗？它们带有上述特性吗？（作为例证，可以探讨课本P24练习）一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某些对应法则 f，对于集合A中的每一个元素 x，在集合B中都有唯一的元素 y 和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数(function)模板函数课件，通常记为y＝f (x)，x ∈A．其中，所有的输入值 x 组成的集合A叫做方程y＝f (x)的定义域(domain)问题5． 如何用集合的看法来描述变量的概念？给出函数的定义．指出对应法则和定义域是组成一个函数的要素．(四)数学理论函数的当代定义：集合语言、对应的观点(五)数学利用1．定义的直接应用例1．（课本P23例1）例2．（课本P23例2）2．已知变量确定方程的导数．例3．（课本P23例3）(注意把握难度)(六)总结反思1 ．“初中的”函数定义跟现在的定义有哪些区别？2．你觉得对一个函数来说，最重要的是哪个？ 本章涉及的物理观念方法既能分为两个层次： 一是通常科学方式，如观察、实验、比较、分析、综合、归纳、类比、抽象等； 二是物理中常见的英语思想方式，如变量与函数、数形结合、符号化与形式化、分类讨论、化归等思想方法。

三、教材分析及教学建议2．1．1 函数的概念跟图像与人教版不同的是（1）图象在变量的概念中就发生。其原因有二：利于整体上、本质上体现函数概念；为函数表示法的展开而“水到渠成”, 数形的统一.（2）先对应、函数而映射 函数一般化的体现或数、或形 在建立函数的概念时，要重点突出一个对象对另一个对象的依赖关系． 在变量的定义教学时，需突出以下几点： (a)集合A与集合B都是非空数集； (b)对应法则的方向是从A至B； (c)强调“非空”、“每一个”、“惟一”这三个关键词． PP21 这三个例子：函数引入中的三个问题：我国从1949年到1999年的人口数据表、自由落体运动中物体下落的距离与时间关系式、某城市一天24小时内的温度差异图，既与大学时学习的函数内容相联系，又蕴含了函数的三种表示方式——列表法、解析法、图象法，起到了承上启下的作用．这三个实际问题背景，既是函数知识的生长点，又突出了函数的本质，为从物理内部研究函数打下了基础．而某城市一天24小时内的天气变化将变量概念、函数的图像、函数的单调性、函数的零点有机地贯通。 用输入与输出来揭示函数概念。 在实际情景中认识图象法是叙述两个变量之间函数关系的一种重要手段． 作变量y=f(x) (x∈A)的图像，就是在直角坐标系内作出点集{(x, f(x)) | x∈A}或{(x, y) |y=f(x), x∈A}。

函数y=f(x) (x∈A)的图像在x轴上的射影构成的集合对应着方程的函数。从“形”的视角，进一步加深对变量概念的理解。教材“阅读”中，力求通过信息技术与课程内容的融合，激发学生对学习的兴趣。应引导学生，把现代教育科技成为学习研究跟探索解决难题的软件。例如，利用计算器、计算机画出变量的图像，探索、比较函数的差异规律，为探究函数的性质，以及之后学习求方程的近似解、数据拟合等打下基础。 教材“阅读”中，力求通过信息技术与课程内容的融合，激发学生对学习的兴趣。应引导学生，把现代教育科技成为学习研究跟探索解决难题的软件。例如，利用计算器、计算机画出变量的图像，探索、比较函数的差异规律，为探究函数的性质，以及之后学习求方程的近似解、数据拟合等打下基础。 在本节的习题中，注意了复合函数概念的渗透。 P25—26 例4 连续的、离散的（点）、或一段 P26 例6为学习函数的单调性做准备； P27“思考”学会一般化，形成良好地学习习惯； “阅读”，有条件的大学，建议学生会操作 习题的处理建议 分三个阶段来处理 先学——再识——后括——新探。2．1．2 函数的表示法 P31 例3——突破函数“一式”或能分段 倒数第2行“不同部分上”，“不同部分”指区间或点2．1．3 函数的简单性质 会看图识单调，并由图写出单调区间 能证明简单函数的单调性 会根据变量的单调性来认识函数的更值 为了表明变量f(x)在某个区间上不是单调增（减）函数，只需在该区间上，找到两个值x1、x2，当x1＜x2时，有f(x1)≥f(x2)(或f(x1)≤f(x2) )成立． 函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，它体现的是函数的局部性质，函数在某个区间上单调，并不能说明方程在定义域上也单调。

P37—38从形、数两个角度探索，理解方程图象的对称性与变量奇偶性的关系。 P39例7 只要变量的定义域内有一个x值不满足f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)），这个函数就不是奇（偶）函数；或即使函数图像上有一个点不满足“关于原点（或y轴）的对称点都在方程的图像上，”这个函数就不是奇（偶）函数。2 ．1 ．4 映射概念 了解映射的概念。在讲解映射的概念时要强调，映射是变量概念的推广，函数是一类特殊的映射．函数是两个非空数集之间的映射。 对于映射f：A→B而言，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其它集合。 关于映射中像与原象的概念，以及映射的分类，一般不要涉及。 P42 第11题是尽力引导学员学会这种构想。题是尽力引导学员学会这种反思。2 ．2 指数函数2．2．1 分数指数幂 类比推广。 使学生感受到“n (n∈N，n≥2)次方根”实际上就是平方根与立方根的推广。教学时能由平方根与立方根的运算性质类比得到n次方根的性质。 在进行根式运算时，应先将根式化成有理数幂，再进行运算。 P46推广到实数，仅表明其存在跟运算性质成立。推广到实数，仅表明其存在跟运算性质成立。