二元一次方程与一次函数 公开课获奖教案 公开课获奖教案

5 ．6 二元一次方程与一次函数 1．理解二元一次方程(组)与一次函数的关系；(重点) 2．能依据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解．(难点)一、情境导入 1．方程组 x＋y＝2，x＋y＝5有________个解； 2．方程组 x＋y＝3，2x＋2y＝6 有________个解； 3．方程组 3x－y＝7，2x－y＝5有________个解． 两条直线相互垂直，有________个端点，两条直线重合，有________个端点；两条直线相交，有________个交点． 二、合作探究 探究点一：二元一次方程与一次函数的关系 以方程 12 x＋3y＝2 的解为坐标的所有点都在一次函数 y＝________的图象上． 解析：因为以方程 12 x＋3y＝2 的所有的解为坐标的点组成的图像就是一次函数的图象，将函数 12 x＋3y＝2 用含 x 的代数式表示 y，得 y＝2－ 12 x3＝－ 16 x＋23 。故填－16 x＋23 。 方法总结：y＝kx＋b(k≠0)既可以看做是一个二元一次方程，也可以看做是一个一次函数的表达式；y－kx＝b 与 y＝kx＋b 虽然并非形式不同，但仍没法表示二元一次方程，而不能表示一次函数的表达式．因此对于一个二元一次方程，只有把它写出用一个未知数表示另一个未知数的方式时，才能看做是一个一次函数的表达式． 探究点二：二元一次方程组与一次函数的关系 【类型一】 利用交点的坐标确定二元一次方程组的解 一次函数 y＝5－x 与 y＝2x－1 的图象的交点为(2，3)，则方程组 x＋y＝5，2x－y＝1的解为________．解析：方程组 x＋y＝5，2x－y＝1的解就是直线 y＝5－x 与直线 y＝2x－1 的交点坐标，又∵两直线的端点坐标为(2，3)，∴方程组 x＋y＝5，2x－y＝1的解为 x＝2，y＝3。

故填 x＝2，y＝3。 方法总结：二元一次方程组是由含有两个未知数的两个一次方程组成的，而每个一次方程的图像都是一条直线．两条直线的端点坐标表示该方程组中两个方程的公共解，也就是这个二元一次方程组的解． 【类型二】 利用二元一次方程组的解确定交点的坐标 已知方程组 －3x＋4y＝6，2x－3y＝m的解是 x＝2，y＝3， 确定一次函数 y＝34 x＋32 与 y＝23 x－13 m图象交点的坐标． 解析：可以按照方程组的解，得出 m 的值，构造方程组计算交点坐标，也可以差异两个函数解析式使其与方程组中的两个方程的方式相似，直接得出图象的交点坐标． 解：将 y＝ 34 x＋32 变为－3x＋4y＝6，y＝23 x－13 m 变为 2x－3y＝m，所以直线 y＝34 x＋32 与y＝ 23 x－13 m 交点的坐标即是原方程组的解中 x，y 的对应值，因此两个一次方程图象的端点坐标即是(2，3)． 方法总结：灵活采用方程组的解与一次方程图象交点坐标信息，通过函数与一次函数的适度手段变化，达到不解方程组即可得出方程组的解或图像交点坐标的目的，即是“整体观念”的灵活采用． 【类型三】 用图象法解二元一次方程组 用图象法解方程组 3x－y＝4，①2x－3y＝－2。

② 解析：先将两个方程变形为 y＝kx＋b(k≠0)的方式，再在同一直角坐标系中做出其图像，交点的坐标即为等式的解． 解：由①得 y＝3x－4。 由②得 y＝ 23 x＋23 。 在同一直角坐标系中分别作出一次函数 y＝3x－4 和 y＝ 23 x＋23 的图像．如下图，由图能 知，它们的图像的交点坐标为(2，2)． 所以方程组 3x－y＝4，2x－3y＝－2 的解是 x＝2，y＝2。 方法总结：用画图像的方式可以直观地取得问题的结果，但不是很具体． 三、板书设计 1．二元一次方程组的解是对应的两条直线的端点坐标； 2．用图像法解二元一次方程组的方法： (1)变形：把两个方程化为一次函数的形式； (2)作图：在同一坐标系中做出两个函数的图像； (3)观察图像，找出交点的坐标； (4)写出方程组的解． 通过鼓励教师自主学习探索，进一步阐述了二元一次方程和变量图象之间的对应关系，很自然的得到二元一次方程组的解与两条直线的交点之间的对应关系．进一步培养了教师数形结合的观念，充分提升学生数形结合的素养，使教师在自主探索学校会不同数学常识间可以相互转换的物理观念跟步骤． 4 ．4 一次函数的应用 第 第 1 课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点) 一、情境导入 某农场租用播种机播种水稻，在甲播种机播种 2 天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成 800 亩的栽种任务，播种亩数与天数之间的变量关系如图．你可借助图像提供的信息求 出 y 与 x 之间的关系式吗？你了解乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就明白了． 二、合作研究 探究点一：确定正比例函数的表达式 求正比例函数 y＝(m－4)m2 －15 的表达式． 解析：本题是运用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的权重为 1，系数不为0，这种类型简称为定义式． 解：由正比例函数的定义知 m2 －15＝1 且 m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x。

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0。 探究点二：确定一次函数的表达式 【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式 已知一次函数的图像经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次方程的表达式． 解析：先设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当 x＝0 时，y＝5；当 x＝2 时，y＝－5。由此可以受到两个关于 k、b 的等式，通过解方程即可求出待定常数 k 和 b 的值，再代回原设即可． 解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意得， ∴ 5＝b，－5＝2k＋b。 解得 k＝－5，b＝5。∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5。 方法总结：“两点式”是求一次方程表达式的基本题型．二次函数 y＝kx＋b 中有两个待定系数 k、b，因而必须了解两个点的坐标能够确认函数的关系式． 【类型二】 根据图像确认一次函数的表达式 正比例函数与一次函数的图像如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次方程的图像与 y 轴的交点，且 OA＝2OB。求正比例函数与一次函数的表达式． 解析：根据 A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出 OA 的长，从而可以求出点 B 的坐标，根据 A、B 两点的坐标可以求出一次方程的表达式． 解：设正比例函数的表达式为 y 1 ＝k 1 x，一次函数的表达式为 y 2 ＝k 2 x＋b。

∵点 A(4，3)是他们的交点，∴代入上述表达式中，得 3＝4k 1 ，3＝4k 2 ＋b。∴k 1 ＝ 34 ，即正比例函数的表达式为 y＝ 34 x。∵OA＝ 32 ＋4 2 ＝5，且 OA＝2OB，∴OB＝ 52 。∵点 B 在 y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－ 52 )．又∵点 B 在一次函数 y2 ＝k 2 x＋b 的图象上，∴－ 52 ＝b，代入 3＝4k2 ＋b 中，得 k 2 ＝ 118。∴一次函数的表达式为 y 2 ＝ 118x－ 52 。方法总结：根据图像确认一次函数的表达式的方式：从图像上选择两个已知点的坐标，然后利用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定常数，从而求出变量的表达式． 【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式 某商店售货时，在标价的基础上加必定利润，其产量 x 与价格 y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列转让价 y(元)与总量 x(千克)的方程关系式，并求出当数量是 2。5 千克时的价格。 数量 x/公斤 售价 y/元 1 8＋0。4 2 16＋0。8 3 24＋1。2 4 32＋1。6 5 40＋2。

0 解析：从图表中可以看出售价由 8＋0。4 依次向下扩大至 2 倍、3 倍、 解：由表中信息，得 y＝(8＋0。4)x＝8。4x，即价格 y 与数量 x 的方程关系式为 y＝8。4x。当 x＝2。5 时，y＝8。4×2。5＝21。所以数量是 2。5 千克时的价格是 21 元． 方法总结：解这些题应按照所帮的条件制定数学建模，得出变化关系，并求出函数的通配符，根据方程的表达式作答． 三、板书设计 确定一次方程表达式 正比例函数y＝kx（k≠0）一次函数y＝kx＋b（k≠0） 经历对正比例函数及一次方程表达式的阐释过程，掌握用待定系数法求一次方程的表达式，进一步使用数形结合的观念方法；经历从不同信息中获得一次方程表达式的过程，体会到缓解问题的多样性，拓展学生的认知． 2 ．2 平方根 第 第 1 课时 算术平方根 1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)一、情境导入 上一节课我们做过：由两个边长为 1 的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为 a 的大正方形，那么有 a2 ＝2，a＝________，2 是有理数，而 a 是无理数．在上面我们学过若 x2 ＝a，则 a 叫做 x 的平方，反过来 x 叫做 a 的哪些呢？ 二、合作研究 探究点一：算术平方根的概念 【类型一】 求一个数的算术平方根 求以下各数的算术平方根： (1)64；(2)2 14 ；(3)0。

36；(4) 412 －40 2 。 解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可． 解：(1)∵82 ＝64，∴64 的算术平方根是 8； (2)∵( 32 )2 ＝ 94 ＝214 ，∴214 的算术平方根是32 ； (3)∵0。62 ＝0。36，∴0。36 的算术平方根是 0。6； (4)∵ 412 －40 2 ＝81，又 92 ＝81，∴ 81＝9，而 3 2 ＝9，∴412 －40 2 的算术平方根是3。 方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先应弄清是求那个数的算术平方根，分清求 81与 81 的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑． (2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用． 【类型二】 利用算术平方根的定义方程 3＋a 的算术平方根是 5，求 a 的值． 解析：先按照算术平方根的定义，求出 3＋a 的值，再求 a。 解：因为 52 ＝25，所以 25 的算术平方根是 5，即 3＋a＝25，所以 a＝22。 方法总结：已知一个数的算术平方根，可以按照平方运算来做题． 探究点二：算术平方根的性质 【类型一】 含算术平方根式子的运算 计算： 49＋ 9＋16－ 225。

解析：首先按照算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解： 49＋ 9＋16－ 225＝7＋5－15＝－3。 方法总结：解题时容易发生如 9＋16＝ 9＋ 16的错误． 【类型二】 算术平方根的非负性 已知 x，y 为有理数，且 x－1＋3(y－2)2 ＝0，求 x－y 的值． 解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即 a≥0，a2 ≥0，由几个非负数相加和为 0，可得每一个非负数都为 0，由此能求出 x 和 y 的值，进而求得答案． 解：由题意可得 x－1＝0，y－2＝0，所以 x＝1，y＝2。所以 x－y＝1－2＝－1。方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具备非负性一次函数教案格式，即 a≥0，|a|≥0，a2 ≥0，当几个非负数的跟为 0 时，各数均为 0。 三、板书设计 算术平方根 概念：非负数a的算术平方根记作a性质：双重非负性 a≥0，a≥0 让学生正确、深刻政治解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的产生过程也有认知过程，加强概念产生过程的教学，对提升教师的认知水平是最有帮助的．概念教学过程中应做到：讲清概念，加强锻炼，逐步推进． 4 ．4 一次函数的应用 第 第 1 课时 确定一次函数的表达式1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点) 一、情境导入 某农场租用播种机播种水稻，在甲播种机播种 2 天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成 800 亩的栽种任务一次函数教案格式，播种亩数与天数之间的变量关系如图．你可借助图像提供的信息求出 y 与 x 之间的关系式吗？你了解乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就明白了． 二、合作研究 探究点一：确定正比例函数的表达式 求正比例函数 y＝(m－4)m2 －15 的表达式． 解析：本题是运用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的权重为 1，系数不为 0，这种类型简称为定义式． 解：由正比例函数的定义知 m2 －15＝1 且 m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x。

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0。 探究点二：确定一次函数的表达式 【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式 已知一次函数的图像经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次方程的表达式． 解析：先设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当 x＝0 时，y＝5；当 x＝2 时，y＝－5。由此可以受到两个关于 k、b 的等式，通过解方程即可求出待定常数 k 和 b 的值，再代回原设即可． 解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意得， ∴ 5＝b，－5＝2k＋b。 解得 k＝－5，b＝5。∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5。 方法总结：“两点式”是求一次方程表达式的基本题型．二次函数 y＝kx＋b 中有两个待定系数 k、b，因而必须了解两个点的坐标能够确认函数的关系式． 【类型二】 根据图像确认一次函数的表达式 正比例函数与一次函数的图像如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次方程的图像与 y 轴的交点，且 OA＝2OB。求正比例函数与一次函数的表达式． 解析：根据 A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出 OA 的长，从而可以求出点 B 的坐标，根据 A、B 两点的坐标可以求出一次方程的表达式． 解：设正比例函数的表达式为 y 1 ＝k 1 x，一次函数的表达式为 y 2 ＝k 2 x＋b。

∵点 A(4，3)是他们的交点，∴代入上述表达式中，得 3＝4k 1 ，3＝4k 2 ＋b。∴k 1 ＝ 34 ，即正比例函数的表达式为 y＝ 34 x。∵OA＝ 32 ＋4 2 ＝5，且 OA＝2OB，∴OB＝ 52 。∵点 B 在 y 轴的负半轴上，∴B 点的坐标为(0，－ 52 )．又∵点 B 在一次函数 y2 ＝k 2 x＋b 的图象上，∴－ 52 ＝b，代入 3＝4k2 ＋b 中，得 k 2 ＝ 118。∴一次函数的表达式为 y 2 ＝ 118x－ 52 。 方法总结：根据图像确认一次函数的表达式的方式：从图像上选择两个已知点的坐标，然后利用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定常数，从而求出变量的表达式． 【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式 某商店售货时，在标价的基础上加必定利润，其产量 x 与价格 y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列转让价 y(元)与总量 x(千克)的方程关系式，并求出当